青山学院大学 2000年度 過去問・解答

(1) へABC において AB = 4, BCO=5, CAテー7であるときsin4 を求め
よ。
(2) 18" の桁数を求めよ。ただし 1og jn 2 =0.3010, logy 3 =0.4771 とする。
rs om M45(545—508)

[2] #semsnmco to] mcrae.
(1) xy. Pic aU Cae
{ xe+y?—dx sd
x+y? +2y20
OFS GMAT.
(2) 直線x+ッールが(1) の領域と共有点をもつための, たに関する条件を求め
ko
a 3 =王 M45(545—510)

解答を解千用紙(その 2 )の | 3 | MIRAE
3 次曲線 C:ッニァ3一3x および直線 7:ッーー3x について以下に答え
よ。
(1) 7が原点(0, 0 ) における Cの接線であることを示せ。
(2) 7 上の原点以外の点 Pla,— 3a), a#0 について, P を通る7以外のCの
接線 m の方程式を求めよ。
(8) 7?とか直交するようなgの値を求めよ。
2 2 ーー るM45(545一512)

(1) 取得可能な数学の得点 x と英語の得点 y の組み合わせを, xy 平面に図示を
よ。
(2 取得可能な数学の得点 と英語の得点 y の組み合わせのうちで, 2科目の
合計点が 101 RLS x Ly の値を求めよ。
8) 2科目の合計点を最大にする時間配分を求めよ。また, そのときの名科目の
BERD,
— od ee @M47(545—525)

fied [IL] は結果にいたる過程も採点の対象にする。 MEUMSIMLED 3 に書け。
4 さんは1, 2, ve, ヵの数字が書かれたカードを1 枚づつ, 合計ヵ枚の

A KES THS. BEALL, 8, ......: (z二1)の数字が書かれたカード

を1枚づつ, 合計ヵ枚のカードを持っている。ただしょァは自然数とする。4 さ

んと太さんが無作為にをそれぞれが持つカードの中から 1 枚を取り出すとき, 次

の問いに答えよ。

人1) 数字の大きいカードを出した方を勝ちとする。このとき, BEAD OBE
を求めよ。

Q) おさんのカードの数字から, 4 さんのカードの数字を引いたものをさん
の得点とする。このときの さんの得点の期待値を求めよ。(例 : 4 さんが
10 で, おさんが12 なら, 玉さんの得点は+ 2 点。 4 さんが 10 で及さんが6
なら, 及さんの得点はー 4 点。 AKAD BSA DH 10 なら, BREADS
点は0 点。)

mes 6 デー をM47(545一527) _

(1) FAHLE® 3 ALO (0,0) ,A (qu) , B (by,b2) #89, OK = で, OB= Bb (8 40)
のベクトルは,
IIEK2EEICESん|
を満たしている. このとき, 次の値を求めよ.
1.でと ぢ の内積は
っ っ i っ
@・ち= (op
2. で と ORT 0 DRLIE
cos =
3. AOAB の面積は
=
デー 4G, a
4 12
(2) tana = 3, tanのニーーー (0 <a,8 < 180°) のとき, 次の値を求めよ.
1. sina = ーー
2. に
“we
5. eme+ のー
=e iL lee M44 (545—492)

以下の問題については 解答用紙(その 1 ) を使用すること.
男子 4 人女子 3 人がいる. 次の並び方は何通り あるか.
(1) 男子が両端に来るように 7 人が一列に並ぶのは。 通り.
(2) 女子が隣り合わないように 7 人が一列に並ぶのは, 通り.
(3) 女子のうち 2 人だけが降り合うように 7 人が一列に並ぶのは, 通り.
(4) 女子の両隣りには男子が来るように 7 人が円周上に並ぶのは。 通り.
ae Be るM44(545一494)

[I] 以下の問題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること.
3 点の座標を B (-2,.0), C (1,0), P (p,q) とするとき, PB=2PC という関係が成立して
いる. ただしぁ=0.9ミ0 とする.
(1) PB = 2PC という関係からpと9について
(+ Zl)’ + @+ [£2))"+ Ea] =9
が満たされなければならない-.
(2) 三角形 へ PBC の面積が最大となるのはゎぁ= [7],a= のときである. そのと
sommes [>] であり, PO= y [=] でぁる.
(3) 角/PBC が最大となるのはヵー[ア| , 9= / [4] のときであり, 最大値は [ウェ| "
である. また, このとき PB = / [ヵ| cae.
(4) 原点を O(0.0) EFS. LBCP =90 のとき PO = である. またゅ=ZOPG,
=/BPC, マッニー/OPB ETHIE,
Y Y
PO tang = [=]. aria
ERB,
ー5一 るM44(545一496)

以下の問題については 解答用紙(その2) を使用すること.
実数 z, が0ミァ<1, 0<ッ<1 の範囲を動くとき, 以下の問いに答えよ.
(1) マニェーめ ヤニテッオリの動く範囲を斜線で示せ.
(2) セータッ二1)2?十(z填7 の最大値と, 最大値をとる (z,ヵ) の値を求めよ.
(3) (c-yt1)? + (ety)? の最小値と, 最小値をとる(>, の値を求めよ.
- Tm るM44(545一498)

(1) 積分
がce ~t)(x +t 2)dx
はと= | ア | のとき, 最大値 | イ | をとる.
(の 三次曲線ニャーーsー3yてと直線ッニ9x+ な が三つの相異なる
交点を持つようなたの幼囲は
である.
—-2- M46(545—516)

解答を解用紙の | 2 | MICAS. ただし分数は既約分数で記入せよ.

(1) 三角形へABC においてABー3, AC=7, BCニ=マツ37 EFS. この三

角形について次の問いに答えよ.

1) cos A = [4] である.

2) AABC の外接円上の点 D (kK BC について点 A と反対側にあり, かつ
BD = 3 とする. このとき CD の長さは [A] である.

(2) 袋のなかに赤玉 5 個と白玉 3 個が入っている. このとき次のくじを考える.
今この袋の中から一つ末を取り出し. それが赤玉のときには残りの玉の中から
もう一回玉を取り出すことができる. 以下これを繰り返し. 最後に白玉を引い
た時点で終了とする. 赤玉ーつにつき 200 円の賞金がでるとき, LOK LOM
待値は | キ | 円である.

= hese M46(545—518)

[3] weemenmo | 3 ] に記入せよ。ただし分震は既約分数で記入せよ.
=0,ッ=0でxyが
loge (474) 5 logs() . jog。G@7りsoge(2)
AH TIIRED SL, x ty の最大舘を求めよ.
に M46(545—520)

(1) DER p(z)= 0 が, 実数解1つと虚数解2つをもつようなoの値の男囲
を求めよ.

(2) gが(1) の範囲を動くとき, pl2)=0 の3つの解全体が覆素数平面上に描く
図形を図示せよ.

ー6 一 MM48(545一534)

MBER EEO 2 )の | 4 | Micke Ss.

1 辺の長さ 1 の正四面体の 4つの頂点を A。, Bo, Co Di とする. この正四
面体の各面 へA。B。C。, へA。B。D。,。 へA。CoD。, へBC。D。の重心をそれぞ
nD, Cy, By A, とする. 正四面体 ABiCiJD」 についても, 同じように各
面の重心をとり、それを D。, Cy By, A。 として. 正四面体 AaB。C。D。 をつ
くる. 以下同じように正四面体 A。B。C。D。(ヵ=3,4,5,......つのをつくり, そ
の体積を じ。 とする. このとき次の問に答えよ.

(1) V。を求めよ.
(2) Vy を求めよ.
(3) 極限 Hm (キキVaオーオア ) の値を求めよ.
ー* 一 もM48(545一536)

解答は角和用紙(その 3 )の [ 5 | 楓に記述せよ.
点(2, 0 )を通る傾き7(# > 0 ) の直線を7とし, 関数y=1logx のグラフを
Cとする. 7と Cとの2つの交点の 座標をそれぞれg, 8(@ < MEFS. ま
ELE Cとで囲まれる部分の面積を 3 とする. a, おがの関数であることに注
ELT, 次の問に答えよ.
a) Bia ょ2だけを用いて表せ
dS -
2) ~q = 0 となるとき, 積a2の値を求めよ.
(20 SOMBER &,
— 10 — M48 (545—538)

(1) cos9の・sin @ = ーー圭-
[4]
[2]
(2) cos‘ 9十sin* 9 = ==
(3) tanm9=|ォ|ェ/|ヵ|
CHE. ただし分数はすべて上約分数とする。
ーープー るM49(545一541)

[2] wsamemmeo to 2] mcrae.
正の実数 x(〈ャチ1) に対して
ニ_ 3 =. 2
f(x)= Togi= g(x)=1t+ legiz
と定義する. 以下において, PAT N THLE TS.
(1) 7(x)> glx) となるの値の範囲は
<
である.
(2) |f(x)— g(x)| + glx) = 38 を満たす x の値は
= | サ | ぉょび
である.
ce =ーs をM49(545一543)

解答解答用紙(その 2)の | 3 | 接に記述せよ.
複素数 =x + yi (x, y は実数) が
je-(+Dl=VEl2+ +0)
Bilt: LUDHK ER, |e ~ i] の最大値を求めよ.
—6§ — @M49(545—545)

解和解用紙(その 2 )の | 4 | MICE.
BA {xn} が次のように帰納的に定義されているとする.
EE)
このとき次の問に答えよ.
(1) 数列 fy計を
ya ee (M=1, 2, 8, gは定数)
で定義するとき, (yn) が公比が 1 ではない等比数列になるようなっo OWE
RE,
(2) 数列 ix,} の第ヵ項x。 を求めよ.
NB MM49(545一547)

[5] weamemmceosyo | 5 ] 提に記述せよ.

関数ッーe-3* のグラフの, 2点(g, e584), (og 十1, e-%(2+D) における

接線をそれぞれ!, mesa.

(1) 直線 とァ軸との交点の x MMe, それぞれヵち, c とするとき, bc
をog を用いて表せ.

(2) By =e8* のグラフ(g xso+1), 直線7 (co ミャるミ6), 直線7
(o+1ミxc) およびx軸(ゎミェミoc) で囲まれた図形を, x 還のまわり
に1回転してできる回転体の体積を求めよ.

10テ一 るM49(545一549)