藤原進之介です。このページでは同志社大学2023年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
今日の一問
8 個の数字 1, 2, …, 8 から異なる 2 個を選んで並べる。
奇数が少なくとも1個含まれる並べ方は何通りあるか。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
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同志社大学2023年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。
〔Ⅰ〕(1) 得点の合計がちょうど n 点を通過する確率
さいころを繰り返し投げ、出た目に応じて1点（確率 4/6 = 2/3）または2点（確率 2/6 = 1/3）を加点します。得点の合計が途中でちょうど n 点になる確率を pn とします。
p₁ と p₂
ちょうど1点になるのは、1回目に1点を得たときのみ。
p₁ = 2/3
ちょうど2点になるのは「1点が2回」または「2点が1回」。これらは排反なので
p₂ = (2/3)² + 1/3 = 4/9 + 3/9 = 7/9
ア p₂ − p₁
7/9 − 2/3 = 7/9 − 6/9 = 1/9
イ p₄
ちょうど4点になるのは、加点の組み合わせが
1点×4回：(2/3)⁴ = 16/81
1点×2回 + 2点×1回：3回の試行のうちどこで2点を得るかで ₃C₁ = 3通り、確率は 3 × (2/3)² × (1/3) = 3 × (4/9)(1/3) = 4/9 = 36/81
2点×2回：(1/3)² = 1/9 = 9/81
合計 (16 + 36 + 9)/81
p₄ = 61/81
ウエ 漸化式と一般項
ちょうど n 点を通過するのは
(n−1) 点を通過して1点を得る または (n−2) 点を通過して2点を得る
したがって
pn = (2/3)pn−1 + (1/3)pn−2
特性方程式 t² = (2/3)t + 1/3、すなわち 3t² − 2t − 1 = 0 ⇔ (3t + 1)(t − 1) = 0 より t = 1, −1/3。
したがって pn = A + B(−1/3)ⁿ の形。p₁ = 2/3、p₂ = 7/9 から A = 3/4、B = 1/4 が定まり
pn = (1/4)(−1/3)ⁿ + 3/4
検算：漸化式から p₁ 〜 p₆ を厳密分数で計算し、一般項の式と突き合わせました。
p₁ = 2/3 ✓ p₂ = 7/9 ✓ p₃ = 20/27 ✓ p₄ = 61/81 ✓ p₅ = 182/243 ✓ p₆ = 547/729 ✓
すべて一致しています。
n → ∞ で pn → 3/4。1回あたりの平均加点が (2/3)(1) + (1/3)(2) = 4/3 点なので、各点を通過する確率は長期的に 1/(4/3) = 3/4 に近づく — 更新定理による裏づけとも一致します。
この年の学習ポイント
「ちょうど n を通過する確率」は漸化式で捉えるのが本筋です。
(あ) 直前の状態から n に到達する経路をすべて挙げる（ここでは n−1 から+1、n−2 から+2）
(い) それぞれの確率を掛けて足す → 漸化式
(う) 特性方程式で一般項を求める
この問題の漸化式 pn = (2/3)pn−1 + (1/3)pn−2 は3項間漸化式で、特性方程式の解が 1 と −1/3。解の1つが必ず1になる（係数の和が 2/3 + 1/3 = 1 だから）のが確率漸化式の特徴で、これが極限値 3/4 の存在につながります。
p₄ を直接数える方法（1点4回、1点2回+2点1回、2点2回）も、漸化式の検算として有効です。小さい n で両方の方法が一致するかを必ず確認してください。
同志社大学2023年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。
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同志社大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
同志社大学 2023年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 整数
- 空間図形
- 確率・場合の数
- 関数・グラフ
- 微分・積分
- 方程式・不等式
- 複素数
この年度の出題範囲と傾向
2023年度の問題PDFでは、図形・三角関数、整数、空間図形、確率・場合の数、関数・グラフに関する語句や設問を確認できました。同志社大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、微分・積分は31年度、関数・グラフは31年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
重点的に準備したい分野
- 図形・三角関数条件を図へ書き込み、相似・円・三角比・座標化のうち短く処理できる方針を選ぶ練習が有効です。
- 整数約数・余り・偶奇の条件を整理し、具体例から規則を予想した後に一般の場合を証明します。
- 空間図形見取り図だけに頼らず、座標・ベクトル・平面の条件へ置き換えて位置関係を確認します。
- 確率・場合の数重複や数え漏れを防ぐため、標本空間と場合分けの基準を先に書いてから計算します。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 整数、図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分、空間図形
(1) 座標平面上において,ッー 2+ logy) (22 —5) DF F Vik, y = logioz
のグラフをヶ軸方向に | ア |.ヵ朝方向に だは平行移動
したものである。
(2) 平画上のAABCはcosZABC = cnZBCA = 7 をみたし
AABC の内接円の半径は 2 である。sin ZABC = などに
&D cos ZCAB = である。また内接円の中心を点1とする
と, cos ZIBC = ERS. AIBC の面横は である。
(3) ヵ を自然数とする。10 進法で表された整数 59 は, 3 進法では 2012(3)
と表記され. 4 杵になる。同様に、 10 進法で表された 2023 は, 8 ile
法で と表記される。ある自然数>を8進法で表すとヵ桁
となり, 2 進法で表すと (n+ 6) 杵となる。このようなヵの最大値は
10 進法で表すとヵ= である。 この人性質をみたすょの最大
値を 10 進法で表すと | ケ | であり,38進法で表すと と
なる。
[ II ] 。 > 0とする。 座標平面上において. 放物線C : y = ar?—2ax-+041
を考える。 放物線ど上の点P は、 > 座標が 2 であるとする。点P におい
て放物線で の接線と垂直に交わる直線、つまり法線をとし, 放物線ど と
直線 / CHEN SMS RETS. ROH (x,y) で1 Sァ S2をみたす
もの全体の面積を 9() とし ROAR (>,9) で0 Sr S 1をみたすもの全
体の面積を(<) とする。
(1) BE OWEN a, x, を用いて表せ。
(2) S(a) をg を用いて表せ。
(3) S(a) の最小値とそのときの。の値を求めよ。
(4) 27(o) = 35() が成り立つようなoの値を求めよ。
rr
CID) を自然数とし, 数列 {on}, Gn} をそれぞれ
ma = (2+ V5)", ym = (2+ V5)" + (2— V5)" (n= 1,2,3,---)
で定めるとき. 次の問いに答えよ。
(1) め. ys の値を求めよ。また, すべての自然数ヵ に対して
Ma+2 = PYnst + Yn が成り立つような定数p. 7 を求めよ。
(2) すべての自然数々について,不等式= < (2 - v8)" < が成り立
つことを示せ。
(3) すべての自然数ヵ について. yn の値が自然数となることを示せ。ま
た,ヵが4の倍数のときヵの1の位の数字を求めよ。
(A) ziooo を超えない最大の整数 [inoo] について 1 の位の数字を求めよ。
ここで、実数 を超えない最大の整数 W を [co] NERS. 例えば。
[12.3] = 12, [-4.5] = ー5 である。
mm
。
のグラフをヶ軸方向に | ア |.ヵ朝方向に だは平行移動
したものである。
(2) 平画上のAABCはcosZABC = cnZBCA = 7 をみたし
AABC の内接円の半径は 2 である。sin ZABC = などに
&D cos ZCAB = である。また内接円の中心を点1とする
と, cos ZIBC = ERS. AIBC の面横は である。
(3) ヵ を自然数とする。10 進法で表された整数 59 は, 3 進法では 2012(3)
と表記され. 4 杵になる。同様に、 10 進法で表された 2023 は, 8 ile
法で と表記される。ある自然数>を8進法で表すとヵ桁
となり, 2 進法で表すと (n+ 6) 杵となる。このようなヵの最大値は
10 進法で表すとヵ= である。 この人性質をみたすょの最大
値を 10 進法で表すと | ケ | であり,38進法で表すと と
なる。
[ II ] 。 > 0とする。 座標平面上において. 放物線C : y = ar?—2ax-+041
を考える。 放物線ど上の点P は、 > 座標が 2 であるとする。点P におい
て放物線で の接線と垂直に交わる直線、つまり法線をとし, 放物線ど と
直線 / CHEN SMS RETS. ROH (x,y) で1 Sァ S2をみたす
もの全体の面積を 9() とし ROAR (>,9) で0 Sr S 1をみたすもの全
体の面積を(<) とする。
(1) BE OWEN a, x, を用いて表せ。
(2) S(a) をg を用いて表せ。
(3) S(a) の最小値とそのときの。の値を求めよ。
(4) 27(o) = 35() が成り立つようなoの値を求めよ。
rr
CID) を自然数とし, 数列 {on}, Gn} をそれぞれ
ma = (2+ V5)", ym = (2+ V5)" + (2— V5)" (n= 1,2,3,---)
で定めるとき. 次の問いに答えよ。
(1) め. ys の値を求めよ。また, すべての自然数ヵ に対して
Ma+2 = PYnst + Yn が成り立つような定数p. 7 を求めよ。
(2) すべての自然数々について,不等式= < (2 - v8)" < が成り立
つことを示せ。
(3) すべての自然数ヵ について. yn の値が自然数となることを示せ。ま
た,ヵが4の倍数のときヵの1の位の数字を求めよ。
(A) ziooo を超えない最大の整数 [inoo] について 1 の位の数字を求めよ。
ここで、実数 を超えない最大の整数 W を [co] NERS. 例えば。
[12.3] = 12, [-4.5] = ー5 である。
mm
。
問2画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、確率・場合の数、整数、関数・グラフ、方程式・不等式
(1) 1 個のさいころを 3 回投げて出た目を順に a,b, CEL, zの2次
BER f(x) =a? —2ar + b+ cB BAS,
7(6) = 0 が成り立つとき, b+e を。 を用いて表すと bte=
となるので, /(6) = 0が成り立つ確率は | イ | である。/(3) =0
が成り立つ確率は である。 HEN f(x) = 0 が重解をもつ
確率は CHS. 方程式 /(z) = 0 が異なる 2 つの整数解を
もつ確率は | オ | である。
(2) AABC において, ZCAB=0, ZABC =f, ZBCA=7 とする。
ただし aS BS 7 を満たすとする。
な= 45° PO y= 75° OLE, tanガニ である。
Ribas 6S 7 に注意するとg= DES a が最大とな
る。したがって, tana が整数であるとき, = | ク | である。
AABC が直角三角形であるとき, oSJくッ に注意すると,
tanatanガニー である。
sito, がともに整数で 1 = -2であるとき,
tana tan 8 tany
tana=[_a_] である。
CID) 。を正の定数として関数 /(z) = 2? + (80? — 2a —1)x+2a(1 — 8a)
1 1
を定める。 ョ=リ (のde n= [ |/(のdz とするとき, 次の問いに
答えよ。 . .
(1) /(1 - 8a") の値を求めよ。
(2) 7」 を。 を用いて表せ。
ne エ 3
(8) a= yg OLR, ちの値を求めよ
(4) h—-h ®a BATHE.
門
CHL) 50 個の数値 1, 22, ..., xso からなるデータ を度数分布表
にまとめると表 1 のようになった。ただし, RHO A, は定数である。
表 1: 度数分布表
ee | 階級値|度数
0 以上10未満| 5 | 5
10 DLE 20 未満 | 15 | 5
20以上3未満| 25 | 12
30 以上40未満| 35 | 4
40以上50未満| 45 | s
at | | g
階級の幅はいずれも 10 CHD, データ の数値は 5 つの階級のいず
れかに含まれる。5 つの階級を階級値の小さい順に CL, C2, Cy, Cr,
Cy とよぶ。たとえば, 階級 C。 は 10 以上 20 未満の階級である。
のうち階級 C』 (7 = 1.2,...・,5) に含まれるデータの平均値を m;
で表す。たとえば, my は階級 C」 に含まれる 5 個の数値の平均値である。
各 x; G ー1.2.... 、50) に対して, y ONE z, が含まれる階級の階級
値と定め、これによって得られる my, yy) 950 をデータ Y とする。
たとえば, ri が階級 Cs に含まれるとき, の値は 25 となる。
X, Y の平均値をそれぞれ NX, Y で表す。
このとき, 次の問いに答えよ。
(1) A, の値を求めよ。
(2) k を整数とする。* の第 1 四分位数が階級 C。 に含まれるとき, bk
の値を答えよ。
(3) Y の値を求めよ。
(4) メ @ mj (G=1,2,---,5) を用いて表せ。
(5) Yー5<マ<ア+5が成り立つことを示せ。
BER f(x) =a? —2ar + b+ cB BAS,
7(6) = 0 が成り立つとき, b+e を。 を用いて表すと bte=
となるので, /(6) = 0が成り立つ確率は | イ | である。/(3) =0
が成り立つ確率は である。 HEN f(x) = 0 が重解をもつ
確率は CHS. 方程式 /(z) = 0 が異なる 2 つの整数解を
もつ確率は | オ | である。
(2) AABC において, ZCAB=0, ZABC =f, ZBCA=7 とする。
ただし aS BS 7 を満たすとする。
な= 45° PO y= 75° OLE, tanガニ である。
Ribas 6S 7 に注意するとg= DES a が最大とな
る。したがって, tana が整数であるとき, = | ク | である。
AABC が直角三角形であるとき, oSJくッ に注意すると,
tanatanガニー である。
sito, がともに整数で 1 = -2であるとき,
tana tan 8 tany
tana=[_a_] である。
CID) 。を正の定数として関数 /(z) = 2? + (80? — 2a —1)x+2a(1 — 8a)
1 1
を定める。 ョ=リ (のde n= [ |/(のdz とするとき, 次の問いに
答えよ。 . .
(1) /(1 - 8a") の値を求めよ。
(2) 7」 を。 を用いて表せ。
ne エ 3
(8) a= yg OLR, ちの値を求めよ
(4) h—-h ®a BATHE.
門
CHL) 50 個の数値 1, 22, ..., xso からなるデータ を度数分布表
にまとめると表 1 のようになった。ただし, RHO A, は定数である。
表 1: 度数分布表
ee | 階級値|度数
0 以上10未満| 5 | 5
10 DLE 20 未満 | 15 | 5
20以上3未満| 25 | 12
30 以上40未満| 35 | 4
40以上50未満| 45 | s
at | | g
階級の幅はいずれも 10 CHD, データ の数値は 5 つの階級のいず
れかに含まれる。5 つの階級を階級値の小さい順に CL, C2, Cy, Cr,
Cy とよぶ。たとえば, 階級 C。 は 10 以上 20 未満の階級である。
のうち階級 C』 (7 = 1.2,...・,5) に含まれるデータの平均値を m;
で表す。たとえば, my は階級 C」 に含まれる 5 個の数値の平均値である。
各 x; G ー1.2.... 、50) に対して, y ONE z, が含まれる階級の階級
値と定め、これによって得られる my, yy) 950 をデータ Y とする。
たとえば, ri が階級 Cs に含まれるとき, の値は 25 となる。
X, Y の平均値をそれぞれ NX, Y で表す。
このとき, 次の問いに答えよ。
(1) A, の値を求めよ。
(2) k を整数とする。* の第 1 四分位数が階級 C。 に含まれるとき, bk
の値を答えよ。
(3) Y の値を求めよ。
(4) メ @ mj (G=1,2,---,5) を用いて表せ。
(5) Yー5<マ<ア+5が成り立つことを示せ。
問3画像OCR
検出分野: 整数、図形・三角関数、確率・場合の数、微分・積分、関数・グラフ
(1) ヵ を2 以上の整数とする. 1 から 3 までの異なる番号を 1 つずつ書
いた 3 枚のカードが 1 つの袋に入っている. この袋からカードを
1枚取り出し, カードに書かれている番号を記録して袋に戻すとぃ
う 試行を考える. この試行をヵ回繰り返したときに記録した番号を
順に Xq, Xe, Xp bL, 1 SSたミカー1 を満たす整数をのうち
Xp < Xp が成り立つようなたの値の個数を Y。 とする. =3の
とき, X= っ < Xa となる確率は| ア | MS XS Nts
る確率は | イ |であり, Y%ー0である確率は| ウ | %=1
である確率は | エ |] である. = 0である確率をヵの式で表す
と, しオ |となる.
(2) ? を虚数単位とし, w= cos (7) +isin(Z) とする. 2 つの条件
0 <んる 23。 wh ニー1 を同時に満たす整数んは | カ | である.
条件0 S < ky $23 SHIT, のうち, wht, wh OK
部がと もに3 LESbDIEM = LE) k= である.
2 つの条件 0 Sm ミ 23, wTM 十(9)<1を同時に満たす整数 は
ケ |個あり, 2つの条件0くヵミ23, [wt —2| SV3を同時に
満たす整数ヵは| コ |個ある. ただし, wと共役な複素数を補
で表す.
CTL) 座標平面上に3点 0(0,0), AG, 6), B(-5, 0) がある. AP), Po,
Pa。 ... をPiニル OB, = PL28 (n=1,2,3,--+)
で定めるとき, 次の問いに答えよ. °
(1) |ABP, OA. AB の値をそれぞれ求めよ。
(2) 自然数ヵに対して, un = OB, ABER. uari をga を用いて表
せ. また, un をヵの式で表せ.
(3) 自然数ぁに対して, 実数 は OB, = 04+。AB を満たすとする.
tn En の式で表せ.
(4) 2 以上の自然数 ヵ に対して, へOBP。 の面積を 5。とする. 極限
dm Sn を求めよ.
ーポー
CM) 88% 0 2% cos(2n0) = “ae を満たすとする、 数列 (a,} を
Gy, = 2(V3 + 1)" cos(2r9) (n = 1, 2, 3, ... ) で定める. 次の問いに答え
kL. ただし, 必要ならば, 整数rsが等式 ptqvB=r+sV3 を
満たすとき, par, 9=ニsが成り立つことを証明なしに用いてよい.
(1) a1, gs の値を求めよ.
(2) m を整数とし, 7 を実数とする. cost - cos(mt) を cos ((m + 1)t),
cos ((m — 1)t) を用いて表せ.
(3) すべての自然数々に対して, ange = cong tdayn を満たす定数 ed
を求めよ.
(4) すべての自然数ヵに対して, an =p。十gV3 となる整数p。。 an が
存在する. このことは証明なしに用いてよい. このとき, rs, ange
% Dav Uns mr Gnd) の式で表せ. また,ヵ。 が奇数であることを数
学和的帰納法を用いて示せ.
(5) cos(2rWの) = 1 を満たす自然数 Y は存在しないことを示せ. ただし,
必要ならば, すべての自然数ヵに対して,。(V3+17"ニカトsaV3
EMT TRB, 5) が存在することを証明なしに用いてよい.
CIV) fle) =ご3e EL, 曲線C:リニナ(z) を考える. HHO
の点 (も 7(り0) における接線を % とする. 次の問いに答えよ. ただし, 必
要ならば, 1 <log3 <2 であることを証明なしに用いてよい.
(1) 不等式 |/(の| S 2 を満たす実数7のとりうる値の範囲7を求めよ.
(2) 6 の切片をぃとする. 実数をが(1) で求めた範囲 全体を動くと
き, の最大値と最小値を求めよ.
(3) [PS かつ, 4 が点 (1, w) を通るような実数#が存在すると
する. このとき, 実数ゅのとりうる値の範囲を求めよ.
(4) KORE (i), (ii) を満たす点 (ヵ, 9) 全体からなる領域を の とする.
D の面積を求めよ.
@) 0SpS1
Gi) [f(D] S 2,。 かつ, & が点 (p, の) を通るような実数+が存在する.
ーッー
以下余白
いた 3 枚のカードが 1 つの袋に入っている. この袋からカードを
1枚取り出し, カードに書かれている番号を記録して袋に戻すとぃ
う 試行を考える. この試行をヵ回繰り返したときに記録した番号を
順に Xq, Xe, Xp bL, 1 SSたミカー1 を満たす整数をのうち
Xp < Xp が成り立つようなたの値の個数を Y。 とする. =3の
とき, X= っ < Xa となる確率は| ア | MS XS Nts
る確率は | イ |であり, Y%ー0である確率は| ウ | %=1
である確率は | エ |] である. = 0である確率をヵの式で表す
と, しオ |となる.
(2) ? を虚数単位とし, w= cos (7) +isin(Z) とする. 2 つの条件
0 <んる 23。 wh ニー1 を同時に満たす整数んは | カ | である.
条件0 S < ky $23 SHIT, のうち, wht, wh OK
部がと もに3 LESbDIEM = LE) k= である.
2 つの条件 0 Sm ミ 23, wTM 十(9)<1を同時に満たす整数 は
ケ |個あり, 2つの条件0くヵミ23, [wt —2| SV3を同時に
満たす整数ヵは| コ |個ある. ただし, wと共役な複素数を補
で表す.
CTL) 座標平面上に3点 0(0,0), AG, 6), B(-5, 0) がある. AP), Po,
Pa。 ... をPiニル OB, = PL28 (n=1,2,3,--+)
で定めるとき, 次の問いに答えよ. °
(1) |ABP, OA. AB の値をそれぞれ求めよ。
(2) 自然数ヵに対して, un = OB, ABER. uari をga を用いて表
せ. また, un をヵの式で表せ.
(3) 自然数ぁに対して, 実数 は OB, = 04+。AB を満たすとする.
tn En の式で表せ.
(4) 2 以上の自然数 ヵ に対して, へOBP。 の面積を 5。とする. 極限
dm Sn を求めよ.
ーポー
CM) 88% 0 2% cos(2n0) = “ae を満たすとする、 数列 (a,} を
Gy, = 2(V3 + 1)" cos(2r9) (n = 1, 2, 3, ... ) で定める. 次の問いに答え
kL. ただし, 必要ならば, 整数rsが等式 ptqvB=r+sV3 を
満たすとき, par, 9=ニsが成り立つことを証明なしに用いてよい.
(1) a1, gs の値を求めよ.
(2) m を整数とし, 7 を実数とする. cost - cos(mt) を cos ((m + 1)t),
cos ((m — 1)t) を用いて表せ.
(3) すべての自然数々に対して, ange = cong tdayn を満たす定数 ed
を求めよ.
(4) すべての自然数ヵに対して, an =p。十gV3 となる整数p。。 an が
存在する. このことは証明なしに用いてよい. このとき, rs, ange
% Dav Uns mr Gnd) の式で表せ. また,ヵ。 が奇数であることを数
学和的帰納法を用いて示せ.
(5) cos(2rWの) = 1 を満たす自然数 Y は存在しないことを示せ. ただし,
必要ならば, すべての自然数ヵに対して,。(V3+17"ニカトsaV3
EMT TRB, 5) が存在することを証明なしに用いてよい.
CIV) fle) =ご3e EL, 曲線C:リニナ(z) を考える. HHO
の点 (も 7(り0) における接線を % とする. 次の問いに答えよ. ただし, 必
要ならば, 1 <log3 <2 であることを証明なしに用いてよい.
(1) 不等式 |/(の| S 2 を満たす実数7のとりうる値の範囲7を求めよ.
(2) 6 の切片をぃとする. 実数をが(1) で求めた範囲 全体を動くと
き, の最大値と最小値を求めよ.
(3) [PS かつ, 4 が点 (1, w) を通るような実数#が存在すると
する. このとき, 実数ゅのとりうる値の範囲を求めよ.
(4) KORE (i), (ii) を満たす点 (ヵ, 9) 全体からなる領域を の とする.
D の面積を求めよ.
@) 0SpS1
Gi) [f(D] S 2,。 かつ, & が点 (p, の) を通るような実数+が存在する.
ーッー
以下余白
問4画像OCR
検出分野: 空間図形、図形・三角関数、微分・積分、確率・場合の数、関数・グラフ
(1) 帰符用紙には氏名の記入材が1か所ある。 正確、明腔に記入する
こと。
(5) MELTS THE MMO MEM AT SOL,
(6) 問題抵の余自は計算に使用してもよい。
(7 問題を解体して使用してはならない。
(@) 試験開始後、 問題紙に著了損傷がないか確認すること
(9) 試験終了後、問題紙は各自持ち帰ること。
数 a
C1) 次の | | に適する数または式を、解答用紙の同じ記号の付い
た | | の中に記入せよ。
(1) 1 個のさいころを3 回続けて投げる試行を考える。3 の目が1 回以
上出る確率は である。1 の目と6 の目がともに1回以上出
る確率は THY, 出た目の最大値と最小値の差が4以下と
なる確率は である。
(2) 平面上の AABC において, BC を4 : 5 に内分する点を D とおく。
Krk, AABC の重心をで とし. 直線 AD と直線 BG の交点をP とす
る。 AD と AP をそれぞれ AB, AC を用いて表すと
B= [=], B= [5 ] cas.
(3) n を 2 以上の整数とする。 BH {an} の初項 a PSH n Way, ま
TOME Sn = Slay とする。 9 = oi = 500 とし, また関係式
jal
Spit — Sp = 3k — 50 (た=テ1.2.3....・) が成り立っているとする。
かー1
ヵを用いてそれぞれ$ょ=| a |, S,= である。
k=1
NDR HS ILICERTSE n= DEB, Sy は最小
Ai BEB. CAS, an < 0 となるヵの値の最大値が
we であることからもわかる。
[ IT ] 平面上で半径んの円に内接する四角形 ABCD について ,
AB = 3, AD = 2, cos ZDAB = である CE 次の問いに答えよ。ただ
L, 4A, B,C, D はこの順に四角形の頂点として並んでいる。
(1) AABD の面積 9 を求めよ。
(2) BD の長さと外接円の半径表の値をそれぞれ求めよ。
(3) AC の長さを ヶ とおく。 のとりうる値の範囲を求めよ。
(4) AC = BD が成り立つとき、四角形 ABCD の面積のとりうる値をす
べて求めよ。
105,
CTL) 平面上の曲線 y = |e? — 52 +4) に対して, C, EO 2K
(1,0), (4,0) を除いた曲線を Co ETS. H (u,v) を通るどんな直線《 も
曲線 Co の接線とはならないような点 (u,v) 全体を有形 とする。このとき。,
次の問いに答えよ。
(1) cy 平面上において、 HBR Cys y = [22 — 52 +4, のグラフを図示せ
Ko KEL, 2 点 (1,0), (4,0) は曲線 > に含まれない。
(2) 7.5をgw <0 <0をみたす実数とする。 sの2次方程式 2-2ps+7 =0
がoc < s<0の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつための2つの
実数ヵ, 9に関する条件を求めよ。また, その条件をみたす (p,q) の
PME a = -1,b = 1 OLS pq 平面上に図示せよ。
(3) c.dをc<0 <のをみたす実数とする。実数をが:<c または9<』7
をみたしながら動くとき、 xy平面上において=ァ"上の点 (6お)
を通る接線が通過する領域を.c = -1.7= 1 のとき図示せよ。
(4) Re acy 平面上に図示せよ。
[FE] 直線7:ッ=リ(y)が曲線C :ッ= g(x) の接線であるとは、, f(a) = g(a),
fila) = g(a) をともにみたす>=qが存在することである。
earl xx
こと。
(5) MELTS THE MMO MEM AT SOL,
(6) 問題抵の余自は計算に使用してもよい。
(7 問題を解体して使用してはならない。
(@) 試験開始後、 問題紙に著了損傷がないか確認すること
(9) 試験終了後、問題紙は各自持ち帰ること。
数 a
C1) 次の | | に適する数または式を、解答用紙の同じ記号の付い
た | | の中に記入せよ。
(1) 1 個のさいころを3 回続けて投げる試行を考える。3 の目が1 回以
上出る確率は である。1 の目と6 の目がともに1回以上出
る確率は THY, 出た目の最大値と最小値の差が4以下と
なる確率は である。
(2) 平面上の AABC において, BC を4 : 5 に内分する点を D とおく。
Krk, AABC の重心をで とし. 直線 AD と直線 BG の交点をP とす
る。 AD と AP をそれぞれ AB, AC を用いて表すと
B= [=], B= [5 ] cas.
(3) n を 2 以上の整数とする。 BH {an} の初項 a PSH n Way, ま
TOME Sn = Slay とする。 9 = oi = 500 とし, また関係式
jal
Spit — Sp = 3k — 50 (た=テ1.2.3....・) が成り立っているとする。
かー1
ヵを用いてそれぞれ$ょ=| a |, S,= である。
k=1
NDR HS ILICERTSE n= DEB, Sy は最小
Ai BEB. CAS, an < 0 となるヵの値の最大値が
we であることからもわかる。
[ IT ] 平面上で半径んの円に内接する四角形 ABCD について ,
AB = 3, AD = 2, cos ZDAB = である CE 次の問いに答えよ。ただ
L, 4A, B,C, D はこの順に四角形の頂点として並んでいる。
(1) AABD の面積 9 を求めよ。
(2) BD の長さと外接円の半径表の値をそれぞれ求めよ。
(3) AC の長さを ヶ とおく。 のとりうる値の範囲を求めよ。
(4) AC = BD が成り立つとき、四角形 ABCD の面積のとりうる値をす
べて求めよ。
105,
CTL) 平面上の曲線 y = |e? — 52 +4) に対して, C, EO 2K
(1,0), (4,0) を除いた曲線を Co ETS. H (u,v) を通るどんな直線《 も
曲線 Co の接線とはならないような点 (u,v) 全体を有形 とする。このとき。,
次の問いに答えよ。
(1) cy 平面上において、 HBR Cys y = [22 — 52 +4, のグラフを図示せ
Ko KEL, 2 点 (1,0), (4,0) は曲線 > に含まれない。
(2) 7.5をgw <0 <0をみたす実数とする。 sの2次方程式 2-2ps+7 =0
がoc < s<0の範囲に少なくとも 1 つの実数解をもつための2つの
実数ヵ, 9に関する条件を求めよ。また, その条件をみたす (p,q) の
PME a = -1,b = 1 OLS pq 平面上に図示せよ。
(3) c.dをc<0 <のをみたす実数とする。実数をが:<c または9<』7
をみたしながら動くとき、 xy平面上において=ァ"上の点 (6お)
を通る接線が通過する領域を.c = -1.7= 1 のとき図示せよ。
(4) Re acy 平面上に図示せよ。
[FE] 直線7:ッ=リ(y)が曲線C :ッ= g(x) の接線であるとは、, f(a) = g(a),
fila) = g(a) をともにみたす>=qが存在することである。
earl xx
問5画像OCR
検出分野: 関数・グラフ、図形・三角関数、微分・積分、空間図形、指数・対数
(1) 1 辺の長さが 2である正八面体について, 頂点の数は | ア |、辺の
数は CHS. Kk, この正八面体の表面積は
BD, 体積は である。
(2) RSE logy (a — 5) + logy a < logy(2x —3) +2 の解は で
ある。
(3) 座標平面上の相上異なる3点A(ai.gs)。 Blbi, bo), C(c」, c2) の座標が
a — ey = V3(b2 一g2)
a2 — ¢2 = —V3(bi — a1)
(b1 ~ 1)? + (ba ~ ¢2)? = 16
をみたしている。 このとき3点A, B,でを頂点とする AABC に対
Ut, BO = | カ |,AB:AO=1: である。ZンBAC の
大ききは| ク ].ZABCの大きさは CH), 内接円の半
径は である。
ーター
[ II 〕 A, は,4>0.B > 0をみたす定数とする。0 ミァ2rで定義
された関数 (r). g(x), Ma) をそれぞれ
f(z) = sine + cosx
g(x) = |sina| +| cosar|
h(x) = |Asinx + Beosa| +|Bsinx — Acosa|
とするとき, 次の問いに答えよ。
(1) たを実数の定数とする。 st FHLOA +P =1ciRs+t=k
が共有点をもつようなたのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 関数(Z) の最大値と最小値を求めよ。
(3) 関数 g(a) の最大値と最小値を求めよ。
(4) 関数ヵ(z) の最大値と最小値を 4、 を用いて表せ。
CID) 実数に対して定義された関数
(2) = (@ + 1)(@? — 22 —2) -( + 2)|(@+ @- 2)
と座標平面上の曲線 :ッ=リア(>) を考えるとき, 次の問いに答えよ。
(1) 不等式 (z) < 2 - 2z? を解け。
(2) 座標平面上の領域 Dy を
Do = {(x,y)| 1S 282, fv) Syミ2ー2z2)
で定める。 Do の面積を求めよ。
(3) 直線ニムと曲線〇 の共有点の個数がちょうど4つとなるような実
数pのとりうる値の範囲を求めよ。
(4) (3) で求めた範囲にある5に対して, 直線=?と曲線での4つの共
有点の座標を小さい順に, z」(の), ze(の、za(0. za(6) とおく。 座標
平面上の 2 つの領域 , の。 をそれぞれ
Dy = {(a,y) | wb) SzSza(の0, 59Sミ7(17)
の=人(かの1m(0 SSza(0,了7) Sy Sd}
とする。 Dy と Dz の面積が等しくなるようなら5の値を求めよ。
— 4g —
。
数は CHS. Kk, この正八面体の表面積は
BD, 体積は である。
(2) RSE logy (a — 5) + logy a < logy(2x —3) +2 の解は で
ある。
(3) 座標平面上の相上異なる3点A(ai.gs)。 Blbi, bo), C(c」, c2) の座標が
a — ey = V3(b2 一g2)
a2 — ¢2 = —V3(bi — a1)
(b1 ~ 1)? + (ba ~ ¢2)? = 16
をみたしている。 このとき3点A, B,でを頂点とする AABC に対
Ut, BO = | カ |,AB:AO=1: である。ZンBAC の
大ききは| ク ].ZABCの大きさは CH), 内接円の半
径は である。
ーター
[ II 〕 A, は,4>0.B > 0をみたす定数とする。0 ミァ2rで定義
された関数 (r). g(x), Ma) をそれぞれ
f(z) = sine + cosx
g(x) = |sina| +| cosar|
h(x) = |Asinx + Beosa| +|Bsinx — Acosa|
とするとき, 次の問いに答えよ。
(1) たを実数の定数とする。 st FHLOA +P =1ciRs+t=k
が共有点をもつようなたのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 関数(Z) の最大値と最小値を求めよ。
(3) 関数 g(a) の最大値と最小値を求めよ。
(4) 関数ヵ(z) の最大値と最小値を 4、 を用いて表せ。
CID) 実数に対して定義された関数
(2) = (@ + 1)(@? — 22 —2) -( + 2)|(@+ @- 2)
と座標平面上の曲線 :ッ=リア(>) を考えるとき, 次の問いに答えよ。
(1) 不等式 (z) < 2 - 2z? を解け。
(2) 座標平面上の領域 Dy を
Do = {(x,y)| 1S 282, fv) Syミ2ー2z2)
で定める。 Do の面積を求めよ。
(3) 直線ニムと曲線〇 の共有点の個数がちょうど4つとなるような実
数pのとりうる値の範囲を求めよ。
(4) (3) で求めた範囲にある5に対して, 直線=?と曲線での4つの共
有点の座標を小さい順に, z」(の), ze(の、za(0. za(6) とおく。 座標
平面上の 2 つの領域 , の。 をそれぞれ
Dy = {(a,y) | wb) SzSza(の0, 59Sミ7(17)
の=人(かの1m(0 SSza(0,了7) Sy Sd}
とする。 Dy と Dz の面積が等しくなるようなら5の値を求めよ。
— 4g —
。
問6画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、整数、空間図形、数列、微分・積分
(1) BOM, 1, 2, 3 の数字が 1 つずつ書かれた 3 枚のカードと, 4 の
数字が1つ書かれた 2 枚のカード、つまり合計5枚のカードがある。
この袋から無作為にカードを1枚取り出し. カードの数字を記録し
て袋に戻す。x を 3 以上の整数とし、 この試行を ヵ 回くり返す。こ
DES, 記録された数字を小さくない順に X1, Xo, Xa Xn, つ
ROX, 2M SX と... DXA ETS. X= 1 となる確率は
[レア ], *」 =4 となる確率は TCHS. Xn = 2 となる確
率は | ウ | であり.Xぅ=4となる確率は | エ | である。ヵ=5
のとき パッ= 4かつ Xs = 2 となる確率は | オ | となる。
(2) 実数 > に対して定義された関数 7(z) = ダー 9a? + Qde — 2 は、
a= のとき、極小値 をとる。 座標平面上において
HEREC) sy = f(x) を原点 O(0.0) に関して対称移動して得られる曲
WE C。 とすると, の。 を表す方程式はゅ= である。2 つの
HAE C1, Co および2 つの直線ヶ = 0.ヶ=4で閉まれた部分の面積
は CHS. a を実数とするとき, 直線リッ= gz一2 と曲線
C との共有点の個数がちょうど3つとなるようなoのとりうる値
の範囲は | コ | である。
ー 5一
門
CI) ヵを自然数とする。数列 {an} を, ai = 0, a = 2 および関係式
dei ーー ay (2ー1.2.3....・) で定める。また. BI {あぁ} を
wt
Ke—oniinn (n = 1,2,3,-+-) で定める。
(1) Ont を を用いて表せ。
(2) 数列 [6。) の第ヵ項。 をを用いて表せ。
(3) なを2以上の整数とする。 ay > 0が成り立つことを示せ。 また 2
をヵを用いて表せ。 .
(4) RG {a,.} の第ヵ項4。 を を用いて表せ。
CID) 平面上において, 3 つの内角が鋭角である AABC を考える。内
角の 1 つである ZABC に対する外角の二等分線を /、 内角の 1 つである
BCA に対する外角の二等分線を m とし, 2 つの直線 /、 の交点をX と
する。線分 AB、 AC の長さをそれぞれ s、+とする。
(1) 直線 m が直線 AB に平行ではなく, かつ., 直線 ? が直線 AC に平行
であるとき, AABC が二等辺三角形となることを示せ。
(2) 直線妨 が直線 AB に平行ではなく. 直線 7が直線 AC に平行であり、
かつ, s <#とする。 Hm と直線 AB の交点をY とおく。線分 BX
と線分 AY の長さをそれぞれ s,:のうち必要なものを用いて表せ。
また AX € 5, t, BLOAB, AC を用いて表せ。
(3) (2) DER, 直線 AX と直線 BC の交点を2 とする。2 つの線分の長
さの比 BZ : CZ を求めよ。
(4) 直線7 が直線 AO に平行ではなく, 直線 が直線 AB に平行ではな
いとする。 直線 AX は、 内角の 1つである ZCAB の二等分線となる
ことを示せ。
ー46 一
以下余白
数字が1つ書かれた 2 枚のカード、つまり合計5枚のカードがある。
この袋から無作為にカードを1枚取り出し. カードの数字を記録し
て袋に戻す。x を 3 以上の整数とし、 この試行を ヵ 回くり返す。こ
DES, 記録された数字を小さくない順に X1, Xo, Xa Xn, つ
ROX, 2M SX と... DXA ETS. X= 1 となる確率は
[レア ], *」 =4 となる確率は TCHS. Xn = 2 となる確
率は | ウ | であり.Xぅ=4となる確率は | エ | である。ヵ=5
のとき パッ= 4かつ Xs = 2 となる確率は | オ | となる。
(2) 実数 > に対して定義された関数 7(z) = ダー 9a? + Qde — 2 は、
a= のとき、極小値 をとる。 座標平面上において
HEREC) sy = f(x) を原点 O(0.0) に関して対称移動して得られる曲
WE C。 とすると, の。 を表す方程式はゅ= である。2 つの
HAE C1, Co および2 つの直線ヶ = 0.ヶ=4で閉まれた部分の面積
は CHS. a を実数とするとき, 直線リッ= gz一2 と曲線
C との共有点の個数がちょうど3つとなるようなoのとりうる値
の範囲は | コ | である。
ー 5一
門
CI) ヵを自然数とする。数列 {an} を, ai = 0, a = 2 および関係式
dei ーー ay (2ー1.2.3....・) で定める。また. BI {あぁ} を
wt
Ke—oniinn (n = 1,2,3,-+-) で定める。
(1) Ont を を用いて表せ。
(2) 数列 [6。) の第ヵ項。 をを用いて表せ。
(3) なを2以上の整数とする。 ay > 0が成り立つことを示せ。 また 2
をヵを用いて表せ。 .
(4) RG {a,.} の第ヵ項4。 を を用いて表せ。
CID) 平面上において, 3 つの内角が鋭角である AABC を考える。内
角の 1 つである ZABC に対する外角の二等分線を /、 内角の 1 つである
BCA に対する外角の二等分線を m とし, 2 つの直線 /、 の交点をX と
する。線分 AB、 AC の長さをそれぞれ s、+とする。
(1) 直線 m が直線 AB に平行ではなく, かつ., 直線 ? が直線 AC に平行
であるとき, AABC が二等辺三角形となることを示せ。
(2) 直線妨 が直線 AB に平行ではなく. 直線 7が直線 AC に平行であり、
かつ, s <#とする。 Hm と直線 AB の交点をY とおく。線分 BX
と線分 AY の長さをそれぞれ s,:のうち必要なものを用いて表せ。
また AX € 5, t, BLOAB, AC を用いて表せ。
(3) (2) DER, 直線 AX と直線 BC の交点を2 とする。2 つの線分の長
さの比 BZ : CZ を求めよ。
(4) 直線7 が直線 AO に平行ではなく, 直線 が直線 AB に平行ではな
いとする。 直線 AX は、 内角の 1つである ZCAB の二等分線となる
ことを示せ。
ー46 一
以下余白
問7画像OCR
検出分野: 整数、図形・三角関数、空間図形、複素数、確率・場合の数
(1) ヵ を自然数とする. 3つの袋 A、B, Cがあり, 袋A4には1つの赤
玉, 袋Bには1つの青玉, 袋でには1つの白玉がそれぞれ入ってい
る. 次の試行 (*) をヵ 回続けて行った後に自玉が袋 A,、 BL COP
にある確率をそれぞれg。 bar en とする.
試行 (*) : 1 個のさいころを投げて, 出た目が1 の場合は袋A
の中の玉と袋Cの中の玉を交換し, 出た目が1以外
の場合は袋B の中の玉と袋Cの中の玉を交換する.
このとき, =ー| ア | CHS, n=1, 2 3, ... に対して, SR
er2 = P(dn +n) + 4en が成り立つような定数 の値はそれぞれ
ァニトイ 4=レラー] tH), Bt se (3)
が成り立つような定数r の値は7 = CHS. したがって,
自然数ヵ に対して, Com を の式で表すと com = となる.
(2) i を虚数単位とする. c を複素数として, > に関する 3 次方程式
B31 +i)22 +ez+2-1 = 0 が異なる3つの複素数解 o, B,
>をもつとする. COLE, us plat s+a) v=apyeBes,
の値は| カ | >の値は| キ |である. 次に, 複素数平面上
の3点A(o), B(B), C(7) を頂点とする三角形が正三角形であると
き, ゅーーとおくと, oo? の値は| ク | cの値は
であり, o。 8, ? のそれぞれの実部の値のうち, 最大の値は| コ ]
である.
C IL) ,を正の実数とする. 座標空間の 4 点 A(2, 0 2), B(-2. 0, 2),
C(0, —2,-2), DO, 2, 一) を考える. zy平面と直線 AC, AD, BC, BD
の交点をそれぞれE, F, G, HH とする. 次の問いに答えよ.
(1) 点E と点Gの席標をそれぞれ求めよ.
(2) 点F と点Hの座標をそれぞれ7を用いて表せ.
(3) zy 平面上の四角形 EFHG の面積を 9 とする. (t+2)?5 を4の式で
表せ.
(4) ! が正の実数全体を動くとき, (3) の 9 の最大値とそのときの7 OF
を求めよ.
ーュー
CTL) 座標平面上の?つの円の, の を
Cyi(e+2)P? +yr=1 CO5:(e-37二の=4
EFS, 次の問いに答えよ.
(1) 点 (3, 0) と直線ヶー2V69+7ー0の距離を求めよ.
(2) 直線?は2 つの円 Ci, Cy とそれぞれ点 Pi, Po CHL, 点Pi, P。 の
座標はいずれも正であるとする. Ei の座標を求めよ.
(3) 中心の褒要が (— =) CHS DAC), Co の両方に外接して
いるとする. のの半径を求めよ、また, このときの〇」 とりの接点
の座標を求めよ.
(4) 9 を正の実数とし, 中心の座標が7であるような円 万がOi, Co
の両方に外接しているとする. Ey の中心の座標を>としたとぎき,
のをの式で表せ. EK, 極限 hm ek x,
(5) (4) の円 Ey と Cy の接点の座標を (ぅ0)) とする. 極限 him s, limt
ato oo
をそれぞれ求めよ.
[TV 〕ヵを正の実数とする. 0以上の整数ゎに対して,
「 / * 6-2 cos(nc) de
とおく. 次の問いに答えよ. 必要ならば, 実数7に対して lim pre 7? =O
が成り立つことを証明なしに用いてよい.
(1) 不定積分 [oP conc foe sinre を求めよ.
(2) ly をそれぞれヵの式で表せ.
2 5 “ 2p ii Saw
(3) 1以上の整数ヵに対して, GA [I - | So? が成り立
つことを示せ、
(4) 実数cに対して, pr ooのときが(7カーゲ) が0でないある定数
e に収束するとする. このときのcの値とっの値を求めよ.
me 8
以下余白
玉, 袋Bには1つの青玉, 袋でには1つの白玉がそれぞれ入ってい
る. 次の試行 (*) をヵ 回続けて行った後に自玉が袋 A,、 BL COP
にある確率をそれぞれg。 bar en とする.
試行 (*) : 1 個のさいころを投げて, 出た目が1 の場合は袋A
の中の玉と袋Cの中の玉を交換し, 出た目が1以外
の場合は袋B の中の玉と袋Cの中の玉を交換する.
このとき, =ー| ア | CHS, n=1, 2 3, ... に対して, SR
er2 = P(dn +n) + 4en が成り立つような定数 の値はそれぞれ
ァニトイ 4=レラー] tH), Bt se (3)
が成り立つような定数r の値は7 = CHS. したがって,
自然数ヵ に対して, Com を の式で表すと com = となる.
(2) i を虚数単位とする. c を複素数として, > に関する 3 次方程式
B31 +i)22 +ez+2-1 = 0 が異なる3つの複素数解 o, B,
>をもつとする. COLE, us plat s+a) v=apyeBes,
の値は| カ | >の値は| キ |である. 次に, 複素数平面上
の3点A(o), B(B), C(7) を頂点とする三角形が正三角形であると
き, ゅーーとおくと, oo? の値は| ク | cの値は
であり, o。 8, ? のそれぞれの実部の値のうち, 最大の値は| コ ]
である.
C IL) ,を正の実数とする. 座標空間の 4 点 A(2, 0 2), B(-2. 0, 2),
C(0, —2,-2), DO, 2, 一) を考える. zy平面と直線 AC, AD, BC, BD
の交点をそれぞれE, F, G, HH とする. 次の問いに答えよ.
(1) 点E と点Gの席標をそれぞれ求めよ.
(2) 点F と点Hの座標をそれぞれ7を用いて表せ.
(3) zy 平面上の四角形 EFHG の面積を 9 とする. (t+2)?5 を4の式で
表せ.
(4) ! が正の実数全体を動くとき, (3) の 9 の最大値とそのときの7 OF
を求めよ.
ーュー
CTL) 座標平面上の?つの円の, の を
Cyi(e+2)P? +yr=1 CO5:(e-37二の=4
EFS, 次の問いに答えよ.
(1) 点 (3, 0) と直線ヶー2V69+7ー0の距離を求めよ.
(2) 直線?は2 つの円 Ci, Cy とそれぞれ点 Pi, Po CHL, 点Pi, P。 の
座標はいずれも正であるとする. Ei の座標を求めよ.
(3) 中心の褒要が (— =) CHS DAC), Co の両方に外接して
いるとする. のの半径を求めよ、また, このときの〇」 とりの接点
の座標を求めよ.
(4) 9 を正の実数とし, 中心の座標が7であるような円 万がOi, Co
の両方に外接しているとする. Ey の中心の座標を>としたとぎき,
のをの式で表せ. EK, 極限 hm ek x,
(5) (4) の円 Ey と Cy の接点の座標を (ぅ0)) とする. 極限 him s, limt
ato oo
をそれぞれ求めよ.
[TV 〕ヵを正の実数とする. 0以上の整数ゎに対して,
「 / * 6-2 cos(nc) de
とおく. 次の問いに答えよ. 必要ならば, 実数7に対して lim pre 7? =O
が成り立つことを証明なしに用いてよい.
(1) 不定積分 [oP conc foe sinre を求めよ.
(2) ly をそれぞれヵの式で表せ.
2 5 “ 2p ii Saw
(3) 1以上の整数ヵに対して, GA [I - | So? が成り立
つことを示せ、
(4) 実数cに対して, pr ooのときが(7カーゲ) が0でないある定数
e に収束するとする. このときのcの値とっの値を求めよ.
me 8
以下余白
問8画像OCR
検出分野: 空間図形、図形・三角関数、整数、方程式・不等式、微分・積分
(1) BEMIS (—) L (IOTNENIMFOCHS.
(2) 受験番号の記入棚は, RAN), (二)のそれぞれ
表面に 2 か所裏面に 1 か所ある。合計6 か所とも
正確・明瞭に記入すること。
(3) 氏名の記入欄は, 解答用紙(一). (二)の表面にそれぞれ
1 か所ある。合計 2 か所とも正確・明腔に記入すること。
(4) 解答はすべて解答用紙の所定の箇所に記入すること。
問題【 1 )の解答は解答用紙(一)の〔 1 OMIA.
問題LT)の解答は解夫用紙(一)の【T〕の棚に記入。
問題(由)の解答は解答用紙(二)の〔エル〕の欄に記入。
問題W〕の解答は解答用紙(二)の[WV〕の憶に記入。
(5) 問題紙の本文は 2 ページである。
(6) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(?) 問題紙を切り離して使用してはならない。
(8) 試験開始後, 問題紙に落丁・損傷がないか確認すること。
(9) 試験終了後, 問題紙は各自持ち帰ること。
余 白
(1) xo | | に適する数または式を, 解答用紙の同じ記号のつい
た| | の中に記入せよ.
(1) を自然数とする. 1 個のさいころを投げる試行において, 1 または
2 の目が出れば 2 点, 3 以上の目が出れば 1 点を得るとする. この
試行をくり返し行うとき, 得点の合計が途中でちょうどヵ点となる
確率を p。 CFSE, p—p, = ア | y= CHS.
また, BR pags 一pm = @(Pngi — Pn) がすべての自然数ゎで
成り立つような定数zの値は gニ であり, p。 をヵの式で
表すと, p。 = | エ | となる. 一方, wが2以上の自然数のとき,
得点の合計が途中で, ちょうどヵ点となることなくちょうど(ヵ二5)
点となる確率 g。 をヵ の式で表すと gy = | オ |である.
(2) ? を虚数単位とする. -8の3乗根のうち虚部が正のもゃのをo とする
と, o の虚部は | カ |]である. 次に, 複素数 , > は2つの条件
IB—W=4V3, dat (V3 -2+i)8 =(V3 +2二07 を同時に満
たすとする. COLE, MRAM LO 3 A A(a), BB), C7) を
頂点とする AABC を考えると, /A の大きさは| キ lx, ZBの
大きさは[| ク |z, le-y|=[ ケ |-V6, AABOCの外接円
の半径は | コ |である.
CID) 平面上の曲線 :ッニッ5 と直線《:ッニナ(2?) が, a< BEL
て異なる 2 点 (o, 02), (8, 82) で交わっている. 次の問いに答えよ.
(1) fla) = @ 5 とする. a, ちのそれぞれを o と 2 の式で表せ.
(2) 曲線 と直線 ? で囲まれた図形 の の面積は 36 である. このとき,
go の値を求めよ.
(3) (2) の図形を 軸の周りに1 回転させてできる立体の体積を"と
する。 実数とをc- 98 とするとき、 とをae,を含まないcの
式で表せ.。が実数全体を動くとき, の最小値とそのときのo, B
の値を求めよ.
ーーキー
(IL) 県0を原点とする ays 空間内に, 0 を中心とする半径 OR
面 $ と点A(一1 0, 2) がある. 直線が球面 9 とただ 1 つの共有点をもつ
とき, 直線は球面 9 に接するという. z, y, zがともに整数であるとき,
Ke, y, 2) を格子点とよぶ. 次の問いに答えよ.
(1) cy FR LOAP(u, v, 0) を考え, HM VBR AP LOAM に対
LC, AM=tAP LFS. COLE, OM Su, v, t を用いて表せ.
また, 直線 AP が球面 ? に接するように点P Bay 平面上を動くと
き, cy 平面における点P の軌跡 万 の方程式を ぃ を用いて表せ.
(2) 点A と異なる点 B, およびxy平面上の点 Q を考える. 直線BQが
球面 3 に接するように点Q がry平面上を動くとき, ARQ の軌跡が
(1) の軌跡万 と一致するような点B を1 つ求めよ.
(3) (1) の軌跡 万上の格子点をすべて求めよ.
(4) 点4を1 つの頂点とする四面体 ACDE AKO (i) ~ (iii) を同時
に満たしている. このとき, HAC, D, EEの組を1つ求めよ.
(i) 頂点C, D, はすべて格子点である.
(i) どの2つの頂点を結ぶ直線も球面 ? と接する.
(ii) すべての辺の長さは整数である.
CIV) 。を自然数とし, 2 を正の実数。, を実数とする. COLE, 次式
で定まる の関数 fr(x) & t DBR g(t) について, 次の問いに答えよ.
oer us 2) gi sos
fr(a) -tm(ot の| g(t) = (1 242) sint一{cos#
ただし, 必要ならば, 3 <ィ<4 であることを証明なしに用いてよい.
(1) PER g(t) をょで微分して, 導関数 7/() を求めよ.
2) () のの7 に対して, OHS g(t) =0 を考える. 0 <#< an
の範囲において, この方程式の実数解の個数を求めよ.
(3) LOW g(t) =0 を考える. 0 <#< on の範囲において, こ
の方程式の実数解の個数を求めよ.
= a 2 $いた 3 E
(4) t= mi とおいたとき。 29 TS fala) を g(t) を用いて表せ.
(5) Hy = (<) の変曲点が 0 < <5 の範囲にただ1 つ存在する
ような自然数ヵの値をすべて求めよ.
ー ラー
以下余白|
a
(2) 受験番号の記入棚は, RAN), (二)のそれぞれ
表面に 2 か所裏面に 1 か所ある。合計6 か所とも
正確・明瞭に記入すること。
(3) 氏名の記入欄は, 解答用紙(一). (二)の表面にそれぞれ
1 か所ある。合計 2 か所とも正確・明腔に記入すること。
(4) 解答はすべて解答用紙の所定の箇所に記入すること。
問題【 1 )の解答は解答用紙(一)の〔 1 OMIA.
問題LT)の解答は解夫用紙(一)の【T〕の棚に記入。
問題(由)の解答は解答用紙(二)の〔エル〕の欄に記入。
問題W〕の解答は解答用紙(二)の[WV〕の憶に記入。
(5) 問題紙の本文は 2 ページである。
(6) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(?) 問題紙を切り離して使用してはならない。
(8) 試験開始後, 問題紙に落丁・損傷がないか確認すること。
(9) 試験終了後, 問題紙は各自持ち帰ること。
余 白
(1) xo | | に適する数または式を, 解答用紙の同じ記号のつい
た| | の中に記入せよ.
(1) を自然数とする. 1 個のさいころを投げる試行において, 1 または
2 の目が出れば 2 点, 3 以上の目が出れば 1 点を得るとする. この
試行をくり返し行うとき, 得点の合計が途中でちょうどヵ点となる
確率を p。 CFSE, p—p, = ア | y= CHS.
また, BR pags 一pm = @(Pngi — Pn) がすべての自然数ゎで
成り立つような定数zの値は gニ であり, p。 をヵの式で
表すと, p。 = | エ | となる. 一方, wが2以上の自然数のとき,
得点の合計が途中で, ちょうどヵ点となることなくちょうど(ヵ二5)
点となる確率 g。 をヵ の式で表すと gy = | オ |である.
(2) ? を虚数単位とする. -8の3乗根のうち虚部が正のもゃのをo とする
と, o の虚部は | カ |]である. 次に, 複素数 , > は2つの条件
IB—W=4V3, dat (V3 -2+i)8 =(V3 +2二07 を同時に満
たすとする. COLE, MRAM LO 3 A A(a), BB), C7) を
頂点とする AABC を考えると, /A の大きさは| キ lx, ZBの
大きさは[| ク |z, le-y|=[ ケ |-V6, AABOCの外接円
の半径は | コ |である.
CID) 平面上の曲線 :ッニッ5 と直線《:ッニナ(2?) が, a< BEL
て異なる 2 点 (o, 02), (8, 82) で交わっている. 次の問いに答えよ.
(1) fla) = @ 5 とする. a, ちのそれぞれを o と 2 の式で表せ.
(2) 曲線 と直線 ? で囲まれた図形 の の面積は 36 である. このとき,
go の値を求めよ.
(3) (2) の図形を 軸の周りに1 回転させてできる立体の体積を"と
する。 実数とをc- 98 とするとき、 とをae,を含まないcの
式で表せ.。が実数全体を動くとき, の最小値とそのときのo, B
の値を求めよ.
ーーキー
(IL) 県0を原点とする ays 空間内に, 0 を中心とする半径 OR
面 $ と点A(一1 0, 2) がある. 直線が球面 9 とただ 1 つの共有点をもつ
とき, 直線は球面 9 に接するという. z, y, zがともに整数であるとき,
Ke, y, 2) を格子点とよぶ. 次の問いに答えよ.
(1) cy FR LOAP(u, v, 0) を考え, HM VBR AP LOAM に対
LC, AM=tAP LFS. COLE, OM Su, v, t を用いて表せ.
また, 直線 AP が球面 ? に接するように点P Bay 平面上を動くと
き, cy 平面における点P の軌跡 万 の方程式を ぃ を用いて表せ.
(2) 点A と異なる点 B, およびxy平面上の点 Q を考える. 直線BQが
球面 3 に接するように点Q がry平面上を動くとき, ARQ の軌跡が
(1) の軌跡万 と一致するような点B を1 つ求めよ.
(3) (1) の軌跡 万上の格子点をすべて求めよ.
(4) 点4を1 つの頂点とする四面体 ACDE AKO (i) ~ (iii) を同時
に満たしている. このとき, HAC, D, EEの組を1つ求めよ.
(i) 頂点C, D, はすべて格子点である.
(i) どの2つの頂点を結ぶ直線も球面 ? と接する.
(ii) すべての辺の長さは整数である.
CIV) 。を自然数とし, 2 を正の実数。, を実数とする. COLE, 次式
で定まる の関数 fr(x) & t DBR g(t) について, 次の問いに答えよ.
oer us 2) gi sos
fr(a) -tm(ot の| g(t) = (1 242) sint一{cos#
ただし, 必要ならば, 3 <ィ<4 であることを証明なしに用いてよい.
(1) PER g(t) をょで微分して, 導関数 7/() を求めよ.
2) () のの7 に対して, OHS g(t) =0 を考える. 0 <#< an
の範囲において, この方程式の実数解の個数を求めよ.
(3) LOW g(t) =0 を考える. 0 <#< on の範囲において, こ
の方程式の実数解の個数を求めよ.
= a 2 $いた 3 E
(4) t= mi とおいたとき。 29 TS fala) を g(t) を用いて表せ.
(5) Hy = (<) の変曲点が 0 < <5 の範囲にただ1 つ存在する
ような自然数ヵの値をすべて求めよ.
ー ラー
以下余白|
a
問9画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、整数、関数・グラフ、方程式・不等式、空間図形
(1) 4.wは4>0.0ミaw<2rをみたす定数とする。 実数 z に関す
る恒等式として 3cosz一V3sinz = Asin (x — a) が成り立つとき
(2) ヵを自然数とし, 95。 = 》 をとする。 このときゎを用いてそれぞれ
hel
my 2n
S=(9 1 e=L= 1 ECs, = と表す
とる pa Sp
ことができる。
(3) m を自然数とする。 方程式 Me + 39 =m をみたし、z, 9がともに
整数となる解を考える。
m=10¢%,2=-ly= は, 方程式 14z 3y =10
解の1つであるので、14z十39=1の整数解 (z。9) は
Me +1) =ニー3(9 | カ ) をみたす。14 と3は互いに素なので、
整数んを用いて ot 1= 3k CRY, y = となる。
次に, m= 148 のとき14ヶ十39ニ148の解のうち, 2, がともに
正の整数であるものを考える。 エッは、ヶ= | ク |.ッ=
のときに最大値 | コ | をとる。
— 59 一
ine
5 ーー一
[ IT ] 必を実数の定数とする。 3 次方程式 272 + 30? — 120 - 6m = 018,
相異なる3つの実数解 o, B,y をもつとする。ただし、o <みこ<とする。
(1) 3 次関数サー (228 430? — 122) OBER E BUS Z NAR
めよ。
(2) ny 平面上において, 次関数 (228 +32? ー 122) のグラフの概
| 形を描け。
| (3) MODE YD 5 SAO MPH RY L,
(4) y¥ のとりうる値の範囲を求めよ。
CI) 。 > 0 とする。 平面上において, AABC は AB = 1, 4C=ニ2
BC =a であり,点OはへABC の外接円の中心でやるとする。また, 2 つ
の実数 s, tik, AO = AB+ 7AC をみたすとする。
(1) AABC が存在するための。のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 内積 AB.AC をるを用いて表せ。
(3) 関係式 AB. AG = SABE = Fa D OS とを示し, これを利用
して sf をそれぞれc を用いて表せ。ただし、 s.# を求めるとき,
2@.46 = AP =2 が成り立つことを証明なしに用いてもよい。
(4) 外接円の中心O が, AABC の内部にあるための。のとりう る値の範
囲を求めよ。ただし,点O〇が AABC の辺や頂点にある場合を除く
とする。
:
以下余白
る恒等式として 3cosz一V3sinz = Asin (x — a) が成り立つとき
(2) ヵを自然数とし, 95。 = 》 をとする。 このときゎを用いてそれぞれ
hel
my 2n
S=(9 1 e=L= 1 ECs, = と表す
とる pa Sp
ことができる。
(3) m を自然数とする。 方程式 Me + 39 =m をみたし、z, 9がともに
整数となる解を考える。
m=10¢%,2=-ly= は, 方程式 14z 3y =10
解の1つであるので、14z十39=1の整数解 (z。9) は
Me +1) =ニー3(9 | カ ) をみたす。14 と3は互いに素なので、
整数んを用いて ot 1= 3k CRY, y = となる。
次に, m= 148 のとき14ヶ十39ニ148の解のうち, 2, がともに
正の整数であるものを考える。 エッは、ヶ= | ク |.ッ=
のときに最大値 | コ | をとる。
— 59 一
ine
5 ーー一
[ IT ] 必を実数の定数とする。 3 次方程式 272 + 30? — 120 - 6m = 018,
相異なる3つの実数解 o, B,y をもつとする。ただし、o <みこ<とする。
(1) 3 次関数サー (228 430? — 122) OBER E BUS Z NAR
めよ。
(2) ny 平面上において, 次関数 (228 +32? ー 122) のグラフの概
| 形を描け。
| (3) MODE YD 5 SAO MPH RY L,
(4) y¥ のとりうる値の範囲を求めよ。
CI) 。 > 0 とする。 平面上において, AABC は AB = 1, 4C=ニ2
BC =a であり,点OはへABC の外接円の中心でやるとする。また, 2 つ
の実数 s, tik, AO = AB+ 7AC をみたすとする。
(1) AABC が存在するための。のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 内積 AB.AC をるを用いて表せ。
(3) 関係式 AB. AG = SABE = Fa D OS とを示し, これを利用
して sf をそれぞれc を用いて表せ。ただし、 s.# を求めるとき,
2@.46 = AP =2 が成り立つことを証明なしに用いてもよい。
(4) 外接円の中心O が, AABC の内部にあるための。のとりう る値の範
囲を求めよ。ただし,点O〇が AABC の辺や頂点にある場合を除く
とする。
:
以下余白