中央大学 2023年度 過去問・解答

(1) 7(@) = (@? +aa—1) (0? + ic一1) を満たす実数 と 5 を求めよ。ただし, =
とする。
(2) HN f(x) = 0 の解はすべて無理数であることを示せ。
(3) BARK f(x) = 0 の解のうち最も大きいものを a, 最も小さいものを 8 とする。
整数4とおが
ABa + A—B=p(2+p8)
を満たすとき, 4 と BERD
ーsー

(設問は次のページにつづく)
sens

Tl n=1, 23, - ML, i= rie eB. WFOMWICBR
。
(50 点)
(G) Int Inga をかの式で表せ。
20 な< RARE,
(3) 次の等式を示せ。
n ニー
テーにUPニモェエーョオキ記ーィナーキトCD 支コ
(4) (2) と (3) を利用して, 次の等式を示せ。

A gg al) a aa

(設問は次のページにつづく)

TIT 座概平面に 2 点 A(-3, 2), BUL,-2) ES. KEMP が円 2のニ1上を
動くとし, S=AP?+BP*, T= とおく。以下の問いに答えよ。(50 点)
(1) AP の座標を (*, y) とするとき, 9 を x。 の1 次式として表せ。
(2) 3 の最小値と 9 を最小にする点 P の座標を求めよ。
(3) 7 の最小値と 7 を最小にする点 P の座標を求めよ。
ー6一

(設問は次のページにつづく)
ーッァー

TV 後分可能な関数 /(*) に対し, 関数 g(t) を以下で定める。 y = f(x) のグラフの点
(t-1, fE-1)) における接線と直線 =ニ#との交点の ヵ MA g(t) とする。 以下
の問いに答えよ。(50 点)

(1) a を定数とする。/(<) = 9 上gw2 DEK, g(t) を求めよ。

(2) 7(*) を (1) の通りとする。げ() 2 g(x) がすべての実数 で成り立つようなq
の条件を求めよ。

(3) ヵ を 2 以上の自然数とし, fle) =a" のときの g(x) を 9。(*) とする。 HB
(の) =0 の解を求めよ。 また, 3 のとき, 4(?) を gni(x) で表せ。

(4) gaz) を (3) の通りとする。 2 3 のとき,関数 ッ= 9。() が極大値をもつた
DO ヵ の条件と, そのときの極大値を求めよ。

Sg

(以下計算用紙)
age

(計算用紙)
cc10=

(計算用紙)
yp

(計算用紙)

(計算用紙)
ー17一

(1) 9のとりうる値の範囲は0 <の< Tals である。
@) AB=9かっの3のとき, sancomanoren[ 9 |/| エ]
である。
(3) AABO が二等辺三角形であるようなのの値のうち, 最小のものをg とす
ると
_#
ES
である。
9ニーのとき, ZCの二等分線と辺AB の交点をDとすると, AABC
と ACDB が相似であることから
AB_ +yL2 ]
BOO [ヶ|
が得られ, したがって
[a ITyLす]
cos ¢ = ーーー マニーー
である。
ーーが

(設問は次のページにつづく)
ーー

Tl 82104), REQ, HEN 個人っている。(25 A)

(1) 袋から玉を2 個取り出し, 色を確認して元に戻すことを続けて 2 回行う。
1 回目に取り出した赤玉の個数を 2 回目に取り出した赤玉の個数を Yと
する。

(i) メー 2である礁率は =—— CHS,
(ii) X+ アニ 2である確率は 一寺 である。
Gi) メキイー2のとき。 イー 2 Cb AAMT BIOL SC,

(2) PA IER CHL AOMLOAECREMA, 加えた後の袋から玉を
2 個取り出す。

() サイロロはの目が出て。 かつっ取り出した玉が2 個とも赤玉である
確率は
I 2
SX (k= 1,2, 6
6 etす pele) |
である。ただし, | サ |>| シ |とする。
Gi) 取り出した玉が2 個と AE

(設問は次のページにつづく)
open

TI] AOAB において
辺ABを1:3に内分する点をQ」
MF OC を 2 :1 に内分する点をD
ーー ee — 1+, 5-
とする。また, OA= a, OB= HEL, OBニー=c十ちとする。
(30 点)
ーー ー
(1) OF ie | ack Ss
Cz ]+vC4 J
(2) ZAOB = 60° #2 ZDOE=90° + &, OA _ LEST ーー

である。
直線 DE によって AOAB を切ってみよう。
(3) MDE LIMP をとって DP = DEB とすると
oP = 21-2 les (+93)
である。
(4) 直株DE と直線 0A, OB との交点をそれぞれA。 B' とすると
ox (2) cow
oA [a] OB [|
であり, AOAB, AOA'B’, AODR の面積をそれぞれ9 S, 品 とすると
Si: 8: S=8:( 3 |: CF |
である。
あー

(設問は次のページにつづく)
の

TV me
f (0) = & — 30a — 5a
がある。ただし, は実数の定数である。(95 点)
(1) f(a) に極値が存在しないのはag=| ア |のときである。
以下の(2(3)では, f(a) が極大値 4 をもつとする。
イウ オカ
(2) fie また, f(a) pene tee,
[=]
(3) y=f(e) のグラフと直線9= 4の共有点を AB とすると
BaF
a
であり, y=f(v) OFF 7 LMT AB で囲まれた図形の面積をとすると
s_
a [a]
である。
eygics

(以下計算用紙)
ー9一

(計算用紙)

(計算用紙)
ーロー

(計算用紙)
y=

(計算用紙)
i

(計算用紙)
=

(計算用紙)
ー15一

(計算用紙)
Ee.

(計算用紙)
ーー

(1) f は定数 。 の値によらずある定点を通る。 この定点を求めよ。
(2) / との相異なる 2 交点の z 座標をそれぞれ a, GB とおく。ただし, a <おと
する。このとき, ガーwと9をogを用いて表せ。
(3) 9 が最小となるようなを求め,、 そのときの ぢ の値を求めよ。
あー

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gs

TI 実数を係数とする 2 の整式 P(z) と Q(x) に対し, H P(r) - Qa) が tart
で割り切れるとき, P(x) =Q(x) と表すことにする。このとき, 以下の問に答えよ。
(35 3)

(1) z の方程式 7? +a+1=0 の解の一つを と表すとき, もう一つの解は o2 で
あり, また の? はらの複素共役 @ と等しいことを示せ。

(2) 9 = P(x) となる次数最小の整式 P() を求めよ。

(3) #8 P(x), Q(a), R(x), S(x) が P(x) = R(x) かつ 0(z) = 9(z) を満たすとす
BLE, P(x)Q(z) = R(x)S(x) が成り立つことを示せ。

(4) n を 0 以上の整数とするとき, e" = Pl) となる次数最小の整式 P(>) EX
めよ。

sega

(設問は次のページにつづく)
sop

TH] moa ke ヵ 個の赤玉が入った袋がある。ただし, m 2 2、 2 とする。この
袋をよくかき混ぜて, 2 個を同時に取り出すとき, 以下の問に答えよ。(35 点)

(1) 取り出した 2 個が 2 個とも赤玉である確率を求めよ。

(2) mM=3 のとき, 取り出した2 個が2 個とも赤玉である確率が 5 以上となる最
IND n を求めよ。

(3) =カカ3 のとき, 取り出した2 個が2個とも赤玉である確率が ; 以上とな
る最大の m を求めよ。

age

(以下計算用紙)
ae

(計算用紙)
ーー

(計算用紙)
ーー

(計算用紙)
“p=

(計算用紙)

(計算用紙)
wall Jos

(計算用紙)
tga

(1) AEの長きを求めよ。

(2) BB+ AC を求めよ。
(3) AH の長きを求めよ。
ーー

(設問は次のページにつづく)
ーョー

I JT Pry MONEE 22 REO MEN をすべて求めよ。 (25.8)
=|e=
ーォー

(設問は次のページにつづく)
=

III ?つの曲線
y=8-52 y=Pt+a
は共有点を持ちも、 かつ少なくとも 1 つの共有点における接線が共通である。
以下の問いに答えよ。(25 点)
(1) の値をすべて求めよ。
(2) (11)の の値に対して, 共通の接線の方程式を求めよ。
mages

|
|
(設問は次のページにつづく)
eres

TV 以下の聞いに答えよ。(25 A)
(1) を正の整数とする。。Co 十 aCi tes t+ pCr を求めよ。
(2) を2 以上の整数とし, をを1 以上ヵ以下の整数とする。
KX gy =n X y-1Cp_-1 を示せ。
(3) ヵを2以上の整数とする。 1 X Cp + 2% (Cote tnx 4O。を求め
よ。
=g2

(以下計算用紙)
9デー

(計算用紙)
ii

(計算用紙)
coe

(計算用紙)
ー12一

(計算用紙)

es ee

(計算用紙)

(計算用紙)

5a

(計算用紙)
ー16一

慎算用
Se

is

(1) の〇」 と Cy が2 点で交わることを示し, それら 2 つの交点を通る直線の方程
式を求めよ。
(2) の」 と のO。 の2 つの交点, および原点を通る円の方程式を求めよ。
(3) Cy E Ch の2つの交点を通り, 2 軸に接する円で, Co 以外の円の方程式を
求めよ。

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ce

IT 自然数ヵに対し,
Gy = (2+ V3)" + (2- vB)”
LTS. MOMVICAAL, (30 点)
(1) ay, ag を求めよ。また, 自然数 n に対し,
nr2 + dn = dan
であることを証明せよ。
(1) により, すべての自然数 ヵ について a, は整数であることがわかる (このことは
証明しなくてよい)。さらに, 次の間いに答えよ。
(2) すべての自然数 ヵ について angi tan は 3 の倍数である。このことを数学
的帰納法によって証明せよ。
(3) gzozs を 3 で割ったときの余りを求めよ。
rif

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還

TIT wa 7の=/ | —a)|dt について次の問いに答えよ。 (40 点)

(1) st) =どー2)| とするとき, y= gt のグラフをかけ。
(2) f(2) を求めよ。
(3) OSPS3OES, fla) を求めよ。
ーー

(以下計算用紙)
ee

(計算用紙)
あー

(計算用紙)
ー9一

(計算用紙)
ー10一

(計算用紙)
ーー

(計算用紙)
=人

(計算用紙)
ー18一

(1) 7(z) の区間1くヶSミ2における最大値を求めよ。また, そのときのzの
値を求めよ。
(2) f(z) の区間 1 くヶミ 2における最小値を求めよ。また, そのときのzの
値を求めよ。

TI 数列{@』}は次のように定められる。
4)=C6, 3an41— Gn +4=0 (n=1,2,3,------)
以下の問いに答えよ。(25 点)
(1) gaをヵとcの式で表せ。
(2) gg = 5g」 を満たすとき, cの値を求めよ。
(3) ag = 5aq を満たすとき, gs の値を求めよ。

TV さいころを3 回投げ, 1 回目, 2回目, 3 回目に出た目をそれぞれええ Y, Z
とする。以下の問いに答えよ。(25 点)
(1) XYグー5である確率を求めよ。
(2) XYグが5の倍数である確率を求めよ。
(3) XY=5 または メYグ=ニ5である確率を求めよ。

(以下計算用紙)

(計算用紙)

(計算用紙)

(計算用紙)

(計算用紙)

(計算用紙)

(計算用紙)

(計算用紙)

(計算用紙)

(1) Bt a8 oz2上太一3が2エキァー6 で割り切れるとき, 定数 o。 の値を

求めよ。
(2) E.C. 0.N.O. MT C.S の9 文字を並べ替えて作ることのできる文字列

の個数は,C. 0 M. M. E. RC,E の8文字を並べ替えて作ることのでき

る文字列の個数と比べて何倍あるか。
(3) OSas oy DEE, 次の関数が最大となる x の値を求めよ。

y = sin? 27 + 2cos? x

(4) 次の3 つの数 4. B,C を小さい方から順に並べよ。(答えは A, B.C を使っ

て書くこと。)

=i 1 =上 エエ He aly 4
AS 7 (なさ) Bist ps(3) Cas ps(る)

(5) 2 つのベクトルG. 5について, g十5 = (3,4), a—B= (1,2) であるとき,

[2a ~ 35] の値を求めよ。
(6) 次の定積分の値を求めよ。

/ |x? — 20 — 3] de
Jo
ーッー

(設問は次のページにつづく)
ーョー

TI 、正の整下るを入力すると0以上o 以下の整数のどれか 1 つを等しい確率で出力

する装置がある。 この装置に 。 = 10 を入力する操作を ヵ 回繰り返す。出力された
2 個の整数の和が偶数となる確率を ヵ。, 奇数となる確率を g。とするとき, 以下の
問いに答えよ。(32 点)

(1) pis の を求めよ。答えは既約分数にし, 結果のみ解答欄に記入せよ。

(2) Pati @ Pas の を用いて表せ。

(3) pn En の式で表せ。

ーョー

(設問は次のページにつづく)
soっ

TI] Oを原点とする座標空間内に点 A(a,0,0), B(0.6.0) と線分 AB 上を動く点
がある。ただし, a, 0は正の定数とする。P を通り 軸に垂直な直線と 軸との
交点を Q, P を通り y 軸に垂直な直線と y 軸との交点を R とする。長方形OQPR
を底面とし, 高きが OQ の長さに等しい直方体の体積を ” とおく。 P の座標を
P(z,か0) とするとき, 以下の問いに答えよ。(32 点)

(1) をz を用いて表せ。
(2) "をょを用いて表せ。
(3) P が線分 AB 上を動くとき, の最大値を求めよ。また, そのときのPの
ERD ko

(以下計算用紙)
seが

(計算用紙)
—g—

(計算用紙)
iG

(計算用紙)
ー10一

(計算用紙)
ay

(計算用紙)
ー12一

(計算用紙)

(1) 2023 は17 で割り切れる。2023 の正の約数の個数を求めよ。
(2) 1から 6 までの数字が1つずつ書かれた 6 枚のカードを1列に並べる。この
とき両端に奇数がくるような並べ方は何通りあるか。
(3) 0 ミ*<2r のとき, 次の関数の最小値を求めよ。
y= cosa ~ V2sin(n~ 4)
(4) 次の方程式を解け。
logyg 2 + logyo(w — 9) = 1
(5) Ma, 公比了の等比数列の初項から第 n 項までの和を S, とする。 Sy =9,
So= ー63 のとき, q とr の値を求めよ。ただし, cw とr は実数とする。
(6) 次の等式を満たす関数げ(z) を求めよ。

ェ / f(t) dt +10 = f(x)
i}
apes

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=あー

TI ?次方程式 z? -— 102-10 =0 の2つの実数解のうち,大きい方を a, 小さい方
を とし, 自然数ヵ に対して= e" 上 の" とおく。このとき, 以下の問いに答え
よ。(32 点)
(1) re および7s の値を求めよ。答えは結果のみ解答欄に記入せよ。
(2) ne を rng と tn を用いて表せ。
(3) qt の整数部分の一の位と十の位を求めよ。
veges

(設問は次のページにつづく)
=ぎー

IT 座標容間に原点を中心とする半径 2 の球面があり, この球面と平面>=oが交
わってできる円に正三角形 BOD が内接している。ただし, ald lal < 2 を満たす
定数である。点 A(0,0,2) を頂点とし底面が へBOD である三角氏 ABCD の体積
を とするとき, 以下の問いに答えよ。 (328)

(1) = ー1 のとき, ABCD の面積を求めよ。
(2) しをoを用いて表せ。
(3) の値が|c| < 2 で変化するときの『 の最大値を求めよ。また, そのときの
a の値を求めよ。
egies

(以下計算用紙)
on

(計算用紙)
few

(計算用紙)
cab

(計算用紙)
ーコ0ご

(計算用紙)
ai

(計算用紙)
ー12一

(計算用紙)
ー13一

(1) 9のとりうる値は, 小さいものから順に
である。 d=0, [7], [4], [| が成り立つ確率はそれぞれ
である。
(2) a= が実数となる確率は であり, 0-8 が実数という条件の下で9<| 2
が成り立つ条件付き確率は である。
(8) a? = の という条件の下で a + 2 の庶部が正となる条件付き確率は で
ある。
問題 のアーコの解和
@o @1 ©2 @3 © Of
2 1 3 1 5

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pulls

TI 次の問題文の空にもっとも適する答えを解管群から選び, その記号をマーク解答

用紙にとマークせよ。 KEL, 同じ記号を 2 度以上用いてもよい。(20 点)

Me ge. sine る。 このこ だし
() Ty Ses FG Oke, fk “a LH] する。 このことょ9, Best

では

ミーー < ]+005
z

が成り立つ。
(QQ) 底面が正五角形 PQRST' で, 側面が正三角形である五角雛を とする。ただ

し, の名和辺の長きさを 1 とする。 底面にはない の頂点を ALL, 線分PQ

の中点を MM とする。また, RMI PSL QT の交点を U とする。このとき,

APUT と ASTP は相似であり, HIF PS の長きは である。これより,

cosZSAM の値は

ー0025 S cosZSAM < [e]+0.025
を満たす。さらに, (1) の についての結果より, SAM の大きさは
ー159 < ZSAM < [y]+15°
を満たす。
なお, 必要ならば,
2 =1.41...,。 3 =1.73...。 V5 =2.23...
を用いてよい。
ーー

問題 I OF OBA
@ Mi 生 SSで cot
@ AM Sect oR
© 区間 議 Se <3 で増加し, 区間 そ Sans = で減少
@ 区則 石 Sz ミエ CRDL, 区間 2 ses % で増加
© mw 年 ミァミすで須加し 区間 ters で大
© wh Scestemor, vn ミッ si cnt
問題 のとの解答群
@ 08 ® 08 609 9095 ©1 105 @® il @ 115
問題 のスの解答群
スム ユキV2 1+V3 1+V5

2+V3 /? 5 3 +75
@ x = @ 244 o 4+
問題 +e DAR ASE
® -04 © -035 © -03 @ -025 © -0.2 ® -015 @ -01
PRET © y ORE
@ 105° @® se Our @use Our © 120°

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ea

IT f(x) = ーー EL, 曲線ター fle) を C とする。 以下の問いに答えよ。 (30 点)
(2) 曲線 C の変曲点 P の店標を求めよ。
(2) 曲線 C の点 P における接線 4 の方程式を求めよ。また, 直線 7 と直線 9ニュ
DEAD 座標 。 を求めよ。
(8) 5 を (2) で求めた 。 より大きい実数とする。 曲線 C と直線9サーッーのァニも
で囲まれた部分の面積 917) を求めよ。
(4) Jim, S(O) RD,
6e-

(設問は次のページにつづく)
sepa

TV 以下の問いに答えよ。(80 点)
(1) Hest
f(x) = Gp2" + ay-12" 上...十giz十90 (an #0)

ATL, f(@ 41) — f(2) = dnt” + Ope $+ bit tbo と表すとき」 by
と by-1 EROE,

(2) SEX g(x) DHABH g(x +1) — g(x) = (セー1)r(二1) および 9(0) = 0 を満た
すとき, g(x) を求めよ。

(3) 整式 A(x) が恒等式 (2x+ 1) — (2z) = A(x) — 2? を満たすとき, h(a) ERK
DE

—g—

(以下計算用紙)
mages

(計算用紙)
ー10一

(計算用紙)
2c115

(計算用紙)
ー12一

(計算用紙)

(計算用紙)

(計算用紙)

(計算用紙)
ー16一

(計算用紙)
angus