青山学院大学 2020年度 過去問・解答

青山学院大学2020年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

Ⅰ(1) 底が異なる対数不等式

log₃x − log₉(x − 2) > log₉(2x − 3) を解きます。

真数条件

3つの対数それぞれの真数が正でなければなりません。

x > 0　かつ　x − 2 > 0　かつ　2x − 3 > 0

最も厳しいのは2つ目なので　x > 2　…①

右辺の log₉ を左辺にまとめる

log₉A + log₉B = log₉(AB) なので

log₃x > log₉(x − 2) + log₉(2x − 3) = log₉{(x−2)(2x−3)}

底を3にそろえる

log₉M = log₃M / log₃9 = (1/2)log₃M なので

log₃x > (1/2)log₃{(x−2)(2x−3)}

両辺を2倍して

2log₃x > log₃{(x−2)(2x−3)}　⇔　log₃x² > log₃{(x−2)(2x−3)}

底 3 > 1 なので真数の大小がそのまま

x² > (x−2)(2x−3) = 2x² − 7x + 6

移項して 0 > x² − 7x + 6　⇔　(x − 1)(x − 6) < 0　⇔　1 < x < 6

真数条件①（x > 2）との共通部分をとって

検算：数値で確認しました。
x = 2.5 → 左辺−右辺 = +0.834（成立）✓　x = 5.9 → +0.006（成立）✓
x = 6 → 0.000（等号、境界）✓　x = 6.1 → −0.006（不成立）✓
境界がちょうど 6 で切り替わっています。

Ⅰ(2) 底に x が入った対数方程式

2log₃x − 3log_x3 + 5 = 0 を解きます。

条件を確認する

真数条件 x > 0 に加え、log_x3 の底の条件として x ≠ 1 が必要です。

0 < x < 1　または　1 < x　…②

底に文字がある対数では、「底は正かつ1でない」という条件を忘れないでください。ここが本問の最初の関門です。

底の変換で log₃x に統一する

log_x3 = log₃3 / log₃x = 1/log₃x（②より log₃x ≠ 0）

t = log₃x とおくと、方程式は

2t − 3/t + 5 = 0

両辺に t（≠ 0）を掛けて

2t² + 5t − 3 = 0　⇔　(2t − 1)(t + 3) = 0

t = 1/2, −3

x に戻す

log₃x = 1/2 ⇔ x = 3^(1/2) = √3
log₃x = −3 ⇔ x = 3⁻³ = 1/27

どちらも②（正かつ1でない）を満たします。

検算：x = 1/27 と x = √3 のそれぞれで 2log₃x − 3log_x3 + 5 を計算したところ、いずれも 0 になりました ✓

この年の学習ポイント

2問とも「底をそろえる」という同じ操作が核心です。

(1) 底が 3 と 9 → 9 = 3² なので log₉M = (1/2)log₃M
(2) 底が 3 と x → log_x3 = 1/log₃x（底の変換公式の特殊形）

特に (2) の log_a b = 1/log_b a は覚えておくと便利です。底と真数を入れ替えると逆数になる、というきれいな関係です。

そして両問とも条件の確認が採点の分かれ目になります。

(1) では真数条件 x > 2 を最後に使って 1 < x < 6 を 2 < x < 6 に絞りました。
(2) では底の条件 x ≠ 1 が log₃x ≠ 0 を保証し、t で割る操作を正当化しています。

対数の問題は、式を書き始める前に条件をすべて列挙する — この習慣が最も確実な失点防止策です。

青山学院大学2020年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。