藤原進之介です。このページでは青山学院大学2007年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：放物線と直線で囲まれた面積。交点を求めてから積分するのは遠回りです。被積分関数が因数分解された形になることを使います。
1. なぜその一手を選ぶのか
囲まれた部分の面積は（上の関数）−（下の関数）の積分です。ここでは直線が上、放物線が下なので、被積分関数は (11x + 2) − x2 。これは x2 − 11x − 2 の符号を変えたものですから、交点の x 座標を α, β とすると −(x − α)(x − β) と書けます。
この形の積分は (β − α)3 / 6 になります（いわゆる 6 分の 1 公式）。つまり α, β を個別に求める必要はなく、差だけ分かればよい。差は解と係数の関係から出ます。ここが選択のポイントです。
2. 解答
- 交点：x2 = 11x + 2 すなわち x2 − 11x − 2 = 0 。解を α, β とすると α + β = 11 、αβ = -2 。
- (β − α)2 = (α + β)2 − 4αβ = 121 + 8 = 129 。よって β − α = √129 。
- 面積 S = 16 (β − α)3 = 16 × 129√129 。
答え： S = 43√1292
3. 検算（大きさの見当をつける）
交点は x = (11 ± √129) / 2 、幅は √129 ≒ 11.36 。面積の概算は 幅3/6 ≒ 244.19 で、答えと一致します。6 分の 1 公式は「幅の3乗を6で割る」だけなので、この概算がそのまま検算になります。
この型の一般化：（上）−（下）が k(x − α)(x − β) の形なら、面積はつねに |k|(β − α)3 / 6 。放物線どうしで囲む場合も、引き算した時点で 2 次式になるので同じ式が使えます。展開して原始関数を作るのは、この形を見落としたときだけです。積分区間の取り方と面積の型は第15章 微積分にまとめています。
Aoyama Gakuin University / 2007
青山学院大学 2007年度数学を、解きっぱなしにしない
掲載範囲を確認し、条件を分類し、答案を書き、最後に自分で検算するための学習ガイドです。PDFを開く前と解き終えた後の両方で使ってください。
問題資料の確認：問題の正確な表記・数式・図表は、記事上部に掲載している問題PDFで確認してください。以下では、解くときに落としてはいけない条件、方針の立て方、答案の作り方を独自に整理します。
掲載範囲と確認状況
「掲載されているか」だけでなく、解答との照合や図表の確認状況まで見える化します。
| 区分 | 問題資料 | 解答資料 | 図表・注記 | 掲載確認日 |
|---|---|---|---|---|
| 2007年度 掲載状況 | 問題PDF 4冊を掲載 | 解答PDF 4冊を掲載 | 本文の詳しい解説は一部を公開中。全問題の解説済みを意味しません |
解く前の「条件分類」チェック
設問を読んだら、計算を始める前に次の5点を答案用紙の余白へ短く書き出します。
- 対象と範囲変数・定数・パラメータと、それぞれの定義域や取り得る範囲を分ける。
- 固定条件方程式、不等式、整数条件、相異なる条件、正負など、途中で失ってはいけない条件を拾う。
- 場合分けの境界0になる値、大小が入れ替わる値、重解・接点・端点など、式の形が変わる境目を特定する。
- 図形の関係平行・垂直・接する・共線・共円・内外などを言葉と記号の両方で整理する。
- 求めるもの値、範囲、個数、確率、証明のどれかを確認し、必要な答えの形式まで先に決める。
得点につながる答案作成フロー
- 条件を記号化する問題文の条件を式・図・短い日本語へ変換し、暗黙の定義域も明記します。
- 最初の一手を宣言する「対称式なので基本対称式へ直す」など、選んだ方針を一文で説明します。
- 式変形の根拠を残す同値変形か必要条件か、定理や公式をどこで使ったかが追える粒度で書きます。
- 条件へ戻して絞る計算で得た候補を定義域・整数条件・図形条件へ戻し、不適解を除きます。
- 問いの言葉で結論を書く単なる数値で終わらず、求める値・範囲・個数・確率を明示して答案を閉じます。
解き直し用セルフ診断
採点方法：自力で説明できたら2点、解答を見て再現できたら1点、まだ再現できなければ0点。各大問10点満点で記録します。
| 診断項目 | 2点 | 1点 | 0点 |
|---|---|---|---|
| 条件整理 | 条件と定義域を自力で列挙できた | 指摘後に不足を補えた | 重要条件を見落とした |
| 方針決定 | 最初の一手と理由を説明できた | 解答を見て方針を説明できた | 解法の選択理由が分からない |
| 計算・変形 | 根拠を保って最後まで進めた | 小さな補助で完走できた | 主要な変形を再現できない |
| 答案表現 | 採点者が追える形で結論まで書けた | 式は合うが説明や結論が不足した | 途中式が飛び、論理を追えない |
| 検算 | 別視点または代入で確認できた | 解答との照合のみ行った | 確認せず終了した |
- 8〜10点時間を測って同年度の別問題へ進む。
- 5〜7点翌日に白紙から同じ問題を再現する。
- 0〜4点関連単元の基本例題へ戻り、条件整理からやり直す。
青山学院大学は数学だけでは決まりません。他科目の対策ページも用意しています。
- 青山学院大学 英語の対策——出題形式から逆算した解き方とオリジナル演習
- 青山学院大学 国語の対策——現代文・古文を型で崩す手順
青山学院大学 数学 過去問｜他の年度を見る
青山学院大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
- 2025年度
- 2024年度
- 2023年度
- 2022年度
- 2021年度
- 2020年度
- 2019年度
- 2018年度
- 2017年度
- 2016年度
- 2015年度
- 2014年度
- 2013年度
- 2012年度
- 2011年度
- 2010年度
- 2009年度
- 2008年度
- 2007年度
- 2006年度
- 2005年度
- 2004年度
- 2003年度
- 2002年度
- 2001年度
- 2000年度
- 1999年度
- 1998年度
- 1997年度
- 1996年度
- 1995年度
「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
問題PDFをテキストでも確認
青山学院大学 2007年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 整数
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 指数・対数
- 関数・グラフ
- 空間図形
- 複素数
この年度の出題範囲と傾向
2007年度の問題PDFでは、整数、確率・場合の数、図形・三角関数、微分・積分、指数・対数に関する語句や設問を確認できました。青山学院大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、関数・グラフは29年度、微分・積分は29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問2画像OCR
検出分野: 整数、確率・場合の数、微分・積分、指数・対数、関数・グラフ
toy | コリ | にして同還が
デキ1く0な5ば | コッ |
のとき
コ PSDDDDODODOGS)
+ らゅゅ〇のゆ〇ゆ7〇ゆゆののゆ@|
(5) 以上により, どの棚にもかならずマークが入ることになる. 記入のない欄は、 解答放棄とみなされる.
(6) 分数形で解答するときは友約分数とし, 符号は分子につけること.
(7) 平方根はできるだけ開く. [例] 5は275 とする.
るMS0(@43一556)
以下の問題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること.
(1) 12個のボールを3人で a, b,c 個に分ける.
1. 配分されない人も認めるときには 通りの異なる配分方法があるが, 全
上内が少なくとも1つを愛取るときには, 異なる配分方法は 通りである.
2.g=6ミ1 cさ1 となる配分方法は |オ| 通りである.
3.g>ぁ=1,c=1 となる配分方法は | カキ| 通りである-
(2) 1 から 20 までの整数が 1 つずつ記された 20 枚のカードがある. 事象 4, お をそれ
ぞれ「2 の倍数」 , 「5 の倍数」を表すものとする
1. 20 枚のカードから1枚を引くとき, それが 2 の倍数となる確率は
a= 5の代数となる確率はア(5) = al である. さらに。
回
P(ANB) = Ei 。 および P(AUB)=
である.
2. 元に戻しながら 3 枚のカードを引くとき, そのうちのちょうど1枚が5の倍
教(お) ensman aL である. ELBA [2 の倍数でない5の倍数
(CAMB), 1枚が「5 の倍数でない 2 の倍数 (ANB), 1 枚が「2 の倍数でも
2 ez
Some KAY (Tn )」となる事象の確率は LoL chs.
3. 20 枚のカードから, 元に戻さずに 2 枚を引くとき, 2 枚目が5の倍数となる確
ona CHS. また1枚目が5の倍数であるときに2枚目も5の倍数とな
リコ
amen である.
4. 1枚晶のカードを引いて, それを伏せたままで2 枚目のカー re トン
5 の倍数であった. 1枚目のカードが5 の倍数である確率は である.
=1.> M50 (243548)
(計算 余 AD
- ーー の ee のNM50(243一549)
以下の問題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること.
(1) 実数 z,yが
(logs 2)? + (logs y)? = logs 2? — log, y?
を満たすとき, log。z, sy, poe りうる値の範囲はそれぞれ
-y し] siog。z s +y =]
る
= ミzyミ [¥], gis
である.
(2) = 0 の範囲で関数
F(a) = 97 +9°* — 2(34+374)(3* +37) + (34.371)?
を定義する.
1 るーの二8? とおくとき。 tikes のとき最小値 ELS.
2. f(a) hea のとき最小値 をとる.
(3) 半径1の球のがある.
1. のの体積は cle 表面積は |ウ| 7 CdS.
2. 0 を含む円柱のうち体積が最小のものを月とする.
Ropes [=] xn, 表面積は |オ| *である.
3. のに含まれる円柱の う ち体積が最大のものを9 とする.
Y +Ely
sate te 表面積は ィである.
Ea
a So M50 (243—550)
(計算 余 AD
ーー一 M50 (243-551)
以下の問題については 解答用紙 (その 1 ) を使用すること
(1) 多項式 9(z) = 25 + a2? + bo +e CHIRK f(r) = 2° + 603 +50? -40+8 eH SE,
商が g(x), 余りが 52? — de -1 EMS.
このとき, a= [7], b= [4], c= である.
(2) cty+2=2,a-y-3z=0 を満たす a, y, z の任意の値に対して, 常に
a(z — 2)? = Bly — 2)? + (2-2)? 15
が成立する. このとき,
a= [74], 6= [9], 1=
である.
(3) 複素数に関する以下の問いで i は虚数単位を表す.
1 ant; とするとき, o+o2 = [74], a +ah+2= [9] である.
Bs se とするとき, = [エオ| , p+pr= [a] であぁる.
3. y= 24 VBI とするとき, of -ay +597 +6y-7= |キ| + [7] V2 である.
ー5一 M50 (243—552)
問3画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、空間図形
1. 問題は全部で 3 題あり, 冊子は計算用の余白もあわせて 8 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること.
3, 解答は解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入されたも
のは採点の対象としない.
4. 計算用紙としては, 問題冊子の余白を使用すること.
5. 問題2. 問題3の解答については, 論述なしで結果だけ記しても, 正解とはみ
なさない.
6. 解答用紙はすべて必ず提出すること. 問題冊子は持ち帰ってよい.
でM53(248一576)
(計算用余白
oy M53 (243-577)
(計算用余白
の るMM53(343一578)
[1] seememncco no 1 | 簡に記入せよ結果の数値のみを記すこと
<0 <x OMICS SH OM
sind ~ cos 8 = =
を満たすとき, sind, cosd DHERDE.
= Fo M53 (243—579)
(計算用余白)
ei oe OM53(243—580)
| 2 | 人を角和用紙(その1)の [ 2 | meer.
xy 平面上の半径 1 の円どが, 直線*+73yー4 と単位円 **エダー1 OFF
方に接するという. このとき Cの中心の座標を求めよ。
=F M53 (243—581)
(計算用余白]
ー6 一 のM53(233一582)
問4画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、空間図形、微分・積分
1. 問題は全部で5 題あり, 國子は計算用の余白もあわせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マーク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている. )
3. 解答はすべて解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入さ
れたものは採点の対象としない.
A マーク・シート記入については, 解答用紙(その 1)の「解答上の注意」にしたが
ジー
5. 問題3.4.5の解答については, 論述なしで結果だけ記しても. 正解とはみな
さない.
6. 解答用紙はすべて必ず提出すること. 問題冊子は持ち帰ってよい.
M55 (243—598)
(計算用余白
a ぞ M55 (243—599)
(計算用余白〕
cS 2 Be M55 (243-600)
[1] weewena coro] 憶に記入せよ.
さいころを 3 回続けて振り Hk 8 つの日を 8 辺の長さとする三角形がある坦
AI, その三角形をつくる. ただし。 3 頂点が一直線上に並ぶものは三角形と
はみなさない.
このとき次の岡に答えよ。 REL, 解符の分数は久約分数とする
[7]
0) IRENA DEA, SNMP URL EREMNR Ae
BS.
Q) 1回目に出た日が2のとき.三角形をつくることができる確率は
回
ーー である.
回
回
(3) 辺の長さがすべて異なる三角形をつくることができる確率は 一ーーテー で
[LZ]
BS.
i go M55 (243—601)
(計算用余白
ae aS M55 (243-602)
解答を解千用紙(その 1 )の | 2 | 簡に記入せよ.
4K f(x) = x4 + ax + ox + cx はァーニー3 で極値をとり, そのグラ
フは点(一 1, 一11) を変曲点とする.
coms-|ヶ|. 0=[2][5]. «=[>][a] eos.
ー 5一 やNM55 (243-603)
(it 2 A & A)
= SS のM55 (243-604)
問5画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分
1. 問題は全部で5 題あり, 冊子は計算用の余白もあわせて 12 ページである.
2. 解答用紙に氏名・受験番号を忘れずに記入すること. (ただし, マーク・シー
トにはあらかじめ受験番号がプリントされている.)
3. 解答はすべて解答用紙の指定された欄に記入すること. 指定の欄以外に記入さ
れたものは採点の対象としない.
4 マーク・シート記入については. 解答用紙(その 1) の「解答上の注意」にしたが
うこと。
5. 問題3.4.5の解答については, 論述なしで結果だけ記しても, 正解とはみな
さない.
6. 解答用紙はすべて必ず提出すること. 問題冊子は持ち帰ってよい.
MS4(243一585)
(計算用余白
ーーュー のMS4(243一586)
(計算用余白]
ータ2ター NM54(243一587)
[1] 人を人用紙(その 1)の | 1 | 拉に記入せよ.
次の定積分を求めよ. ただし, 解答の分数は既約分数とする.
4 ged ge
wo [ere [F] + [4] me [2]
. =] J
2) [ x(cos 24 ~ sin 2x)de = = + S
回
8 = M54 (243-588)
(計算用余白
— M54 (243-589)
解答を解答用紙(その 1 )の | 2 | MCRAE.
一辺の長さが 1 の正四面体 ABCD を考える. 頂点A からへBCD へ垂線 AH を
FAL, BEM を結ぶ直線がCD と交わる京をFE とする. このとき AE =BE=
{el Ja
ーー を用いると,BHニーー Anニーーー とょなることがわか
回
る. また, 線分AH上に点OをA0=BOとなるようにとると, AO=
y| [7]
ーーーーー であり, OB と OH のなす角を9とおくと, cos 0 = ==] CHS.
回 回
なお. 解答の分数は巡約分数とする。
saa om M54 (243—590)
(計算用余白]
ーー 6 一 OM54 (243-591)