藤原進之介です。このページでは青山学院大学2025年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
📊 2025年度 青山学院大学 数学 講評マップ（難易度・目標時間・使う型）
この年度の全34問を解説した数強塾のプロ講師陣が、各問題を難易度・目標時間・使う型の3つで整理しました。難易度と目標時間は数強塾の独自の見立てで、目標時間は過去問演習をするときの1問あたりの目安です（実際の試験の時間配分を示すものではありません）。「使う型」の列は解法パターン事典の該当単元につながっています。解けなかった問題は、下の解説で解き方を確認したあと、型のページで同じ型の問題を練習すると定着が速くなります。
問題PDF①（全4題）
| 大問 | テーマ | 難易度 | 目標時間 | 使う型（解法パターン事典） |
|---|---|---|---|---|
| 解説へ | 円に内接する四角形の余弦定理と面積 | 標準 | 約15分 | 図形と計量 |
| 解説へ | さいころ3回で作る文字列の一致確率 | 標準 | 約15分 | 条件付き確率・独立・反復試行 |
| 解説へ | Sₙとaₙの関係式から作る漸化式と一般項 | やや難 | 約20分 | 漸化式の全型 |
| 解説へ | 2つの放物線の共通接線と囲む面積 | やや難 | 約20分 | 積分法（数II） |
💡 どこで差がつくか：解説では各大問に検算の手段が併記されています。〔Ⅰ〕は対角線を2通りに表す等式と、面積を別公式で確かめる流れ。〔Ⅱ〕は文字列を2値に翻訳し、Sを固定してからTを考える手順。〔Ⅲ〕はaₙ＝Sₙ−Sₙ₋₁（n≧2）で漸化式を作り、等比になる条件を係数比較で決める流れ。〔Ⅳ〕は曲線−接線が完全平方になる性質。空所補充の形式なので、処理の手順と確かめ方をセットで持っておくと安心です。 この冊子4問の目標時間の合計は約70分（数強塾の見立て）。
問題PDF②（全5題）
| 大問 | テーマ | 難易度 | 目標時間 | 使う型（解法パターン事典） |
|---|---|---|---|---|
| 解説へ | 正三角形上を動く点と確率漸化式 | 標準 | 約15分 | 確率漸化式 |
| 解説へ | 3次方程式の実数解と虚数解の条件 | 標準 | 約12分 | 複素数と方程式 |
| 解説へ | 円と放物線の交点・なす角・面積 | やや難 | 約20分 | 積分法（面積） |
| 解説へ | 空間座標での内積条件と垂線の足 | やや難 | 約20分 | 空間ベクトル |
| 解説へ | 対数関数の極値と囲む図形の面積 | 難 | 約25分 | 積分法（面積） |
💡 どこで差がつくか：全5題のマーク式で、式を設定したあとは標準的な計算が中心です。〔Ⅰ〕は今いる頂点で場合分けして1次漸化式に持ち込み、〔Ⅱ〕は問題文で与えられた実数解を使って因数分解し、判別式に帰着させます。〔Ⅲ〕はxの2乗をまとめて連立し交点を先に確定させ、なす角は内積で求めます。〔Ⅳ〕は角の条件を内積へ翻訳し、垂線の足の座標を順に追います。〔Ⅴ〕は真数を1にする見方と、対数を分けて積分する処理が要になります。〔Ⅲ〕〔Ⅴ〕では積分範囲と図形の上下関係の読み取りも確かめておきたいところです。 この冊子5問の目標時間の合計は約92分（数強塾の見立て）。
問題PDF③（全5題）
| 大問 | テーマ | 難易度 | 目標時間 | 使う型（解法パターン事典） |
|---|---|---|---|---|
| 解説へ | 複数のさいころの最大値と最小値の確率 | 標準 | 約12分 | 確率 |
| 解説へ | 平行四辺形のベクトルと内積・交点までの長さ | 標準 | 約13分 | ベクトルの図形への応用 |
| 解説へ | 対数をとって解く累乗型の漸化式 | 標準 | 約13分 | 漸化式の全型 |
| 解説へ | 放物線に引いた直交する2本の接線 | 標準 | 約12分 | 接線と法線 |
| 解説へ | 2次方程式の解の配置と領域の面積 | やや難 | 約18分 | 2次関数 |
💡 どこで差がつくか：この冊子は〔1〕〜〔3〕が答のみ、〔4〕〔5〕は論述過程も求められる構成です。〔1〕は使う目の組を固定して全体から例外を引く数え方、〔2〕は面積と辺の長さを内積へ翻訳し、鈍角から符号を決める点、〔3〕は誘導どおり対数をとって1次漸化式に直す点が分かれ目になります。〔4〕は接点を文字で置き解と係数の関係で処理でき、〔5〕は判別式・軸・区間端の符号を同時に扱ったうえで領域の面積まで出し切れるかで差がつきそうです。 この冊子5問の目標時間の合計は約68分（数強塾の見立て）。
問題PDF④（全5題）
| 大問 | テーマ | 難易度 | 目標時間 | 使う型（解法パターン事典） |
|---|---|---|---|---|
| 解説へ | 球の最大値を得点とする確率 | やや難 | 約18分 | 確率 |
| 解説へ | 和が偶数となるT数列の個数 | 標準 | 約15分 | 漸化式の全型 |
| 解説へ | 対数関数の増減・凹凸と変曲点 | 標準 | 約15分 | 微分法（数III） |
| 解説へ | 三角方程式の解の個数 | やや難 | 約20分 | 三角関数 |
| 解説へ | 空間の射影で移った領域の面積 | 難 | 約25分 | 通過領域と逆手流 |
💡 どこで差がつくか：〔3〕〜〔5〕は答だけでなく、グラフや領域を根拠とした論述が必要だと説明されています。〔1〕は得点＝最大値ごとに組合せを数え、球を戻す設定では独立性から積を足し上げます。〔2〕は和の偶奇を偶数・奇数の状態遷移とみて漸化式に直し、〔3〕は1階微分と2階微分を同じ表で管理します。〔4〕はsin xへの置換で値域を制限し、〔5〕は順変換と逆変換の両方を書けるかが分かれ目になりそうです。 この冊子5問の目標時間の合計は約93分（数強塾の見立て）。
問題PDF⑤（全5題）
| 大問 | テーマ | 難易度 | 目標時間 | 使う型（解法パターン事典） |
|---|---|---|---|---|
| 解説へ | さいころ4回で決まる点の座標と確率 | 標準 | 約14分 | 条件付き確率・独立・反復試行 |
| 解説へ | 複素数方程式の2解と正方形の頂点 | やや難 | 約15分 | 複素数平面と図形 |
| 解説へ | 三角関数のグラフの概形と囲む面積 | やや難 | 約20分 | 積分法（面積） |
| 解説へ | 距離の条件から定まる点の軌跡と通過部分 | やや難 | 約20分 | 軌跡 |
| 解説へ | 内積で表す垂心と3点が同一直線上の条件 | 難 | 約24分 | ベクトルの図形への応用 |
💡 どこで差がつくか：確率・複素数平面・積分・軌跡・ベクトルを5題で横断する構成です。〔1〕は移動後の座標を先に式にしてから条件を整理し、〔2〕は平方完成で2解を出し、対角線の中点に90度回転を足して残りの頂点を作ります。〔3〕は2曲線の差を因数分解して交点と上下を判定し、〔4〕は距離条件を2乗して定義域を残したまま曲線に直します。〔5〕は2本の垂直条件を内積0で連立し、共線条件を係数比較に落とすところが要点です。 この冊子5問の目標時間の合計は約93分（数強塾の見立て）。
問題PDF⑥（全5題）
| 大問 | テーマ | 難易度 | 目標時間 | 使う型（解法パターン事典） |
|---|---|---|---|---|
| 解説へ | 対称式の値から3つの実数を決定する | 標準 | 約12分 | 複素数と方程式 |
| 解説へ | 直線に関する対称点と交点・三角形の面積 | やや難 | 約18分 | ベクトルの図形への応用 |
| 解説へ | 動く放物線の頂点と解の配置・最大最小 | やや難 | 約18分 | 2次関数 |
| 解説へ | 和の式から一般項を取り出して極限を調べる | 難 | 約22分 | 数列の和の全型 |
| 解説へ | 指数関数の増減とグラフ・囲まれた面積 | 難 | 約25分 | 積分法（面積） |
💡 どこで差がつくか：冊子6は、与えられた条件をどの量に翻訳するかがポイントです。〔1〕は2乗和・3乗和を基本対称式に直して3次方程式を立て、〔2〕は直線OBに関する対称点を射影の2倍から表してから、交点Dの位置ベクトルと面積比へ運びます。〔3〕は判別式・軸・f(0)の3条件で解の配置を押さえ、頂点のy座標は三角関数の合成でまとめます。〔4〕は和の式の差から一般項を取り出し、〔5〕はt=e^xの置換と部分分数分解で面積の積分を計算できる形に直します。 この冊子5問の目標時間の合計は約95分（数強塾の見立て）。
問題PDF⑦（全5題）
| 大問 | テーマ | 難易度 | 目標時間 | 使う型（解法パターン事典） |
|---|---|---|---|---|
| 解説へ | 整数の余り／絶対値のグラフと解の個数／接線と面積 | 標準 | 約20分 | 分野融合 |
| 解説へ | 格子点の数え上げ・三角形の内接円・正四面体の内積 | やや難 | 約25分 | 空間ベクトル |
| 解説へ | 母比率・母平均の信頼区間と標本数、確率変数の標準化 | 標準 | 約15分 | 確率分布と統計的な推測 |
| 解説へ | 予算内の購入計画と満足度の最大化 | やや難 | 約22分 | 整数 |
| 解説へ | 1次不定方程式の解の個数と積の最大最小 | やや難 | 約20分 | 不定方程式 |
💡 どこで差がつくか：この冊子は、余りの決定を合同式で処理し、解の個数はグラフと水平線の交点で数え、格子点は列ごとの和にまとめる、といった扱いが並びます。空間図形は座標化して内積で角や直交条件を求め、統計は公式に入れる前に各量の単位まで確認しています。整数の最大化では一般解を1変数で表してから隣接する値を比べており、この「表し直してから比べる」段取りに慣れているかで、手の進み方が変わりそうです。 この冊子5問の目標時間の合計は約102分（数強塾の見立て）。
「型が出てこなかった問題」が2問以上あった人へ。それは演習量の不足ではなく、単元の型の抜けが原因であることがほとんどです。数強塾は数学専門・プロ講師のみ・完全1対1のオンライン個別指導。実際にあなたが解いた過去問の答案を見ながら、どの型が抜けているかを特定し、青山学院大学の出題に合わせて埋めていきます。青山学院大学の過去問まとめ（全年度＋傾向）で他の年度も確認できます。
体験授業を予約する（初回3,000円・税込）まず無料で相談する青山学院大学 2025年度 数学（問題PDF①・冊子コード Z・Z(RB)）の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】
傾向まとめ：全4題・マークシート方式。〔Ⅰ〕円に内接する四角形（余弦定理＋トレミー型の相似）、〔Ⅱ〕さいころ3回で作る文字列の一致確率、〔Ⅲ〕 と の関係式から漸化式を作る数列、〔Ⅳ〕平行移動した2放物線の共通接線と面積。いずれも「誘導に沿って手を動かせば確実に解ける」典型問題で、奇問はありません。差がつくのは〔Ⅱ〕(4)の全事象の整理と〔Ⅳ〕(3)の面積計算の速さです。
※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入・全列挙による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDF（問1）をご参照ください。
※問題文は青山学院大学が公表した2025年度入学試験問題（数学）を、解説のために引用したものです。解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成であり、大学発表の公式解答ではありません。
〔Ⅰ〕円に内接する四角形 答：／／四角形／
【問題】
〔Ⅰ〕（2025年度 青山学院大学 数学 冊子コード Z・Z(RB)）
円に内接する四角形 がある。ただし、頂点 は反時計回りに並んでいるとし、各辺の長さは
であるとする。
(1) （□は上から 1／23）である。
(2) の面積は （□は左から 45、67、89）であり、四角形 の面積は （□は左から 10、1112）である。
(3) 対角線 と の交点を とすると （□は上から 13、14）である。
【解答】
(1)
(2) 、四角形
(3)
(1) 円に内接するので 、すなわち 。対角線 を2つの三角形から余弦定理で表して等号で結びます。 よって から 、。【定石】円に内接する四角形は「共通の対角線を2通りに表す」。対角の余弦が符号反転することが等式を1本に絞る鍵です。
(2) なので より なので 。合計して四角形 。【定石】ブラーマグプタの公式 （ は半周長）で検算できます。 より と一致。
(3) 弧 に対する円周角から 、対頂角と合わせて 、同様に 。前者から 、後者から 。 を代入すると なので 。【定石】内接四角形の対角線の交点は と即答できます（ と一致）。
〔Ⅱ〕さいころ3回で作る文字列の一致確率 答：，，，
【問題】
〔Ⅱ〕
サイコロを続けて 3 回投げる。サイコロを投げるたびに、1 か 6 が出たら を、その他の目が出たら を選ぶ。それらを選んだ順に左から書いて、 と からなる長さ 3 の文字列を作る。たとえば、出た目が 3、6、1 のとき、得られる文字列は である。
この手順を 2 回行い、1 回目、2 回目に得られる文字列をそれぞれ とする。
(1) と がともに となる確率は （□は左から 1516、171819）である。
(2) に含まれる の個数がちょうど 1 個のとき、 と が一致する条件付き確率は （□は左から 20、2122）である。
(3) に含まれる の個数がちょうど 1 個であり、かつ と が一致する確率は （□は左から 2324、252627）である。
(4) と が一致する確率は （□は左から 282930、313233）である。
【解答】
(1) (2) (3) (4)
（1 回の試行で が出る確率は 、 は ）
1回の試行で A が出る確率は 、G は の余事象で 。まずこの2値に翻訳するのが出発点です。
(1) 。S と T は独立なので求める確率は 。
(2) S に A がちょうど1個のとき、S は AGG・GAG・GGA のいずれかですが、どれであっても確率は同じ 。T が「その S と同じ並び」になる確率がそのまま条件付き確率なので 。【定石】条件付き確率は「S を固定してから T を考える」と一瞬。S の候補が3通りある点に引きずられないことがポイントです。
(3) なので、乗法定理より 。
(4) 一致確率は全文字列 について 。A の個数 で分類すると 【定石】1回の試行で「2人が同じ結果を出す確率」は 。3回独立だから と即算でき、これが最良の検算になります。
〔Ⅲ〕 と の関係式から作る数列 答：／／／
【問題】
〔Ⅲ〕
数列 に対し とおくとき、
が成り立つとする。
(1) 34 である。
(2) 数列 は漸化式 （□は左から 35、36、37） を満たす。
(3) を定数として とおく。このとき、（□は左から 3839、40）、（□は左から 4142、43）であれば、数列 は等比数列になる。
(4) 数列 の一般項は （□は左から 4445、46、47、48、49、50、51） である。
【解答】
(1)
(2)
(3)
(4)
(1) では なので 。整理して 、よって 。
(2) を作ります。 の差は 、 の差は なので 整理すると 、両辺 倍して 。【定石】 が与えられたら 。 を元の の式に戻して一致を確認しておくと安全です。
(3) が等比になるには公比が （ の係数）でなければならず、 を要求します。 と を係数比較して、 の係数から すなわち 、定数項から すなわち 。
(4) なので 。したがって 【定石】検算は ： が漸化式の値と一致。さらに の定義式そのものに代入して成立することまで確認済みです。
〔Ⅳ〕2放物線の共通接線と面積 答：交点／，／接点／面積
【問題】
〔Ⅳ〕
曲線 を とし、 を 軸方向に 、 軸方向に だけ平行移動して得られる曲線を とする。
(1) と の交点は （□は左から 52、53、5455、56）である。
(2) 点 における の接線 が にも接するとき、（□は左から 57、58）であり、 の方程式は （□は左から 59、60、61）である。また、このとき と の接点は （□は左から 62、63、6465、66）である。
(3) (2) で求めた接線 と 2 曲線 で囲まれた図形の面積は （□は上から 67、68）である。
【解答】
(1) 交点は
(2) 、、 と の接点は
(3) 面積は
を 方向に 、 方向に 平行移動して 。
(1) は が消えて 、。このとき 。
(2) での の接線は 。これが に接する条件は の判別式が ： よって 。接点の は重解 で、。【定石】 の係数が等しい2放物線の共通接線は、判別式で1本に決まります。重解 がそのまま接点の 座標になるのも便利。
(3) ここが本問の山場ですが、差をとると完全平方になります。 交点 はちょうど2つの接点 の中点なので 【定石】「曲線−接線」は接点を重解にもつので必ず の形。展開せずに を使うのが最速です（200万分割の数値積分でも と一致確認済み）。
この年度から学べること：青山学院大学の数学は「誘導が丁寧な典型問題を、いかに速く正確に処理できるか」を測る出題です。〔Ⅰ〕の余弦定理2通り、〔Ⅳ〕の「曲線−接線＝完全平方」のように、定石を知っていれば計算量が半分になる場面が各大問に必ず仕込まれています。まずは典型解法の引き出しを増やし、次に検算の手段（別公式・具体値代入）を持つこと。これが合格点への最短ルートです。
青山学院大学 2025年度 数学（問題PDF②・冊子コード Z(SRB)）の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】
傾向まとめ：全5題のマーク式です。〔Ⅰ〕は正三角形上の点の移動を扱う確率漸化式、〔Ⅱ〕は3次方程式の実数解・虚数解、〔Ⅲ〕は円と放物線に囲まれた面積、〔Ⅳ〕は空間座標と内積、〔Ⅴ〕は対数関数の極値と面積です。式の設定後は標準的な計算が中心ですが、〔Ⅲ〕と〔Ⅴ〕では積分範囲と図形の上下関係を正確に読む力が必要です。
以下は数強塾による独自解説です。問題PDF②を参照し、漸化式の代入、判別式、座標・内積、数値積分による独立検算を行っています。解答PDF②も数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。
〔Ⅰ〕正三角形上の点の移動と確率漸化式
【問題】
〔Ⅰ〕（2025年度 青山学院大学 数学 冊子コード Z(SRB)）
次のような 1 辺の長さが 1 の正三角形 がある。
次の操作に従って正三角形 の辺上を動く点 がある。
操作：青球 2 個、赤球 2 個、白球 1 個が入った袋から球を 1 個取り出し、色を調べてからもとに戻す。取り出した球が青球ならば点 を時計回りに 1 だけ移動させ、赤球ならば点 を反時計回りに 1 だけ移動させる。また、取り出した球が白球ならば点 を頂点 に移動させる。ただし、点 が頂点 にあるときに取り出した球が白球ならば点 を動かさない。
最初に点 が頂点 にあるとし、上の操作を 回くり返した後に点 が頂点 にある確率を とする。
(1) 、 である。
（□は左から 1、2、34、56）
(2) 数列 は漸化式
（□は左から 78、9、10、11）を満たす。
(3) 数列 の一般項は
（□は左から 12、13、1415、16、17、18）である。
【解答】
(1) 、
(2)
(3)
答： 、 、
頂点Aにいるとき、次もAにいるのは白球を引く場合だけなので です。A以外の頂点にいるときは、Aへ進む色の球と白球を合わせて確率 でAへ戻ります。
したがって、全確率の公式から
固定点は なので、 とおけば 。初期値 より
となり一般項を得ます。【検算】一般項へ を代入すると となり、別経路の計算とも一致します。
〔Ⅱ〕3次方程式の実数解と虚数解
【問題】
〔Ⅱ〕
を実数の定数とする。ただし、 とする。
についての 3 次方程式
が 1 つの実数解と 2 つの虚数解をもつとする。実数解は 1 であるとする。
(1) （□は左から 1920）であり、方程式 は
（□は左から 21、2223、24）と表せる。
(2) のとり得る値の範囲は （□は左から 25、26）である。
(3) 方程式 の 2 つの虚数解の実部が負であり、かつ が整数ならば、（27）である。このとき、方程式 の 2 つの虚数解は
（□は左から 2829、30、31、32）である。ただし、 は虚数単位とする。
【解答】
(1) 、
(2)
(3) 、虚数解は
答： 、 、 のとき虚数解
が実数解なので元の式へ代入すると 、したがって 。因数分解すると
2次式が2つの虚数解をもつ条件は判別式が負であることです。
よって 。虚数解の実部は なので、これが負かつ整数である は 。2次式 を解けば です。
〔Ⅲ〕円と放物線の交点・角度・面積
【問題】
〔Ⅲ〕
平面上の点 を中心とする半径 の円のうち、 座標が正の部分を とする。 と放物線 の 2 つの交点のうち、 座標が正の点を 、 座標が負の点を とする。
(1) 点 の座標は （□は左から 33、34、35）である。
(2) （□は上から 36、37）である。
(3) 線分 と で囲まれた図形の面積は （□は上から 38、39）である。また、 と で囲まれた図形の面積は （□は左から 40、41、42、43）である。
【解答】
(1)
(2)
(3) 線分 と ：、 と ：
答： 、 、 面積 と
円は 、放物線は 。 とおいて連立すると
より交点は 。半径ベクトルの内積から
なので です。線分PQと放物線の間の面積は
円弧と放物線の間は
【検算】交点では円・放物線の両式がともに を与え、積分値も数値積分と一致します。
〔Ⅳ〕空間座標と内積
【問題】
〔Ⅳ〕
点 を原点とする 空間内に、点 と 2 点 がある。点 は 平面上の の部分にあり、点 の 座標は正であるとする。さらに、
であるとし、点 から 平面に下ろした垂線と 平面との交点を とする。
(1) 点 の座標は （□は左から 44、45）である。
(2) 点 の 座標を とするとき、点 の 座標は （□は上から 46、47）である。
(3) 点 が 2 点 を通る直線上にあるのは、（48）のときである。このとき、点 の座標は
（□は左から 49、50、51、52、5354、55）である。
【解答】
(1)
(2) 点 の 座標は
(3) 、
答： 、 、 、
とおき、 と の差をとると 、第1象限より 。
、 とします。 から 、また から
よって 。直線ABは なので、HがAB上にあるとき 。したがって で、
を得ます。内積を再計算すると2つの角はそれぞれ となり、条件を満たします。
〔Ⅴ〕対数関数の共有点・極値・面積
【問題】
〔Ⅴ〕
関数
と 平面上の曲線 を考える。
(1) と 軸との共有点の 座標は、（□は左から 56、57）である。
(2) は （□は上から 58、59）で極大値 （□は上から 60、61）をとる。
(3) と 軸で囲まれた図形の面積は
（□は左から 62、63、64、65、66、67、68）である。
【解答】
(1)
(2) で極大値
(3)
答： 共有点 、 極大は で 、 面積
は真数が1ということなので
微分すると
で、定義域内の停留点は のみ。前後で増加から減少へ変わり、真数は なので極大値は です。
囲まれた面積は で
【独立検算】50桁精度の数値積分は で、上の閉形式の数値と誤差 未満で一致しました。
確率では「現在の状態で場合分けして1次漸化式」、方程式では「既知の解で因数分解して判別式」、図形では「式を連立して交点を先に確定」、空間では「角度条件を内積へ翻訳」、対数関数では「真数を1にする・対数を分けて積分」が得点への最短ルートです。
青山学院大学 2025年度 数学（問題PDF③・冊子コード RB）の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】
傾向まとめ：全5題です。〔1〕は複数のさいころの最大値・最小値、〔2〕は平行四辺形のベクトルと内積、〔3〕は対数を利用する漸化式、〔4〕は放物線へ引く2本の接線、〔5〕は2次方程式の解が区間内に入るための条件と領域の面積です。〔1〕〜〔3〕は答のみ、〔4〕・〔5〕は論述過程も求められます。
以下は数強塾による独自解説です。問題PDF③を参照し、さいころの全列挙、座標ベクトル、漸化式への代入、接線の傾き、領域積分による独立検算を行っています。解答PDF③も数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。
〔1〕さいころの最大値と最小値
【問題】
〔1〕（2025年度 青山学院大学 数学 冊子コード R(B)）解答を解答用紙（その1）の 1 欄に記入せよ。
を 2 以上の自然数とする。 個のさいころを同時に投げ、出た目の最大値を 、最小値を とする。 となる確率を とする。
(1) ア である。
(2) イ である。
(3) を の式で表すと ウ である。
【解答】
ア：
イ：
ウ：
（出目がすべて に入り、かつ両方が現れる場合を数える。 の 5 通りで各 通り）
答： 、 、
となる出目の組は、 の5通りです。1組を固定すると、各さいころの出目は2種類から選べるため並びは 通り。ただし、全て小さい目・全て大きい目の2通りは最大値と最小値が等しいため除きます。
を代入すると、それぞれ 、 です。【独立検算】全ての出目を列挙すると、条件を満たす並びは3個で30通り、4個で70通りとなりました。
〔2〕平行四辺形のベクトルと内積
【問題】
〔2〕解答を解答用紙（その1）の 2 欄に記入せよ。
平行四辺形 において、 は鈍角、、、面積は である。辺 の中点を とし、線分 を に内分する点を とする。さらに、直線 と直線 の交点を とする。
(1) エ である。
(2) 線分 の長さは オ である。
(3) 線分 の長さは カ である。
【解答】
エ：
オ：
カ：
（面積 より 、鈍角だから 。）
答： 、 、
とおきます。面積が12なので 。恒等式
へ を代入すると 。 は鈍角なので内積は負で、 です。
Aを原点とすると 。PはDMを に内分するので
直線APと直線CDを係数比較すると 。したがって より です。また
なので です。
〔3〕対数化して解く漸化式
【問題】
〔3〕解答を解答用紙（その1）の 3 欄に記入せよ。
次のように定められた数列 を考える。
(1) とおくとき、 を の式で表すと キ である。
(2) 数列 の一般項は ク である。
(3) となる最小の自然数 は ケ である。ただし、、 とする。
【解答】
キ：
ク：（）
ケ：
（。。実際 ）
答： 、 、 最小の は
の両辺の常用対数をとると
固定点は2なので、 とおけば 。 より
したがって 。 であり、 なので最小の は4です。
〔4〕放物線に引いた2本の直交する接線
【問題】
〔4〕解答を解答用紙（その2）の 4 欄に記入せよ。（この問題は論述なしで結果だけ記しても正解と見なされない）
平面上に放物線 がある。点 からこの放物線に引いた 2 本の接線が直交するとき、 の値と 2 本の接線の方程式を求めよ。
【解答】
2 本の接線は
（接点の 座標は 。傾きの積は より 、解と係数の関係 から ）
答： 、 接線は と
放物線 上の接点を とすると、その接線は
です。点 を通る条件は 。2つの接点の を とすると です。
2本の接線の傾きは 。直交条件より
したがって 。接点のパラメータは で、接線式へ代入すると上の2式を得ます。【検算】傾きの積は 、両接線とも を通ります。
〔5〕2次方程式の解が0以上1以下となる条件
【問題】
〔5〕解答を解答用紙（その3）の 5 欄に記入せよ。（この問題は論述なしで結果だけ記しても正解と見なされない）
を実数とする。 の 2 次方程式 のすべての解が実数で、かつその値が 0 以上 1 以下になるような の条件を求めよ。また、その条件が表す領域を 平面上に図示し、面積を求めよ。
【解答】
条件は
すなわち「判別式 」「」「」「軸 が 」の 4 条件（）。
領域の面積は
（）
答： 、 、 、 、 領域の面積は
とおきます。上に開く放物線が の中で実軸と交わるためには、軸が区間内にあり、頂点が実軸以下、両端で実軸以上であることが必要十分です。
整理すると
です。領域は上側を放物線 、下側を と直線 に囲まれます。面積は
【別解検算】 で放物線の下側の面積は 。そこから直線下の三角形の面積 を引いても です。
数え上げでは「使う値の組を固定して全体から例外を引く」、図形では「面積と辺長を内積へ変換する」、累乗型漸化式では「対数で1次漸化式にする」、接線では「接点を文字で置く」、解の範囲では「軸・判別式・区間端の符号を同時に見る」のが定石です。
青山学院大学 2025年度 数学（問題PDF④・冊子コード RC）の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】
傾向まとめ：全5題です。〔1〕は取り出した球の最大値を得点とする確率、〔2〕は和の偶奇を数える漸化式、〔3〕は対数関数の増減・凹凸・変曲点、〔4〕は三角方程式の解の個数、〔5〕は3次元の射影と領域の面積です。〔3〕〜〔5〕は答だけでなく、グラフや領域を根拠とした論述が必要です。
以下は数強塾による独自解説です。問題PDF④を参照し、組合せの全列挙、数列の全探索、記号微分、三角方程式の数値根探索、座標変換と積分による独立検算を行っています。解答PDF④も数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。
〔1〕球の最大値を得点とするゲーム
【問題】
〔1〕（2025年度 青山学院大学 数学 冊子4）解答を解答用紙（その1）の 1 欄に記入せよ。
1 から 7 までの各数字が書かれた球が 7 個ある。プレイヤーは、これらの球を中身が見えない袋から何個か同時に取り出し、取り出した球に書かれた数字の中で最も大きい数をそのプレイヤーの得点とする。 と の 2 人のプレイヤーがそれぞれこの方法で得点を決め、得点が大きい方を勝ちとするゲームを行う。ただし、2 人の得点が同じ場合は引き分けとする。
(1) まず が 7 個の球が入った袋から球を 2 個同時に取り出し、次に が残りの 5 個が入った袋から球を 3 個同時に取り出す。このとき、 が勝つ確率は ア である。
(2) まず が 7 個の球が入った袋から球を 2 個同時に取り出し、得点をおぼえた後にその球を元の袋に戻す。次に が 7 個の球が入った袋から 3 個の球を同時に取り出す。このとき、 が勝つ確率は イ である。また、引き分けとなる確率は ウ である。
【解答】
ア：
イ： ウ：
（(2) は の得点 が起こる確率 、 の得点 が起こる確率 の積を足し上げる）
答： 戻さない場合のAの勝率 、 戻す場合のAの勝率 、 引き分けの確率
(1) Aの2球を固定すると、残り5球からBが3球を選びます。Aの得点が なら、Bの3球が全て 未満である場合だけAの勝ちです。AとBの取り方を全て数えると
通りのうちAが勝つのは84通りなので、 です。
(2) 球を戻すので、AとBの選択は独立です。Aの最大値が となる組は 通り、Bの最大値が となる組は 通りです。したがって
【独立検算】戻さない場合210通り、戻す場合735通りを全列挙して確かめました。
〔2〕和が偶数となるT数列
【問題】
〔2〕解答を解答用紙（その1）の 2 欄に記入せよ。
を自然数とする。各項が のどれかである項数 の数列 を 項 T 数列と呼び、 とする。
(1) が偶数となる 2 項 T 数列は全部で エ 個ある。
(2) が偶数となる 項 T 数列の個数を とおくとき、 を の式で表すと、 オ となる。
(3) が偶数となる 項 T 数列は全部で カ 個ある。
【解答】
エ： 個
オ：
カ： 個
（ はどちらも奇数なので、 の偶奇は「0 でない項の個数」の偶奇と一致する。 で と全列挙が一致）
答： 、 、
和が偶数の数列へ0を加えると偶数のままで、 を加えると奇数になります。一方、和が奇数の数列へ を加える2通りは偶数になります。全数列は 通りなので
は9通りを直接調べても確認できます。 とおくと であり、初期値から
です。【全探索】 で偶数和の個数は となり、一般項と一致しました。
〔3〕対数関数の増減・凹凸と変曲点
【問題】
〔3〕解答を解答用紙（その2）の 3 欄に記入せよ。
関数
のグラフの概形をかけ。ただし、関数の増減、極値、極限 、グラフの凹凸および変曲点を調べること。
【解答】
定義域は実数全体（）。
増減： より で減少、 で増加。 で極小値 。極大値はない。
極限：
凹凸： より、 で下に凸、 と で上に凸。
変曲点は と （）。グラフは直線 に関して対称。
結論： 定義域は全実数、 で減少、 で増加。 極小点は 、変曲点は と 。両側の極限は です。
なので、定義域は全実数です。微分すると
分母は常に正です。したがって、 の符号は で負から正へ変わり、 の符号は で変わります。また 、 です。
〔4〕三角方程式の解の個数
【問題】
〔4〕解答を解答用紙（その3）の 4 欄に記入せよ。
を定数とする。 のとき、方程式
を満たす の値について考える。
(1) のとき、方程式を満たす の値を求めよ。
(2) 方程式を満たす の値がちょうど 4 個となるような の値の範囲を求めよ。
(3) 方程式を満たす の値がちょうど 3 個のとき、その 3 個の の値の和を求めよ。
【解答】
(1)
(2)
(3)
（ とおくと は で から まで増加し、 まで減少する。 の は を 2 個、 は 1 個生む。ちょうど 3 個になるのは のときで、 と 、 は と和が になる 2 個）
答： (1) 、 (2) 、 (3) 3解の和は
とおくと で、方程式は
(1) では
区間内の解は だけなので、 より上の2解です。
(2) で、区間内の極大値は 、端点値は 、。 のとき、水平線は で2点と交わり、各 が2個の を与えるため4解です。
(3) 3解となるのは のときです。このとき
区間内では 。前者は を1個、後者は対称な2解を与え、その和が なので、合計は です。
〔5〕3次元の射影と領域の面積
【問題】
〔5〕解答を解答用紙（その4）の 5 欄に記入せよ。
空間において、点 をとり、 平面 上にあり 座標が 1 ではない点 に対し、直線 と 平面 との交点を とする。
また、 平面 上の連立不等式
で表される領域を とする。
(1) を 平面上に図示せよ。
(2) が のとき、 の座標を求めよ。
(3) が領域 を動くとき、 の動く 平面 上の領域を とする。 を 平面上に図示し、その面積を求めよ。
【解答】
(1) 単位円 のうち直線 の下側（境界を含む）＝半円板（面積 ）。
(2) （ 座標は とも書ける）
(3) ＝ 放物線 と直線 で囲まれた部分（）
面積は
（ に対し 。逆に解くと で、 が 、 が に対応する。面積は 公式で ）
答： (1) 単位円内の半平面 、 (2) 、 (3) の共通部分で、面積
(1) 領域Dは原点中心の単位円の内部と の共通部分です。
(2) 一般に とし、直線PQを
と表します。yz平面上ではx座標が0なので 。よって
を代入すれば(2)の答です。
(3) とおくと逆変換は
です。Dの条件 へ代入し、 に注意して整理すると
境界の交点は です。したがって面積は
【独立検算】D内の複数の点を射影し、全てが上の2不等式を満たすことを確認しました。積分値も記号計算と一致します。
最大値の確率では「得点ごとに組合せを数える」、偶奇の数列では「偶数状態と奇数状態を遷移させる」、グラフでは「1階微分と2階微分を同じ表で管理する」、三角方程式では「まずsin xを1変数に置換して値域を制限する」、領域の射影では「順変換と逆変換の両方を書く」のが定石です。
青山学院大学 2025年度 数学（問題PDF⑤）の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】
傾向まとめ：全5題です。〔1〕は4回のさいころと座標移動、〔2〕は複素数平面と正方形、〔3〕は三角関数のグラフと面積、〔4〕は距離条件から得られる軌跡、〔5〕は内積で表す垂心です。確率の条件整理、複素数の回転、積分、ベクトルの係数比較という頻出定石を横断します。
以下は数強塾による独自解説です。問題PDF⑤を参照し、さいころ1,296通りの全列挙、複素数の代入、記号微分・積分、距離条件の数値代入、ベクトル方程式による独立検算を行っています。解答PDF⑤も数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。
〔1〕4回のさいころと座標移動の確率
【問題】
〔1〕（2025年度 青山学院大学 数学 冊子5）解答を解答用紙（その1）に記入せよ。
1 個のさいころを 4 回続けて投げる反復試行において、さいころの出る目を順に として 平面上の 4 点 を以下のように定める。
1. 原点 から 軸の正の向きに だけ進んだ位置にある点を とする。
2. から 軸の正の向きに だけ進んだ位置にある点を とする。
3. から 軸の負の向きに だけ進んだ位置にある点を とする。
4. から 軸の負の向きに だけ進んだ位置にある点を とする。
例えば、さいころの出た目が順に 3、2、5、5 ならば、 の座標はそれぞれ となる。
(1) が と一致する確率は （□は上から 1、23）である。
(2) 線分 と線分 が共有点をもつ確率は （□は上から 45、678）である。ただし、線分は両方の端点を含むものとする。
(3) の座標が である確率は （□は上から 9、101112）である。
【解答】
(1) (2) (3)
（。(2) は「」かつ「」で、それぞれ 。 通りの全列挙と一致）
答： (1) 、 (2) 、 (3)
4回の目を順に とすると、右、上、左、下へ移動するので
(1) となる条件は かつ 。それぞれの一致確率は で独立だから
(2) 線分 は 。線分 は の縦線です。両者が共有点をもつ条件は
1〜6の順序つき2数で前者を満たすのは 通り。後者も21通りなので
(3) には 、 が必要です。それぞれ の3通りだから
【独立検算】 通りを全列挙すると、該当数は順に36、441、9通りで一致しました。
〔2〕複素数方程式と正方形
【問題】
〔2〕解答を解答用紙（その1）に記入せよ。
を虚数単位とする。複素数 についての方程式
の 2 つの解を とし、 が表す複素数平面上の点をそれぞれ とする。
(1) 方程式 は （□は左から 13、14、15、16）と表せるので、（□は左から 17、18、19）である。
(2) 線分 の長さは （□は左から 20、21）である。また、線分 を対角線とする正方形の残りの 2 頂点を表す複素数は と （□は 22、23、24）である。
【解答】
(1) 、（）
(2) 、残りの 2 頂点は と
（平方完成すると 、絶対値 8・偏角 。正方形の残り 2 頂点は中点 に を足す）
答： 、 。残りの2頂点は 、
平方完成すると
右辺の平方根は なので、2解は
対応する符号を同時に取ります。絶対値を比べると
より上の が小さい方です。また
対角線ABの中点は です。半対角線 を 回転、つまり 倍すれば残りの頂点が得られます。
【独立検算】2解を元の2次方程式へ代入して残差0を確認し、4辺の長さと隣接辺の内積も一致しました。
〔3〕三角関数のグラフ・交点・面積
【問題】
〔3〕解答を解答用紙（その2）の 3 欄に記入せよ。
、 とする。
(1) において、曲線 の概形を描け。ただし、凹凸は調べなくてよい。
(2) において、2 曲線 の共有点の座標を求めよ。
(3) において、2 曲線 で囲まれた図形の面積 を求めよ。
【解答】
(1) より、 で減少、 で増加、 で減少。 で極小値 、 で極大値 。両端は 。
(2) 共有点は と
(3)
（ と因数分解できるのが要。。数値積分 0.040440115 と一致）
答：交点は 、 、 面積は
を微分すると
では を境に符号を調べます。値は順に
で、 が極小、 が極大です。
は
と因数分解できるので、区間内の交点は上の2点です。
この区間では なので
【独立検算】微分、交点方程式、定積分を記号計算し、数値積分でも と一致しました。
〔4〕距離条件から求める点Qの軌跡
【問題】
〔4〕解答を解答用紙（その3）の 4 欄に記入せよ。
平面上に 2 つの定点 、 がある。線分 上の点 に対して、 平面上の点 は以下の条件 (a)、(b) を満たすとする。
(a) と の 座標は等しく、 の 座標は正である。
(b)
このとき、以下の問に答えよ。ただし、線分は両方の端点を含むものとする。
(1) の座標を とするとき、 の座標を を用いて表せ。
(2) が線分 上を から まで動くとき、 の軌跡を 平面上に図示せよ。
(3) が線分 上を から まで動くとき、線分 が通過する部分の面積を求めよ。
【解答】
(1)
(2) 軌跡は曲線 の の部分。 から まで単調に減少する双曲線の一部（漸近線は ）。
(3) 面積は
（ を 2 乗して整理すると 。面積は 、数値積分と一致）
答： 、 軌跡は 、 面積は
とおきます。 であり、、 です。条件 から
両辺を2乗して整理すると
です。したがってQの軌跡はこの曲線の の部分です。端点は と になります。
線分PQが通過する面積は曲線下の面積だから
【独立検算】 を代入すると、いずれも元の距離の和が4になり、積分値も一致しました。
〔5〕内積で表す三角形の垂心
【問題】
〔5〕解答を解答用紙（その4）の 5 欄に記入せよ。
は鋭角三角形であり、
を満たしている。 とおくとき、以下の問に答えよ。
(1) のとり得る値の範囲を求めよ。
上で与えた の頂点 からそれぞれの対辺に下ろした 2 本の垂線の交点を とし、辺 を に内分する点を とする。
(2) を および を用いて表せ。
(3) 3 点 が同一直線上にあるとき、 の値と を求めよ。
【解答】
(1)
(2)
(3) 、
（(1) は 3 つの角がすべて鋭角、すなわち 、、。(3) は と係数比を比べて ）
答： 、 。 O、H、Cが一直線上なら 、
、 とおくと
三角形が鋭角であるため、Oの角から 。A、Bの角からそれぞれ 、 なので、まとめると です。
とおきます。AHがOBに垂直、BHがOAに垂直だから
すなわち 、 です。この連立方程式を解くと
を得ます。一方、CはABを2:1に内分するので
O、H、Cが一直線上なら、。つまり を代入して を得ます（範囲外の は除外）。このとき だから
【独立検算】2本の垂直条件から得た2元連立方程式を記号計算し、 で両方の内積が0になることを確認しました。
座標移動は「最終座標を最初に式で表す」、複素数の正方形は「中点と90度回転を使う」、グラフの面積は「交点を因数分解して上下を判定する」、軌跡は「距離条件を式にして定義域を残す」、垂心は「2本の垂直条件を内積0で連立する」のが定石です。
青山学院大学 2025年度 数学（問題PDF⑥・冊子コード SB）の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】
傾向まとめ：全5題です。〔1〕は対称式と3次方程式、〔2〕は対称移動を含むベクトル図形、〔3〕は動く放物線の頂点、〔4〕は和から一般項を取り出す数列、〔5〕は指数関数の増減と面積です。式の構造を見抜く力と、条件を範囲まで正確に処理する力が問われます。
以下は数強塾による独自解説です。問題PDF⑥を参照し、対称式の恒等式と3次方程式、座標法と面積比、記号微分、数列の有限和、数値積分という別経路で全問を二重検算しています。⑥は当塾の独立検算のみで確認しています。
〔1〕対称式から3つの実数を求める
【問題】
〔1〕（2025年度 青山学院大学 数学 冊子6）解答を解答用紙（その1）に記入せよ。
を満たす 3 つの実数 に対して、
が成り立つとする。このとき
（□は 123）
である。また
より、（□は 456）である。
は 3 次方程式 の解であるから、
（□は左から 7、8、910）
である。
【解答】
、
（、 より 。）
答： 、 、
2乗和の公式から
なので2次基本対称式は125です。次に
へ数値を代入すると 。したがって3数を解にもつ方程式は
です。大小関係も含めると上の答になります。【独立検算】3解を元の1乗和・2乗和・3乗和へ代入し、21、191、2025に戻ることを確認しました。
〔2〕対称移動・交点D・三角形の面積
【問題】
〔2〕解答を解答用紙（その1）に記入せよ。
平面上の 3 点 は
を満たすとする。また、直線 に関して と対称な点を 、線分 の中点を とし、2 直線 の交点を とする。
(1) 11
(2) の面積は （□は上から 1213、14）である。
(3) （□は上から 15、16）
(4) （□は左から 17、18、19、20）
(5) の面積は （□は左から 21、2223、2425）である。
【解答】
(1) (2) (3)
(4) (5)
（(3) は対称点なので ）
答： 、 、 、 、
とおきます。 より
Aを直線OBに関して対称移動すると、OB方向の射影は なので
また 。直線CMとABを係数比較すると、ABをAから 進んだ点がDです。
よって 。BMはOBの半分、DのOBからの高さはAの 倍なので
〔3〕動く放物線の頂点と最大・最小
【問題】
〔3〕解答を解答用紙（その2）の 3 欄に記入せよ。
を を満たす実数とし、 平面上の放物線
の頂点を とおくとき、以下の問に答えよ。
(1) 点 の座標を を用いて表せ。
(2) 放物線 と 軸の正の部分が異なる 2 点で交わるような の値の範囲を求めよ。
(3) が の範囲を動くとき、点 の 座標の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの の値を求めよ。
【解答】
(1)
(2)
(3) 最大値 （）、最小値 （）
（(2) は「判別式 」「軸 」「」の 3 条件。(3) は と合成する）
答： 。 x軸の正の部分と異なる2点で交わる範囲は 。 頂点のy座標の最大値は （）、最小値は （）
平方完成すると
です。x軸との2交点がともに正になるには、根の和 と積 が正で、判別式 が正であることが必要十分です。これを合わせると上の範囲です。
頂点のy座標を変形すると
となり、正弦の値域から最大・最小とその時刻が一度に求まります。
〔4〕和から一般項を取り出す数列と極限
【問題】
〔4〕解答を解答用紙（その3）の 4 欄に記入せよ。
数列 が
を満たすとき、以下の問に答えよ。
(1) を求めよ。
(2) を を用いて表せ。
(3) を求めよ。
(4) を求めよ。
【解答】
(1)
(2)
(3)
(4)
（(3) は より 。(4) は となり、積が に望遠鏡的に潰れる）
答： 、 、 、
与えられた和を とおきます。 より 。また
から一般項を得ます。したがって
最後の和は部分和をずらして整理すると
なので極限は です。【独立検算】 で有限和と右辺が厳密に一致することを確認しました。
〔5〕指数関数の増減・グラフ・面積
【問題】
〔5〕解答を解答用紙（その4）の 5 欄に記入せよ。
関数
について、以下の問に答えよ。
(1) 曲線 と 軸の共有点の座標を求めよ。
(2) の増減と極値を調べ、グラフの概形を描け。ただし、グラフの凹凸は調べなくてよい。
(3) 等式 が についての恒等式となるように、定数 の値を定めよ。
(4) 曲線 と 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
【解答】
(1) と
(2) で増加、 で減少。 で極大値 。 でも でも 。
(3)
(4) 面積は
（ と置くと 。 は で 。面積は を (3) の部分分数分解で計算する。数値積分 0.051748434 と一致）
答：x軸との交点は 。極大点は 。部分分数の定数は 。囲まれた面積は
とおくと で
です。 は なので 。また
より まで増加し、その後減少します。両端では へ下がります。
面積計算では とし、
を用います。よって
【独立検算】導関数の符号、2交点、極大値を記号計算し、面積は数値積分でも約 と一致しました。
対称式は基本対称式へ集約する、反射は「射影の2倍−元のベクトル」で表す、動く頂点は平方完成後に三角合成する、和から一般項は隣接差を取る、指数関数の積分はt=e^xで有理式へ直すのが定石です。
青山学院大学 2025年度 数学（問題PDF⑦・全5大問）の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】
傾向まとめ：5大問・計16小問です。Ⅰは整数・絶対値方程式・接線、Ⅱは格子点・三角形・正四面体、Ⅲは統計的推定、Ⅳは購入計画の整数最適化、Ⅴは1次不定方程式です。数ⅠAの主要分野を「条件を式へ翻訳する力」で横断する総合問題です。
以下は数強塾による独自解説です。問題PDF⑦を参照し、整数解の全列挙、記号微分・積分、座標ベクトル、信頼区間の再計算、離散最適化で全16小問を独立検算しています。解答PDF⑦も数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。
Ⅰ 整数の余り・絶対値方程式・放物線の接線
【問題】
〔Ⅰ〕（2025年度 青山学院大学 数学 冊子7）以下の問題については解答用紙（その1）を使用すること。
(1) ある正の整数を 15 で割ると 8 余り、8 で割ると割り切れず 余る。この数を 120 で割った余りは、（□は左から 123、45）である。
(2) を満たす実数 の個数が 3 個であるのは （□は 678）、4 個であるのは （□は 9、101112）のときである。
(3) 直線 は、放物線 上の点 における接線に直交し、放物線 にも接する。
1. 直線 は、（□は左から 1314、15、16、1718）である。
2. 直線 と放物線 と 軸で囲まれた図形の面積は、（□は上から 19、202122）である。
【解答】
(1)
(2) 3 個は 、4 個は
(3) 1. 2. 面積は
（(2) は と因数分解でき、極大値 、極小値 。 のとき の解は と の 3 個。(3) は接点 、 の 切片 ）
答： (1) 、 (2) 3個は 、4個は 、 (3) 、面積
(1) 数を とおくと、8を法として 。よって であり
(2) 多項式は
で、極大は のとき256、極小は のとき0です。絶対値を取ったグラフと水平線 の交点を数えると、 で4個、 で3個です。
(3) での接線の傾きは なので、lの傾きは 。これが に接する条件から切片は です。
接点 とlのx切片 で積分区間を分けると面積は です。
Ⅱ 格子点・三角形の内接円・正四面体
【問題】
〔Ⅱ〕以下の問題については解答用紙（その1）を使用すること。
(1) を同時に満たす整数の組 の個数 を求める。
1. のとき、（□は 232425）である。
2. を正の整数とするとき、（□は左から 26、27、28、29）である。
(2) において、、、 とし、内接円の半径を とする。ここで、 が鋭角のとき、、（□は 3031、32、33、34）である。 が鈍角のとき、、（□は 353637、38、39、40）である。
(3) 辺の長さが 1 である正四面体 において、線分 を に内分する点を とし、線分 の中点を とする。
1. の大きさは （□は上から 4142、4344）である。
2. は （□は左から 4546、4748、495051）である。
3. 線分 を に内分する点を とするとき、 と が直交するのは、（□は上から 5253、5455）のときである。
【解答】
(1) 1. 2.
(2) 鋭角のとき ／鈍角のとき
(3) 1. 2. 3.
（(1) は が必要で、 とおくと各 に対し は 個。(2) は正弦定理から で 2 通り）
答： (1) 、 では176。 (2) または 。 (3) 、、
(1) 上側の放物線を平方完成すると 。 として の各列に格子点が 個あるため
(2) 正弦定理より なのでCは60°または120°。各場合に を使うと答を得ます。
(3) 正四面体を
と座標化し、 を代入します。長さと内積で前2値を得て、 とおき を解くと です。
Ⅲ 95%信頼区間・必要標本数・標準化
【問題】
〔Ⅲ〕以下の問題については解答用紙（その1）を使用すること。
(1) ある地方都市で 400 人を無作為に選んで調べたところ、A 党の支持者が 200 人であった。この都市における A 党の支持率 に対する信頼度 95% の信頼区間を、四捨五入して小数第 2 位まで求めると （□は 5657、5859）となる。
(2) ある検定試験の得点の母標準偏差 は 20 点であると予想されている。この予想が正しいものとし、母平均 を信頼度 95% で推定するとき、信頼区間の幅を 4 点以下にするためには、少なくとも （□は 606162）人を抽出して調べればよい。
(3) 確率変数 の平均を 1、分散を 16 とする。 を正の定数、 を定数とするとき、 で表される確率変数 の平均が 2、分散が 1 となるのは、、（□は左から 63、64、65、66）のときである。
【解答】
(1) （）
(2) 人（ より ）
(3)
（ から 、 から ）
答： (1) 、 (2) 385人、 (3)
(1) 標本比率は 。95%信頼区間を
と計算し、小数第2位まで丸めます。(2) 区間幅が4点以下、つまり
より なので最小整数は385です。(3) 、 と から答が出ます。
Ⅳ 購入計画と整数上の最大化
【問題】
〔Ⅳ〕以下の問題については解答用紙（その1）を使用すること。
友人たちとパーティーをするために、合計 10000 円を全員で出し合って、ジュースとドーナツを購入することにした。いま、ジュース 1 本の価格が 150 円、ドーナツ 1 個の価格が 200 円として、次の問いに答えよ。ただし、購入するジュースの本数を 、ドーナツの個数を とし、 と はそれぞれ非負の整数とする。
(1) 10000 円を余すことなく使い購入できる の組合せは、 と の係数を互いに素として、（□は左から 67、68、697071） を満たす。
(2) 式 を満たす の組合せは、（□は 7273）通りである。
(3) ジュース 本とドーナツ 個を飲食するときのパーティー参加者の満足度を とする。このとき、式 を満たし満足度を最大にする の組合せは、（□は 7475、7677）である。
(4) 半年後にも同じメンバーでパーティーをすることになったが、物価上昇により、ジュース 1 本の価格が 165 円、ドーナツ 1 個の価格が 220 円に上昇していた。いま、(3) と同様に、パーティー参加者の満足度を とする。このとき、満足度を最大にする の組合せが (3) と同じであるためには、少なくとも合計 （□は 7879808182）円を全員で出し合えばよい。
【解答】
(1)
(2) 通り（）
(3) （このとき ）
(4) 円
（価格比が で変わらないので、同じ を買うには 円必要。(3) は と見て相加相乗から 、すなわち 付近を調べる）
答： 、非負整数解は17通り、満足度最大は 、値上げ後に必要な最小合計額は11,000円
金額の式を50で割ると 。整数解は
なので17通りです。満足度は
となります。連続変数での山の頂点は 付近なので、隣接整数を比較すると 、すなわち で最大です。値上げ後も価格比が3:4のままなので同じ組が最適となり、
Ⅴ 1次不定方程式の個数・合同条件・積の最大最小
【問題】
〔Ⅴ〕以下の問題については解答用紙（その2）を使用すること。
を満たす正の整数 と について、次の問いに答えよ。ただし、答えに至る過程を記述すること。
(1) の組合せの個数を求めよ。
(2) が 6 の倍数である の組合せの個数を求めよ。
(3) の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。
【解答】
(1) 個
(2) 個
(3) 最大値 （）、最小値 （ および ）
（ より 、。(2) は が 6 の倍数 が 3 の倍数。(3) は で頂点 、最小は両端 の 1065）
答： (1) 71組、 (2) 23組、 (3) 最大値19,440、最小値1,065
の正整数解は
と一意に表せるので71組です。 が6の倍数である条件は 。1〜71の3の倍数は23個です。また
より最大値は で19,440。最小値は端の で1,065です。
【全体の独立検算】Ⅰ〜Ⅴの全てについて、82個の解答欄すべてについて、記号計算または整数全列挙による別解と一致しました。
余りは合同式、解の個数はグラフ、格子点は列ごとの和、空間図形は座標化、統計は公式の各量を単位まで確認、整数最適化は一般解を1変数で表してから比較するのが定石です。
本ページが扱う入試問題の著作権は 青山学院大学 に帰属します。出典：青山学院大学 2025年度 入学試験問題「数学」。
掲載しているのは、受験生の学習支援を目的として数強塾が独自に作成した解答・解説です。学校が公表した公式解答ではありません（一般的な解答例と照合した場合は本文中にその旨を明記しています）。問題文の引用は解法の説明に必要な最小限にとどめています。
掲載内容について権利者の方からご連絡がある場合は、お問い合わせより速やかに対応いたします。
青山学院大学 数学 過去問｜他の年度を見る
青山学院大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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青山学院大学 2025年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 確率・場合の数
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- 数列
- 指数・対数
- 整数
- 空間図形
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
2025年度の問題PDFでは、確率・場合の数、図形・三角関数、微分・積分、数列、指数・対数に関する語句や設問を確認できました。青山学院大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、関数・グラフは29年度、微分・積分は29年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1PDF文字抽出
検出分野: 数列、確率・場合の数、図形・三角関数、微分・積分、指数・対数
, 3, ...の一つ一つは,こ
れらのいずれか一つに対応する.それらを解答用紙の 1, 2
, 3, ...で示された
解答欄にマークして答えよ.
例 □E]E] に一 83 と答えたいとき
1 •((((((((((( 0000
2 〇11111111●1 00000
3 〇1〇1●11111115 000
なお,同一の問題文中に[こ]' [こl[こ|などが 2 度以上現れる場合, 2 度
目以降は, 口] ロロロ□ のように細字で表記する.
3 分数形で解答する場合,分数の符号は分子につけ,分母につけてはいけない.
例えば,ロロロに一]と答えたいときは,ー 4 として答えよ.
また,それ以上約分できない形で答えること.
3 6
例えば,―ーと答えるところを, のように答えてはいけない.
4 8
4 根号あるいは対数を含む形で解答する場合は,根号の中や真数に現れる自然数
が最小となる形で答えよ.
例えば口:口に 4 `と答えるところを, 2 /8のように答えては
いけない.また 9 □ log 2 口に 6 l
og23 と答えるところを, 3 l
og29 のよ
うに答えてはいけない.
5 分数形で根号を含む形で解答する場合,[]+[こ卜[口]に 3+2 互
日 2
6+4 互
と答えるところを, や のように答えてはいけない.
〔計算用余白〕
〔計算用余白〕
□ 円に内接する四角形 ABCD がある.ただし,頂点 A, B, C, D は反時計回り
に並んでいるとし,各辺の長さは
AB=1
, BC=2
, CD=4
, DA=5
であるとする.
(
I) cos 乙BAD= 凸...·
(2) △ABD の面積は ロロ工 であり,四角形 ABCD の面積は
ロロ
日[口ある.
(3) 対角線AC と BD の交点を E とすると置=言である.
〔計算用余白〕
田サイコロを続けて 3 回投げる.サイコロを投げるたびに, 1 か 6 が出たら A
をその他の目が出たら G を選ぶそれらを選んだ順に左から書いて, A と G
からなる長さ 3 の文字列を作る.たとえば,出た目が 3, 6
, 1 のとき,得られ
る文字列は GAA である.
この手順を 2 回行い, 1 回目, 2 回目に得られる文字列をそれぞれ S, T とす
る.
(
1) S と T がともに AGG となる確率は ロロ である.
□□□
(
2) S に含まれる A の個数がちょうど 1 個のとき, S と T が一致する条件付き
確率は 日曰 である
(
3) S に含まれる A の個数がちょうど 1 個であり,かつ S と T が一致する確率
曰日
は巨]□巨]である.
(
4) S と T が一致する確率は
曰曰日 である.
□曰曰
〔計算用余白〕
巨l 数列 {a』に対しふ=言“ (n=l,2,3,··•) とおくとき,
ふ= +an++ n2_ い-] (n=l,2,3,·・・)
が成り立つとする.
(
1) al =曰である.
(
2) 数列 {an} は漸化式
佑+1= 曰佑_ □ -ロ (n=l,2,3,・・・)
を満たす.
(
3) k
, fを定数として
仇= an+ k
n+ f (n=l,2,3,・・・)
とおく. このとき,
曰
曰
`曰 □l
f ——
であれば数列 {b』は等比数列になる.
(
4) 数列{ an} の一般項は
寄 ロ 曰曰 回口
an ”~+
= +
(n=l,2,3,・・・)
である.
〔計算用余白〕
匠l 曲線y=炉を G とし, Cl を x 軸方向に 2, y軸方向に 6 だけ平行移動して
得られる曲線を G とする.
(
1) C1 と G の交点は(冒冑)である.
(2) 点( a, a2 )における C の接線{が C2 にも接するとき, a= 昌であり,
fの方程式はy =曰 x- 昌である.また,このとき l と C2 の接点は
冒寄)てある
(
3) (2) で求めた接線fと 2 曲線 C1, C2 で囲まれた図形の面積は昌である.
,
〔計算用余白〕
問2PDF文字抽出
検出分野: 指数・対数、図形・三角関数、方程式・不等式、空間図形、数列
, 3, ...の一つ一つは,こ
れらのいずれか一つに対応する.それらを解答用紙の 1, 2
, 3, ...で示された
解答欄にマークして答えよ.
例 E]E]E] に一 83 と答えたいとき
1 ●1〇11111〇11 OOO 1 0
2 〇1〇111111●111◎11
3 〇111●111 O 11〇1〇1 0
なお,同一の問題文中に[:] [□|[[|などが 2 度以上現れる場合, 2 度
目以降は, 口] □□□□ のように細字で表記する.
3 分数形で解答する場合,分数の符号は分子につけ,分母につけてはいけない.
例えば詈に一]と答えたいときは,予として答えよ.
また,それ以上約分できない形で答えること.
3 6
例えば一と答えるところを,―-のように答えてはいけない.
4 8
4 根号あるいは対数を含む形で解答する場合は,根号の中や真数に現れる自然数
が最小となる形で答えよ.
例えば, □/ITJに 4 /2と答えるところを, 2 厄のように答えては
いけない.また 9 □ log 2 日に 6 log23 と答えるところを, 3 log29 のよ
うに答えてはいけない.
5 分数形で根号を含む形で解答する場合[]+[こK[口]に 3 + 2 /
□ 2
と答えるところを, 6 + 44` や 6+: パのように答えてはいけない.
〔計算用余白〕
〔計算用余白〕
□ 次のような l 辺の長さが 1 の正三角形 ABC がある.
A
c B
次の操作に従って正三角形 ABC の辺上を動く点 P がある.
操作:青球 2 個,赤球 2 個,白球 1 個が入った袋から球を 1 個取り出し,色
を調べてからもとに戻す.取り出した球が青球ならば点 P を時計回
りに 1 だけ移動させ,赤球ならば点 P を反時計回りに 1 だけ移動さ
せる.また,取り出した球が白球ならば点 P を頂点 A に移動させ
る.ただし,点 P が頂点 A にあるときに取り出した球が白球ならば
点 P を動かさない.
最初に点 P が頂点 A にあるとし,上の操作を n 回くり返した後に点 P が頂点
A にある確率を Pn とする.
ロロ
ロロ
,1¥
ー \,
P
l =
か]
= ロロ で あ る
ロロ
(
2) 数列{p』は漸化式
□]
□―
ロ
pn + ー
—— pn +
(n=l,2
,3,·・・)
を 満 た す
ロロ
(
3) 数列{p』の一般項は
□曰
ロ
ロロ
(\ \) n
pnる
= + ( n =
、ヽー'ノ
で ぁ
〔計算用余白〕
, b を実数の定数とする.ただし,
[]] a a キ 0 とする.
x についての 3 次方程式
a炉ー (3 a‐ 12) 炉+ ( 2 a‐ 1
1)x+b=0 ...... (*)
が 1 つの実数解と 2 つの虚数解をもつとする.実数解は 1 であるとする.
(
1) b = □回であり,方程式(*)は
(x-1){a炉ー( □ -E]曰い日}= 0
と表せる.
(
2) a のとり得る値の範囲は
曰< a <曰
である.
(3) 方程式(*)の 2 つの虚数解の実部が負であり,かつ a が整数ならば
a=巨]である.このとき,方程式(*)の 2 つの虚数解は
曰曰土 □
回口
である.ただし,iは虚数単位とする.
〔計算用余白〕
巨] xy平面上の点 A(0, +)を中心とする半径/うの円のうち,y座標が正の
部分を C1 とする. C と放物線 C2: y=炉十一ーの 2 つの交点のうち, x 座標が
正の点を P, X 座標が負の点をQとする.
(I) 点 P の座標は(虐曰)である.
(2) 乙PAQ=冒冗である.
(3) 線分 PQと C2 で囲まれた図形の面積は言である.
回[]
また, C1 と C2 で囲まれた図形の面積は[]冗ー[] である.
〔計算用余白〕
匠l 点 0 を原点とする xyz 空間内に,点 A(8, 0,0) と 2 点 B, C がある.点 B は
xy平面上の x>O, y >O の部分にあり,点 C の z 座標は正であるとする.
さらに,
冗 冗
OB=5 互, AB= 7 互, 乙 COA= 乙 COB=~
3' 4
であるとし,点 C から xy平面に下ろした垂線と xy平面との交点を H とする.
(
1) 点 B の座標は ([]9 E],o) である.
(2) 点 H の x 座標を a とするとき,点 H のy座標は昌 a である.
(
3) 点 H が 2 点 A, B を通る直線上にあるのは, oc=[] のときである.
このとき,点 C の座標は(冒, 昌 9 ]亨)である.
〔計算用余白〕
‐ l
o‐
口関数
ば x+l
f(
x)=log炉+ l (x>‐4)
y=f (x) を考える.
と xy平面上の曲線 C :
(
I) C と x 軸との共有点の x 座標は, x=~. j[:である.
(
2) /(x)は x =虐で極大値
oga
l (a =目)
をとる.
(
3) C と x 軸で囲まれた図形の面積は
口+回~log□—冒
である.
‐ l
〔計算用余白〕
問3PDF文字抽出
検出分野: 微分・積分、指数・対数、数列、確率・場合の数、関数・グラフ
1) p3 =口である.
(
2) p4 =口である.
(
3) 九を n の式で表すと九=[汀である.
〔計算用余白〕
口解答を解答用紙(その 1) の □□ 欄に記入せよ.
平行四辺形 ABCD において,乙 DAB は鈍角, AB=5, AD=4, 面積は 12
である.辺 BC の中点を M とし,線分 DM を 1:2 に内分する点を P とする.
さらに,直線 AP と直線 CD の交点をQとする.
(1) 屈韮=口である.
(
2) 線分 DQの長釘4]] である.
(
3) 線分 AQの長さはじ]である.
〔計算用余白〕
巨]解答を解答用紙(その 1) の □ 欄に記入せよ.
次のように定められた数列{ an} を考える.
l= 1
a 0, a
n+l= 10 ふ (n=l,2,3, ...)
(
1) 仇= loglO an とおくとき, bn+l を b” の式で表すと bn+l =[日である.
(
2) 数列{ an} の一般項は E] である.
(
3) an ~ 60 となる最小の自然数 n はじ]である.
ただし, log1。 2 = 0
.30
10, log1。 3 = 0.4771 とする.
〔計算用余白〕
田解答を解答用紙(その 2) の □ 欄に記入せよ.
xy平面上に放物線y=一炉がある.点 (1, a) (a>-1) からこの放物
線に引いた 2 本の接線が直交するとき, a の値と 2 本の接線の方程式を求めよ.
〔計算用余白〕
田解答を解答用紙(その 3) の □ 欄に記入せよ.
, b を実数とする. x の 2 次方程式 x2 ‐ ax+b=0 のすべての解が実数
a
で,かつその値が 0 以上 l 以下になるような a, b の条件を求めよ.また,その
条件が表す領域を ab 平面上に図示し,面積を求めよ.
‐ l
l̲
〔計算用余白〕
'
問4PDF文字抽出
検出分野: 方程式・不等式、数列、関数・グラフ、図形・三角関数、確率・場合の数
1) まず A が 7 個の球が入った袋から球を 2 個同時に取り出し,次に B が残り
の 5 個が入った袋から球を 3 個同時に取り出す.このとき, A が勝つ確率は
□□]である.
(
2) まず A が 7 個の球が入った袋から球を 2 個同時に取り出し,得点をおぼえ
た後にその球を元の袋に戻す.次に B が 7 個の球が入った袋から 3 個の球を
同時に取り出す.このとき, A が勝つ確率はにこ]である.また,引き分
けとなる確率は[:□□]である.
〔計算用余白〕
ビ]解答を解答用紙(その 1) の □旦欄に記入せよ.
n を自然数とする.各項が一 1, 0
, 1 のどれかである項数 n の数列
n
a1, a2, ... ,an を n 項 T 数列と呼び,ふ=こ aK とする.
k=l
(
1) S2 が偶数となる 2 項 T 数列は全部で[こ三こ]個ある.
(
2) ふが偶数となる n 項 T 数列の個数を Xn とおくとき, Xn+l を Xn の式で
表すと,孔+1 =[ここ]となる.
(
3) ふが偶数となる n 項 T 数列は全部で[::口]個ある.
〔計算用余白〕
口解答を解答用紙(その 2) の □日欄に記入せよ.
関数
y=log(炉ー 2x +5)
のグラフの概形をかけ.ただし,関数の増減,極値,極限( lim ,l
y i
m y),
X• ‐oo X • 00
グラフの凹凸および変曲点を調べること.
〔計算用余白〕
口解答を解答用紙(その 3) の[り欄に記入せよ.
k を定数とする. O~x く 2 7[のとき,方程式
4si
n3x ‐ 3si nx ‐ k=0
n2x ‐ 6si
を満たす x の値について考える.
(
1) k= のとき,方程式を満たす x の値を求めよ.
(
2) 方程式を満たす x の値がちょうど 4 個となるような K の値の範囲を求めよ.
(
3) 方程式を満たす x の値がちょうど 3 個のとき,その 3 個の x の値の和を
求めよ.
〔計算用余白〕
巨l 解答を解答用紙(その 4) の □□ 欄に記入せよ.
xyz 空間において,点 P(1, 0
, 1) をとり, xy平面 (z =0) 上にあり x 座標が
1 ではない点Qに対し,直線 PQとyz 平面 (x =0) との交点を R とする.
また, xy平面 (z =0) 上の連立不等式
{炉十y2 二 l
x+ y ~O
で表される領域を D とする.
(
1) D を xy平面上に図示せよ.
(
2 ,s
) Qが (cos 0 n0, 0) (0
i <0 く 2 冗)のとき, R の座標を求めよ.
(
3) Qが領域 D を動くとき, R の動くyz 平面 (x =0) 上の領域を E とする.
E をyz 平面上に図示し,その面積を求めよ.
〔計算用余白〕
'
問5PDF文字抽出
検出分野: 確率・場合の数、空間図形、図形・三角関数、指数・対数、整数
, 3, ...の一つ一つは,こ
れらのいずれか一つに対応する.それらを解答用紙の 1, 2
, 3, ...で示された
解答欄にマークして答えよ.
例 □E]E] に一 83 と答えたいとき
1 ●111111111115◎11
2 〇1〇111111●1 000 11
3 〇1 CD 1●111 O 11 OOO 11
なお,同一の問題文中に[こl [こ][[などが 2 度以上現れる場合 2 度
目以降は, 口] ロロロ□ のように細字で表記する.
3 分数形で解答する場合,分数の符号は分子につけ,分母につけてはいけない.
例えば, 皇『l に一]と答えたいときは, — として答えよ. 4
また,それ以上約分できない形で答えること.
3 6
例えば,―-と答えるところを, のように答えてはいけない.
4 8
4 根号あるいは対数を含む形で解答する場合は,根号の中や真数に現れる自然数
が最小となる形で答えよ.
例えば,口(口に 4 `と答えるところを, 2 /8のように答えては
いけない.また 9 □ log 2 口に 6 log23 と答えるところを, 3 log29 のよ
うに答えてはいけない.
5 分数形で根号を含む形で解答する場合 □ +言口に 3+:互
と答えるところを, 6+ 4
4`:や 6+ :パ{のように答えてはいけない.
〔計算用余白〕
‐ l‐
〔計算用余白〕
ロ解答を解答用紙(その 1) に記入せよ.
1 個のさいころを 4 回続けて投げる反復試行において, さいころの出る目を順
に X1, X2, X3 ,ふとして xy平面上の 4 点 P1, P2, P
3, P4 を以下のように定める.
1. 原点 0 から x 軸の正の向きに X1 だけ進んだ位置にある点を E とする.
2. P1 からy軸の正の向きにふだけ進んだ位置にある点を P2 とする.
. P2 から x 軸の負の向きにふだけ進んだ位置にある点を凡とする.
. 凡からy軸の負の向きにふだけ進んだ位置にある点を P4 とする.
例えばさいころの出た目が順に 3, 2
,5, 5 ならば P1, P2, P3, P4 の座標
はそれぞれ (3, 0
), (3, 2
), (‐2, 2
), (-2,-3) となる.
(
!) P, が 0 と一致する確率はロロロである.
(2) 線分 OP1 と線分 P3P4 が共有点をもつ確率は
ロロ である.
ロロロ
ただし,線分は両方の端点を含むものとする.
(
3) P4 の座標が (3, 3) である確率は
口 である.
ロロロ
〔計算用余白〕
ビl 解答を解答用紙(その 1) に記入せよ.
iを虚数単位とする.複素数 z についての方程式
牙ー 4 i z =4 ばi...... (*)
3(
の 2 つの解を a, / l
al<1 /3 1) とし, a , B が表す複素数平面上の点をそれぞれ
A, B とする.
f
i(a~ffir く 2
(
1) 方程式(*)は
(z 口)2 =日(cos 目7[十i s
in r
r) r
r)
と表せるので,
a =ー[+(曰— □ )1
である.
(
2) 線分 AB の長さは E]([]ーである.また,線分 AB を対角線とする
正方形の残りの 2 頂点を表す複素数は
ーロ+(曰+[) 1 と二]+ □ -:]) 1
である.
〔計算用余白〕
口解答を解答用紙(その 2) の □□ 欄に記入せよ.
f(
x)=c
os3x+s
in
3x, g(
x)=sinx とする.
(
1) O~x~n において,曲線y =f (x) の概形を描け.ただし,凹凸は調べな
くてよい.
(
2) 0~ X ~冗において, 2 曲線y=f (x), y=g (x) の共有点の座標を求めよ.
(
3) O~x~ 冗において, 2 曲線y =f(
x), y=g(x) で囲まれた図形の面積 S
を求めよ.
〔計算用余白〕
口解答を解答用紙(その 3) の[り欄に記入せよ.
xy平面上に 2 つの定点 A(-1, 0
), B(l, 0) がある.線分 AB 上の点 P に対
して, xy平面上の点Qは以下の条件 (a), (b) を満たすとする.
(
a) P とQの x 座標は等しく,Qのy座標は正である.
(
b) AP +PQ +QB=4
このとき,以下の問に答えよ.ただし,線分は両方の端点を含むものとする.
(
1) pの座標を (s, 0) とするとき,Qの座標を s を用いて表せ.
(
2) pが線分 AB 上を A から B まで動くとき,Qの軌跡を xy平面上に図示せよ.
(
3) pが線分 AB 上を A から B まで動くとき,線分 PQが通過する部分の面積
を求めよ.
〔計算用余白〕
ロ解答を解答用紙(その 4) の □□ 欄に記入せよ.
△ OAB は鋭角三角形であり,
))
IOAl=4, IOBl=3
))
を満たしている. OA キOB=k とおくとき,以下の問に答えよ.
(
1) k のとり得る値の範囲を求めよ.
上で与えた△ OAB の頂点 A, B からそれぞれの対辺に下ろした 2 本の垂線の
交点を H とし,辺 AB を 2:1 に内分する点を C とする.
)))
(
2) OH を OA, OB および k を用いて表せ.
OH
) 3 点 0, H, C が同一直線上にあるとき, K の値と
(
cを求めよ.
o
l‐
〔計算用余白〕
問6PDF文字抽出
検出分野: 関数・グラフ、微分・積分、空間図形、指数・対数、図形・三角関数
,2,3
, ...の一つ一つは,こ
れらのいずれか一つに対応する.それらを解答用紙の 1
,2 , ...で示された
,3
□E]
解答欄にマークして答えよ.
例 ビ ] に 一 83 と答えたいとき
1 ●111111111111◎11
2 O 1 1 1 1 1 1 1O ● 1 〇 1 〇 10
3 O 1 O 1 ● 1 1 1O 1 1 1 1O 1 O
なお,同一の問題文中に[こ l [ ] [ コ な ど が 2度以上現れる場合, 2度
目以降は, □
□ , I2I
I3 Iのように細字で表記する.
3 分数形で解答する場合,分数の符号は分子につけ,分母につけてはいけない.
（続きは問題PDFで確認できます）
問7PDF文字抽出
検出分野: 整数、確率・場合の数、図形・三角関数、データ・統計、指数・対数
（続きは問題PDFで確認できます）