藤原進之介です。このページでは青山学院大学2001年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：2次関数の最小値を「軸の位置で場合分け」する型。平方完成して軸を見つけ、それが区間のどこにあるかだけを問う——場合分けの根拠はこれ1つです。
1. なぜその一手を選ぶのか
f(x) = x2 − 2ax + a2 + 1 は、前3項がそのまま (x − a)2 なので f(x) = (x − a)2 + 1 。軸は x = a、頂点の y は 1 と一目で分かります。
下に凸の放物線の最小値は、軸が区間の中にあれば頂点、外にあれば近いほうの端で取ります。だから場合分けは「軸 a が 2 より左か、2 以上 5 以下か、5 より右か」の3通りだけ。グラフを3枚描けば終わりで、計算はほとんど要りません。
2. 解答
- 平方完成：f(x) = (x − a)2 + 1 。軸は x = a 。
- (i) a < 2 のとき（軸が区間の左外）：区間内では単調増加なので、最小は左端 x = 2 。f(2) = (2 − a)2 + 1 。
- (ii) 2 ≦ a ≦ 5 のとき（軸が区間内）：頂点が区間に入るので最小は頂点の値 1 。
- (iii) a > 5 のとき（軸が区間の右外）：区間内では単調減少なので、最小は右端 x = 5 。f(5) = (5 − a)2 + 1 。
答え： a < 2 のとき (2 − a)2 + 1 ／ 2 ≦ a ≦ 5 のとき 1 ／ a > 5 のとき (5 − a)2 + 1
3. 検算
境界で繋がるか見る：a = 2 を (i) の式に入れると (2 − 2)2 + 1 = 1 で、(ii) の値と一致します。a = 5 でも同様。場合分けの答えは境界で必ず一致するので、ここがズレたら立式ミスです。この確認を省くと、不等号の向きを1つ間違えたまま提出することになります。
この型の一般化：「軸が動く・区間が固定」なら軸の位置で3分割、「軸が固定・区間が動く」なら区間の位置で3分割。最大値を聞かれたら分け方が変わる——下に凸の最大は区間の両端のうち軸から遠いほうなので、境界は区間の中点と軸の大小になり、2分割です。最小と最大で場合分けの境界が違うことを混同しないでください。第6章 関数で整理しています。
Aoyama Gakuin University / 2001
青山学院大学 2001年度数学を、解きっぱなしにしない
掲載範囲を確認し、条件を分類し、答案を書き、最後に自分で検算するための学習ガイドです。PDFを開く前と解き終えた後の両方で使ってください。
問題資料の確認：問題の正確な表記・数式・図表は、記事上部に掲載している問題PDFで確認してください。以下では、解くときに落としてはいけない条件、方針の立て方、答案の作り方を独自に整理します。
掲載範囲と確認状況
「掲載されているか」だけでなく、解答との照合や図表の確認状況まで見える化します。
| 区分 | 問題資料 | 解答資料 | 図表・注記 | 掲載確認日 |
|---|---|---|---|---|
| 2001年度 掲載状況 | 問題PDF 5冊を掲載 | 解答PDFは未掲載 | 本文の詳しい解説は一部を公開中。全問題の解説済みを意味しません |
解く前の「条件分類」チェック
設問を読んだら、計算を始める前に次の5点を答案用紙の余白へ短く書き出します。
- 対象と範囲変数・定数・パラメータと、それぞれの定義域や取り得る範囲を分ける。
- 固定条件方程式、不等式、整数条件、相異なる条件、正負など、途中で失ってはいけない条件を拾う。
- 場合分けの境界0になる値、大小が入れ替わる値、重解・接点・端点など、式の形が変わる境目を特定する。
- 図形の関係平行・垂直・接する・共線・共円・内外などを言葉と記号の両方で整理する。
- 求めるもの値、範囲、個数、確率、証明のどれかを確認し、必要な答えの形式まで先に決める。
得点につながる答案作成フロー
- 条件を記号化する問題文の条件を式・図・短い日本語へ変換し、暗黙の定義域も明記します。
- 最初の一手を宣言する「対称式なので基本対称式へ直す」など、選んだ方針を一文で説明します。
- 式変形の根拠を残す同値変形か必要条件か、定理や公式をどこで使ったかが追える粒度で書きます。
- 条件へ戻して絞る計算で得た候補を定義域・整数条件・図形条件へ戻し、不適解を除きます。
- 問いの言葉で結論を書く単なる数値で終わらず、求める値・範囲・個数・確率を明示して答案を閉じます。
解き直し用セルフ診断
採点方法：自力で説明できたら2点、解答を見て再現できたら1点、まだ再現できなければ0点。各大問10点満点で記録します。
| 診断項目 | 2点 | 1点 | 0点 |
|---|---|---|---|
| 条件整理 | 条件と定義域を自力で列挙できた | 指摘後に不足を補えた | 重要条件を見落とした |
| 方針決定 | 最初の一手と理由を説明できた | 解答を見て方針を説明できた | 解法の選択理由が分からない |
| 計算・変形 | 根拠を保って最後まで進めた | 小さな補助で完走できた | 主要な変形を再現できない |
| 答案表現 | 採点者が追える形で結論まで書けた | 式は合うが説明や結論が不足した | 途中式が飛び、論理を追えない |
| 検算 | 別視点または代入で確認できた | 解答との照合のみ行った | 確認せず終了した |
- 8〜10点時間を測って同年度の別問題へ進む。
- 5〜7点翌日に白紙から同じ問題を再現する。
- 0〜4点関連単元の基本例題へ戻り、条件整理からやり直す。
青山学院大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 青山学院大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 青山学院大学 国語の対策——現代文・古文を型で崩す手順
青山学院大学 数学 過去問｜他の年度を見る
青山学院大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
問題PDFをテキストでも確認
青山学院大学 2001年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 微分・積分
- 確率・場合の数
- 空間図形
- 整数
- 複素数
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
2001年度の問題PDFでは、図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分、確率・場合の数、空間図形に関する語句や設問を確認できました。青山学院大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、関数・グラフは29年度、微分・積分は29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、空間図形、確率・場合の数
し、 異なる目が則たときには。 二つの目の和を得点とする。たとえば4と4の
目が出たときには得点は 4, 3 と5の目が出たときには得点は 8 CHS. CO
ESA OMMHERD Xe
t beg ue it * o
2) Bust (P(e -te+ 4 ar ee,
ome @ ance M45(528—510)
解答を解和用紙(その 1 )の | 2 | 褐に記入せよ。
BER xt 上(> ー 2)? 1 で定義される卒林平面上の円 Cを考える。この平
面上のもうひとつの円を, 円 びおよびx軸の両方に接するように動かすとき,
その中心の描く軌跡を求め, 座標平面上に図示せよ。ただし二つの円が接すると
は, 共有点がただ一つの場合をいう。
sem Be ote M45 (528—812)
[3] wsemammco2)o | 3 | 接に記入せよ。
HER
cos 20 = k(sin@ +2)
を満たす角 OATELES 3 £5 IRMA OU OREER L,
aan fe So M45(528—514)
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分、整数、複素数
そのうち最初と最後がともにA となるものは |エオ| 通り, BC という 2 文字がこの順
に並ぶものは 通りある.
(2) 1 から 12 までの数字が書いてある 12 枚のカードから5枚を選ぶとき,
1奇数が3 te, MAS DE SON mY,
2. RAKOBAD 9 ERS OIL 通り,
3.2 番目に大きい数が8 となるのは [カキク| 通り
4 最大値と最小値の差が9 となるのは 通りである
(3) 6HOXF as ab ec d を1 列に並べるとき, aが先頭にくるものは [アイ| HY, b
が先頭にくるものは 通り,aが先頭にこないものは 通りある.
“eb M44 (528—494)
以下の問題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること.
(1) BEBE 2VFsin 8 + 3.cos(0 + 60°) の 0 <6 < 180° における最大値は yf [ア| , 最小値は
cbs.
回
(2) AABC において AB= V8+1, BC= V2, CA =2とするとき, 次の値を求めよ、
Y ォ| +
BNE 、 sind = 2 nascent = EEMME2
(3) 台形 ABCD において AD EBC を平行な 2 辺とし, 長さを AD=3, BC=ニ5とす
る. また対角線 AC と BD の交点を E とすると BE = 2 であり, /CBE は鋭角で
sin OBE = とする. このとき ps Cho,
へ BCD の面積 = EL ay anc の面積= le である.
sve oe M44(528—-496)
以下の問題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること.
(1) * を実数とするとき, Vー6z二9--V22十2z 1の最大値は |ア] , 最小値は
である.
(2) MESES 2-1 = a1, a = Ya 42 BS, ただ1組の実数解 (c。9) をもつときの
4の条件は, as またはc= である. また, この条件下でヶが最小値をと
るときのoの値は であり, =のをきり=( 回 A) となる.
(3) 2 BE falc) (n= 1, 2,3,---) は, file) = 2? -1, fatale) = (2 +1) fie) の関係を
Wet, このとき
Cha.
ae a M44(528—498)
以下の間題については 解答用紙 (その 2 ) を使用すること.
複素数 z が | = 1 を滴たしている. このとき次の問いに答えよ.
(1) 点り=ュ1の全体が表す図形を複素数平面上に図示せよ. ELL REE
共有点の座標も示すこと.
(2) 点ぇの全体の表す図形の内部も含めて A とする. また点ゅの全体の表す図形の内部も
含めて B とする. AとBの共有部分の面積を求めよ.
(3) kz と点めを結線分の中京の全体が表す図形を複素数平面上に図示せよ. ただし図
形と座禁軸との共有点の座標も志すこと.
mE @M44(528—500)
COMMIS, 方式の受験生のみ解答すること.
以下の問題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること.
(1) ペタトル64 = (4,1,8) と OB = (2,-1,2) に関し,線分AB上の点Cをとって, 0Gが
TA, O引のなす角を9等分するとき」 oe= (+5, hel ed ) tes.
AC
ae なる.
xt, | となる
(2) AOAB において辺OA を2:3に内分する点をM, 辺OBを5:2に内分する点をNと
して, 線分 AN EM BM の交点をP とする. このとき
ーー 」選og
[4]
である.
@) で= (3,4), P= (-1,0,2), で = (-2,-1,3) とするとき, B= (-4,-1,19) を
Cb + mb ane CHTE
pe (Flas ず+ に|]る
である.
ato! Ome: M44(528—502)
この問題は, 日方式の受験生のみ解答すること-
以下の問題については 解答用紙 (その 3 ) を使用すること.
AABCに対して辺 AB を7 :ヵに内分する点を Ai EFS. 同様に辺 BC, 辺 CA をそれぞ
Tem: nCARTSRE By, Ci としてへAB」Oi を作る.
(1) AAAiC」 の面積と AABC の面積の比を求めよ.
(2) AABC ORME S, へABiO の面積を 5ぉ とするとき, te 5h/5 を求めよ.
(3) AAiBiCi の各辺を : に内分する点をAz, Bo, Co としてAA。B。C。 を作る. AA。BzC。
の面積 5。 を SCHR.
(4) 以下, 同じ手順を続けて へA。B。C。 を作るとき, COMMS, を 9 で表せ.
cede ae @M44(528—-504)
問3画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、確率・場合の数、指数・対数、微分・積分、方程式・不等式
() AOYAMAの 6文字すべてを 1 列に並べるとき, 次のような場合, その並
べ方は何通りあるか。
(i) 異なる並べ方は, 全部で | ア | 通りである。
(i) 両端が, 同時に, AおよびMとなる場合は, | イ | 通りである。
Gi) 両端が。ともにAとならない場合は, | ウ | 通りである。
(2) さいころを 4 個同時に投げて, 出た目の数の積が僧数になる確率は, | ェ |
である。
8) 次の方程式1og。 2 + logzy2 =の解は x= [4] である。
ーー 一 @M47(528—527)
[1] xonmmozm | | に。 あてはまる値または式を解和紙その2に記入せ
よ。
(0 28-1, 0), (8, 4)を通り, x= "で極舘を持つ 2次関数は
[A] でぁる。
(2) [Of dy = 252 — 8x + LEB MM (x), BAO Oil
は, それぞれ
f= [キ|.
gー | ク | である。
(9) 次の式の値は,
だgk 1 12x = |ヶ | でぁる。
emi om M47(528—528)
問題| 和 | は結果にいたる過程も採点の対象とする。 解答は解答用紙その 3 に書け。
*タキバアー1)? 3であるとき, x? — By の最大値および最小値を求めよ。
sae Gi = M47(528—531)
問4画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、空間図形、図形・三角関数
() 3次関数ッ=x9キ|ア| e+ |イ| x+ |ウ| はxニー1で値15をと
り, xー1で極小値- 1 をとるという. code, 係数 | ア] , |イ| ,
| ウ | を求めよ.
(9) BU (x)= 27? = 8274 + dtd = [=] のとき最小値「オ | をとる.
ー3ー るNM46528一519)
解和を角符用紙(その 1 )の | 2 | 欄に記入せよ.
ay 平面上に点 A(1、 8) EM BCS, 1) をとる. 点Pが円周xfyテーオ
の上を動くとき, へABP の外接由の中心の束味を求め、それを図示せよ.
も で るM46528一521)
解答を解答用紙(その 2 )の| 3 | micas.
OSES 2のとき, との関数
の=だzeのlge
の最大値と最小値を求めよ。
ーィー るN46(528一823)
問5画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、確率・場合の数、微分・積分、空間図形
回IE
(2) 4回続けて投げるとき, 同じ目が3回以上続けて出る確率は
(3) 5回続けて投げるとき, 同じ目が3 回以上続けて出る確率は Ta
である.
ただし解答の分数はすべて既約分数とする.
ー 5一 全M48(528一587)
解答は解符用紙(その 2 )の | 3 ] MCA.
0 を中心とする半径 1 の円周上の相異なる IRA, B におけるこの円の接線
が, ARC で交わっているとする. 四角形 OACB に含まれる扇形 0AB の面積を
S」, 四角形 OACB から扇形 0AB を取り除いた部分の面積を ぐ@。 とするとき,
S, — S, の最大値を求めよ.
as をM48(528一59)
解答は解和用紙(その 2 )の | 4 | 欄に記入せよ.
関数 y= < のグラフ, 直線 x =8 およびx軸によって囲まれた図形の面
積が, 関数 y = cx3(g > 0 ) のグラフで2 等分されるとき, o の値を求めよ。
のーー るM48(528一541)
[5] は多用紙(その3)の [ 5 | 杜に記入せよ
空間の2点A(一1, 一1, a), B(3, 2, 1) を考える. ただしg> 0とす
る. xy 平面上の点P を, 長さの和 AP + PBが最小となるように定める.
(1) xy 平面に関して点 B と対称な点 B "を求めよ.
(2) 点Pの座標および>座標を o を用いて表せ.
(3) APB が直角となるようにoの値を定め.、 またそのときの AP + PBの値
を求めよ.
milion M48(528—543)