藤原進之介です。このページでは同志社大学2024年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
今日の一問
1個のさいころを 3 回投げる。
少なくとも1回は 3 の目が出る確率を求めよ。
——さて、どこから手をつける？
数強塾オリジナルの類題です。この年度の実際の入試問題ではありません。実際の問題と解答は、このページのPDFでご確認ください。
問題
解答
未掲載の解答は順次公開中です。急ぎで解説が必要な問題はLINEでリクエストしてください。 解説をリクエスト
同志社大学2024年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。
〔Ⅰ〕(1) さいころの目の積を4で割った余り
n 個のさいころを同時に投げ、出た目の積を4で割った余りが 0, 1, 2, 3 になる確率をそれぞれ an, bn, cn, dn とします。
n = 1 のとき
1〜6 の目を4で割った余りは
| 目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4で割った余り | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 |
したがって a₁ = 1/6、b₁ = 2/6 = 1/3、c₁ = 2/6 = 1/3、d₁ = 1/6。
ア b₂ + d₂（積が奇数になる確率）
余りが1または3 ⇔ 積が奇数 ⇔ 2個とも奇数の目。
1個のさいころで奇数が出る確率は b₁ + d₁ = 1/3 + 1/6 = 1/2。2個とも独立なので
b₂ + d₂ = (1/2)² = 1/4
イ c₂（積を4で割った余りが2）
積が「2で1回だけ割れる」状態です。素因数2をちょうど1個もつには
1個が 2 か 6（2で1回だけ割れる）、もう1個が奇数
でなければなりません（4 が出ると素因数2が2個以上になります）。
どちらのさいころが 2 か 6 かで ₂C₁ = 2通り。それぞれの確率は c₁ = 1/3、奇数が出る確率は 1/2 なので
c₂ = 2 × (1/3) × (1/2) = 1/3
ウ bn + dn（n 個の積が奇数）
n 個すべてが奇数である必要があるので
bn + dn = (1/2)ⁿ = 1/2ⁿ
エ cn
素因数2をちょうど1個もつには、ちょうど1個が 2 か 6 で、残り n−1 個がすべて奇数。
cn = ₙC₁ × (1/3) × (1/2)^(n−1) = n × (1/3) × (1/2)^(n−1)
cn = n/(3·2^(n−1))
検算：n 個のさいころの目の積を4で割った余りの分布を、全 6ⁿ 通り列挙して求めました。
n = 1：a=1/6, b=1/3, c=1/3, d=1/6 ✓
n = 2：b+d = 1/4 ✓、c = 1/3 ✓
n = 3：b+d = 1/8 = 1/2³ ✓、c = 1/4。公式 n/(3·2^(n−1)) に n=3 を入れると 3/(3×4) = 1/4 ✓
すべて一致しました。
この年の学習ポイント
「積を4で割った余り」を扱う問題では、素因数2の個数に着目するのが鉄則です。
| 素因数2の個数 | 4で割った余り | 目 |
|---|---|---|
| 0個（奇数） | 1 または 3 | 1, 3, 5 |
| 1個 | 2 | 2, 6 |
| 2個以上 | 0 | 4 |
この対応表を作ってしまえば、あとは「素因数2が合計で何個か」を数えるだけの問題になります。
余りが1（bn）と余りが3（dn）を分けずに、bn + dn をまとめて扱うのも要点です。どちらも「奇数」という同じ条件なので、分ける必要がありません。設問が bn + dn を聞いているのは、そのほうが簡単だからです。
cn の「ちょうど1個が 2 か 6」という数え方も、反復試行の公式（ₙC₁ × p × q^(n−1)）そのものです。「ちょうど k 個」と聞かれたら反復試行と反応してください。
同志社大学2024年度は学部・日程ごとに複数の問題が出題されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。
同志社大学 数学 過去問｜他の年度を見る
同志社大学の数学の過去問は31年度ぶんを公開しています。そのうち2年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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「解説」＝全問の解答解説を掲載している年度です。赤は今見ている年度。
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問題PDFをテキストでも確認
同志社大学 2024年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 整数
- 微分・積分
- 関数・グラフ
- 空間図形
- 確率・場合の数
- 数列
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
2024年度の問題PDFでは、図形・三角関数、整数、微分・積分、関数・グラフ、空間図形に関する語句や設問を確認できました。同志社大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は31年度、微分・積分は31年度、関数・グラフは31年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
重点的に準備したい分野
- 図形・三角関数条件を図へ書き込み、相似・円・三角比・座標化のうち短く処理できる方針を選ぶ練習が有効です。
- 整数約数・余り・偶奇の条件を整理し、具体例から規則を予想した後に一般の場合を証明します。
- 微分・積分増減・極値・接線・面積を別々に暗記せず、式の意味から途中式を説明できるようにします。計算時間も記録してください。
- 関数・グラフ定義域、増減、端点を順に確認し、式とグラフの対応を答案に残します。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、微分・積分、関数・グラフ、方程式・不等式、ベクトル
(1) ヵ を自然数とする。 BE {a} は, a1 = —100,
wm = On +4 (n = 1,2,3,-++) をみたすとする。また数列 (5),
{Tr} を Sn = Sax, Tr = う)(-1)7g。 とおく。n を用いて, そ
ょー1 j=l
nena, = | Z | $= となる。また, ヵ を用いて
Ton = である。
(2) &, ヶを整数とする。0SzSgSz。 POat+y+z2=9 をみた
す (2,y,2) の組は | エ | 通りである。柴玉 3B, AE 9 個が
あり, これらを円形につなげてブレスレットを作る方法は
通りである。ただし, 回転したり裏返ししたりして玉の並び方が同
じになる配置は 1 通りと考える。
(3) 空間内の直方体OADB-CEGF において, OA = 3, OB = 2, OC=2
LTS. WCE@1: 2 に内分する点をP, 辺 BF の中点を QE
する。 2 つのベクトル OB と OG との内積OP・0Gは| カヵ |
AOPQ の面積は | キ |] である。3点0, P, Qが定める平面<上
に点H があり, 直線 DH が平面 に垂直であるとする。このとき,
OH = sOP-7OQ をみたす実数s, #について, sの値はぁ=
である。 よって, 四面体OPQD の体積は | ケ | となる。 また, 直線
DH と面 CEGF を含む平面との共有点をJとおくと, 四面体 OPQJ
の体積は となる。
-
9一
— 43 一
CI) ay 平面において, 連立不等式
pyS6, 9S4。 WwtTy+2320, Te+2y+1320
の表す領域を | とする。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 領域を図示せよ。
(2) 点 (ay) が領域 を動くとき, 3z+ッがとる値の最大値および最
小値と、 そのときのz,?の値を求めよ。
(3) 点 (g,9) が領域 を動くとき,z2ー2z十りりがとる値の最大値およ
び最小値と, SOLED a, y の値を求めよ。
CID) 。を1とは異なる正の定数とし, 7 を実数とする。zy 平面におい
て, 曲線リー 2? LOMPE 2) における接線を LETS. Ke, 点(61)
を Q。 とおくとき, 次の問いに答えよ。
(1) 直線 , を表す方程式を求めよ。
(2) 線分PQ。 と直線 7, が垂直となるような1がちょうど2個存在すると
きのoの値を g。 LBS. ay を求めよ。またこのとき, 線分PQ。。 と
直線 , が垂直となる2つのは#の値 ね, te を求めよ。 ただし, れ < te
とする。
(3) (2) で定めた go, t, te に対して, (t1, tf) ¥ をPo とおく。GQ。。(co,1)
を中心,線分 Q。。Po を半径とする円と曲線ッー 2? の共有点が, ちょ
うど 2 個存在することを示せ。さらに, その 2 個の共有点のうち,
Po 以外の点を Ro とする。Ro の座標を求めよ。
(4) (3) で定めた Po, Ro に対して, 線分 PoRo と曲線= x? で囲まれ
た部分の面積を求めよ。
ーーター
以下余白
i
wm = On +4 (n = 1,2,3,-++) をみたすとする。また数列 (5),
{Tr} を Sn = Sax, Tr = う)(-1)7g。 とおく。n を用いて, そ
ょー1 j=l
nena, = | Z | $= となる。また, ヵ を用いて
Ton = である。
(2) &, ヶを整数とする。0SzSgSz。 POat+y+z2=9 をみた
す (2,y,2) の組は | エ | 通りである。柴玉 3B, AE 9 個が
あり, これらを円形につなげてブレスレットを作る方法は
通りである。ただし, 回転したり裏返ししたりして玉の並び方が同
じになる配置は 1 通りと考える。
(3) 空間内の直方体OADB-CEGF において, OA = 3, OB = 2, OC=2
LTS. WCE@1: 2 に内分する点をP, 辺 BF の中点を QE
する。 2 つのベクトル OB と OG との内積OP・0Gは| カヵ |
AOPQ の面積は | キ |] である。3点0, P, Qが定める平面<上
に点H があり, 直線 DH が平面 に垂直であるとする。このとき,
OH = sOP-7OQ をみたす実数s, #について, sの値はぁ=
である。 よって, 四面体OPQD の体積は | ケ | となる。 また, 直線
DH と面 CEGF を含む平面との共有点をJとおくと, 四面体 OPQJ
の体積は となる。
-
9一
— 43 一
CI) ay 平面において, 連立不等式
pyS6, 9S4。 WwtTy+2320, Te+2y+1320
の表す領域を | とする。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 領域を図示せよ。
(2) 点 (ay) が領域 を動くとき, 3z+ッがとる値の最大値および最
小値と、 そのときのz,?の値を求めよ。
(3) 点 (g,9) が領域 を動くとき,z2ー2z十りりがとる値の最大値およ
び最小値と, SOLED a, y の値を求めよ。
CID) 。を1とは異なる正の定数とし, 7 を実数とする。zy 平面におい
て, 曲線リー 2? LOMPE 2) における接線を LETS. Ke, 点(61)
を Q。 とおくとき, 次の問いに答えよ。
(1) 直線 , を表す方程式を求めよ。
(2) 線分PQ。 と直線 7, が垂直となるような1がちょうど2個存在すると
きのoの値を g。 LBS. ay を求めよ。またこのとき, 線分PQ。。 と
直線 , が垂直となる2つのは#の値 ね, te を求めよ。 ただし, れ < te
とする。
(3) (2) で定めた go, t, te に対して, (t1, tf) ¥ をPo とおく。GQ。。(co,1)
を中心,線分 Q。。Po を半径とする円と曲線ッー 2? の共有点が, ちょ
うど 2 個存在することを示せ。さらに, その 2 個の共有点のうち,
Po 以外の点を Ro とする。Ro の座標を求めよ。
(4) (3) で定めた Po, Ro に対して, 線分 PoRo と曲線= x? で囲まれ
た部分の面積を求めよ。
ーーター
以下余白
i
問2画像OCR
検出分野: 数列、指数・対数、確率・場合の数、方程式・不等式、データ・統計
(1) 1 辺の長きさが 8 である正方形 ABCD を底面とする四角雛 O-ABCD
についてO0A=ニOB=ニOOC=OD=6 だが成り立つとき, Past
O-ABCD の高さは CHS. 四角氏 O-ABCD に内接する
球の半径は である。
(2) 次の方程式を考える。
logs(2z二8) logs(-) = 1 + logo(-1 — 2)
この方程式に含まれるすべての対数の真数が正となるようなゃの範
eles であり, COABNONME « = である。
(3) 等差数列 {g。} は gg = 18 ayo = 48 を満たす。この数列 fg。} の
一般項を を用いて表すと an = =1.2.3...) であ
る。また, 等比数列 {5。} の一般項を =2" 17=1.2.3...) と
する。2 つの数列 {g。}, {bn} に共通に含まれる数を小さいほうから
順に並べてできる数列を {em} とする。このとき, 数列 {em} の第
2項はゥ= である。 数列 (om) の一般項を m を用いて表
すと em = (=1.2.8....) である。
(4) 自玉 4 個、赤玉 2 個が入っている袋がある。この袋から玉を1 個だ
け取り出して玉の色を調べてからもとに戻すという試行を考える。
この試行を 3 回続けて行うとき, 赤玉がちょうど 2 回出る確率は
であり, 白玉が2 回以上出る確率は である。こ
の試行を 4 回続けて行うとき, 4回目で3度目の赤玉あるいは3度
目の自玉が出る確率は である。
ー 5一
CI) を2以上の整数とする。 変量 x Dn 個の値 pi,yp,... 2p DO
なるデータがあり, その平均値を Z, DHE 02 CHT. i= 1,2,--- nO
とき, pi の平均値からの偏差 x, 一 を dj CRT. KK, F=1,2,--+,n
DEX, n 個の値 zi,gg,... tn からなるデータから 』 番目の数 z, だけ
をのぞいた ヵー1 個の値からなるデータの平均値、 分散をそれぞれ417, る
で表す。このとき, 次の問いに答えよ。
(QD 7=ニ12...・ NOLS, y En, @, dj を用いて表せ。
(2) ヵ個の値 ゆめ,... Yn からなるデータの平均値を ? ETS. CO
LR, 9リー? が成り立つことを示せ。
(3) n 個の値 久,9の9,邊 からなるデータの分散 を ヵヵ4 を用い
て表せ。
(4) 7ー 1.2,... n OLS, 4 En, 92, dp を用いて表せ。
(5) ヵ個の値 ,zp,... , 2。 からなるデータの平均値を z とする。この
vx, ター MO) 5 な成り立つことを示せ。
(n-1)?"*
CID) ぁを正の実数とする。 の 3 MBE f(x) = 03 +x? —p?a—p?
とおき, 座標平面上の曲線 = fc) を CO とする。ことのとき, 次の問い
に答えよ。
(1) 曲線 のと a 軸で囲まれる部分の面積を p を用いて表せ。
(2) f(a) の極小値 ぅ をp を用いて表せ。また, 方程式 7(*) = ぅ のすべ
ての解 a を ゎ を用いて表せ。
(3) -1 S z S 1 における f(e) の最小値を m(p) ETS. m(p) ER
めよ。
(4) pがヵ> 0 の範囲を動くとき, m(p) の最大値を求めよ。 また, m(p)
を最大にする p の値を求めよ。
ー46一
。
|
|
|
.
|
についてO0A=ニOB=ニOOC=OD=6 だが成り立つとき, Past
O-ABCD の高さは CHS. 四角氏 O-ABCD に内接する
球の半径は である。
(2) 次の方程式を考える。
logs(2z二8) logs(-) = 1 + logo(-1 — 2)
この方程式に含まれるすべての対数の真数が正となるようなゃの範
eles であり, COABNONME « = である。
(3) 等差数列 {g。} は gg = 18 ayo = 48 を満たす。この数列 fg。} の
一般項を を用いて表すと an = =1.2.3...) であ
る。また, 等比数列 {5。} の一般項を =2" 17=1.2.3...) と
する。2 つの数列 {g。}, {bn} に共通に含まれる数を小さいほうから
順に並べてできる数列を {em} とする。このとき, 数列 {em} の第
2項はゥ= である。 数列 (om) の一般項を m を用いて表
すと em = (=1.2.8....) である。
(4) 自玉 4 個、赤玉 2 個が入っている袋がある。この袋から玉を1 個だ
け取り出して玉の色を調べてからもとに戻すという試行を考える。
この試行を 3 回続けて行うとき, 赤玉がちょうど 2 回出る確率は
であり, 白玉が2 回以上出る確率は である。こ
の試行を 4 回続けて行うとき, 4回目で3度目の赤玉あるいは3度
目の自玉が出る確率は である。
ー 5一
CI) を2以上の整数とする。 変量 x Dn 個の値 pi,yp,... 2p DO
なるデータがあり, その平均値を Z, DHE 02 CHT. i= 1,2,--- nO
とき, pi の平均値からの偏差 x, 一 を dj CRT. KK, F=1,2,--+,n
DEX, n 個の値 zi,gg,... tn からなるデータから 』 番目の数 z, だけ
をのぞいた ヵー1 個の値からなるデータの平均値、 分散をそれぞれ417, る
で表す。このとき, 次の問いに答えよ。
(QD 7=ニ12...・ NOLS, y En, @, dj を用いて表せ。
(2) ヵ個の値 ゆめ,... Yn からなるデータの平均値を ? ETS. CO
LR, 9リー? が成り立つことを示せ。
(3) n 個の値 久,9の9,邊 からなるデータの分散 を ヵヵ4 を用い
て表せ。
(4) 7ー 1.2,... n OLS, 4 En, 92, dp を用いて表せ。
(5) ヵ個の値 ,zp,... , 2。 からなるデータの平均値を z とする。この
vx, ター MO) 5 な成り立つことを示せ。
(n-1)?"*
CID) ぁを正の実数とする。 の 3 MBE f(x) = 03 +x? —p?a—p?
とおき, 座標平面上の曲線 = fc) を CO とする。ことのとき, 次の問い
に答えよ。
(1) 曲線 のと a 軸で囲まれる部分の面積を p を用いて表せ。
(2) f(a) の極小値 ぅ をp を用いて表せ。また, 方程式 7(*) = ぅ のすべ
ての解 a を ゎ を用いて表せ。
(3) -1 S z S 1 における f(e) の最小値を m(p) ETS. m(p) ER
めよ。
(4) pがヵ> 0 の範囲を動くとき, m(p) の最大値を求めよ。 また, m(p)
を最大にする p の値を求めよ。
ー46一
。
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.
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問3画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、整数、微分・積分、方程式・不等式
問題 1 ]の解答は解答用紙(一)の[ 1 ]の欄に記入。
問題(T)の解管は解答用紙(一)の〔T〕の棚に記入。
問題[由]の解答は解答用紙(二)の[TL)の欄に記入。
間題[TVの解答は解答用紙(二)の〔W〕の欄に記入。
(5) 問題紙の本文は 2 ページである。
(6) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(7) 問題紙を切り離して使用してはならない。
(8) 試験開始後,問題紙に落丁損傷がないか確認すること。
(9) 試験終了後,問区紙は各自持ち帰ること。
。
|
C1) xo | |] に適する数または式を, 解管用紙の同じ記号のつい
た | | の中に記入せよ.
(1) 円周を4等分する点を時計回りにA, B,C, D とする. これら4点の
いずれかに位置する動点P に対して, 「赤玉 3 個, 白玉 2 個の合計 5
個の玉が入った袋から玉を1個取り出し,色を調べてからもとの袋に
玉を戻す. 玉の色が赤であれば動点P を時計回りの隣の点に移動さ
せ, 白であれば動点 P を反時計回りの隣の点に移動させる」という
試行を考える. ヵ を自然数とし, 最初に点A に位置する動点Pに対
してこの試行を ヵ 回続けて行ったあと, 動点P BAA, Cに位置す
る確率をそれぞれg。, cp とすると, gy =| ア | を自然数とし
て, ヵー 2の場合を考える. このとき, qpx cpk の値は| イ ],
のkr2 を gk で表すとoss = [7 Jay + 2. よって, ag, を
で表すと aye = Sut [しェ ]) emo, lim exe = Lt].
(2) 複素数平面上で, 点 2 を Meet’ UCT だけ回転した点を
ce とする. の実部は| カ |], 虚部は[| キ | である. 次に,
0 でない複素数>が, 方程式 |ヶー2| = |>ーol| を満たしながら変化
するとき, wot で表される点 が描く図形は。2 つの点 テグ
を結ぶ線分の垂直二等分線から原点を除いたものになる. ここで,
どの実部は[| ク |,虚部は CHS. また, レーt|* の
最小値は| ユ |]である.
CI) 4を正の実数とする. 座標平面上に, 4点O(0.0), A(a, 0), B(a, 9),
C(0, 9) を頂点とする四角形 OABC と曲線 A ty =e を考える. 四角形
OABC の面積を (4) とする. 四角形 OABC の周およびその内部からな
る図形のうち, 不等式 y S er の表す領域に含まれる部分の面積を 9()
とする. 関数 f(a) = SD(a) -S(a) とする. 次の問いに答えよ. ただし,
自然対数の底e について, e < 3 であることを証明なしに用いてよい.
(1) 点Bが曲線刀上にあるときの。の値を e。 とする. co と f(ao) の値
をそれぞれ求めよ.
(2) (1) の zo に対し, 区間 0 < < ay における f(a) の符号を調べよ.
(3) f(a) = 0 となる oの値を求めよ.
ーュー
CID] ヵを自然数とする. 自然数をに対して関数 fe(e) を
7な(@) = * sin(kx) + cos(ey)
nm
CED, r= [ | (| dz とおく。 次の問いに答えよ。
o
(1) 三角関数の合成を用いると, (z) = Op sin(ka %) と表される.
このとき, Ch と tan 。 Ek, の式で表せ. ただし, Ok > 0 とする.
(2) を, ヵの式で表せ. ただし, CEFR, g(x) を連続関数で 2 を周
2 2
HL SME TSE, ex [ alerojde= f g(a) dex
o 0
が成り立つことを証明なしに用いてよい.
(3) 関数 A(x) = v1 +a? +log (a+ V1+22 ) の導関数 /(ヶ) につ
WT, が(z) =aV1 +a? となる定数の値を求めよ.
か
14 M68 im + ur ERD.
(IV) 。を正の定数 を実数とする. MO SMA T SHEMALE,
3 点 A(2, 0, 0), B(0, 2,0), D(もも g) を考える. 次の問いに答えよ.
(1) AABD と AOAD OE ENN SG, 9。 とする. $1, の をo。 t
を用いて表せ.
。 ge a? —Ie+1
(2) c を正の定数として, s の方程式 Bre = Poses を
解け
(3) 等式 V6+ 4V2 = mt V2 を満たす整数 を求めよここで, 2
つの整数p, g が等式 p+gV2 = 0 を満たせば, p=q=0 である
ことを証明なしで用いてよい.
(4) =128す とする. #が実数全体を動くとき, 四面体OABD の表面
積の最小値とそのときの# の値を求めよ。
以下余白
|
問題(T)の解管は解答用紙(一)の〔T〕の棚に記入。
問題[由]の解答は解答用紙(二)の[TL)の欄に記入。
間題[TVの解答は解答用紙(二)の〔W〕の欄に記入。
(5) 問題紙の本文は 2 ページである。
(6) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(7) 問題紙を切り離して使用してはならない。
(8) 試験開始後,問題紙に落丁損傷がないか確認すること。
(9) 試験終了後,問区紙は各自持ち帰ること。
。
|
C1) xo | |] に適する数または式を, 解管用紙の同じ記号のつい
た | | の中に記入せよ.
(1) 円周を4等分する点を時計回りにA, B,C, D とする. これら4点の
いずれかに位置する動点P に対して, 「赤玉 3 個, 白玉 2 個の合計 5
個の玉が入った袋から玉を1個取り出し,色を調べてからもとの袋に
玉を戻す. 玉の色が赤であれば動点P を時計回りの隣の点に移動さ
せ, 白であれば動点 P を反時計回りの隣の点に移動させる」という
試行を考える. ヵ を自然数とし, 最初に点A に位置する動点Pに対
してこの試行を ヵ 回続けて行ったあと, 動点P BAA, Cに位置す
る確率をそれぞれg。, cp とすると, gy =| ア | を自然数とし
て, ヵー 2の場合を考える. このとき, qpx cpk の値は| イ ],
のkr2 を gk で表すとoss = [7 Jay + 2. よって, ag, を
で表すと aye = Sut [しェ ]) emo, lim exe = Lt].
(2) 複素数平面上で, 点 2 を Meet’ UCT だけ回転した点を
ce とする. の実部は| カ |], 虚部は[| キ | である. 次に,
0 でない複素数>が, 方程式 |ヶー2| = |>ーol| を満たしながら変化
するとき, wot で表される点 が描く図形は。2 つの点 テグ
を結ぶ線分の垂直二等分線から原点を除いたものになる. ここで,
どの実部は[| ク |,虚部は CHS. また, レーt|* の
最小値は| ユ |]である.
CI) 4を正の実数とする. 座標平面上に, 4点O(0.0), A(a, 0), B(a, 9),
C(0, 9) を頂点とする四角形 OABC と曲線 A ty =e を考える. 四角形
OABC の面積を (4) とする. 四角形 OABC の周およびその内部からな
る図形のうち, 不等式 y S er の表す領域に含まれる部分の面積を 9()
とする. 関数 f(a) = SD(a) -S(a) とする. 次の問いに答えよ. ただし,
自然対数の底e について, e < 3 であることを証明なしに用いてよい.
(1) 点Bが曲線刀上にあるときの。の値を e。 とする. co と f(ao) の値
をそれぞれ求めよ.
(2) (1) の zo に対し, 区間 0 < < ay における f(a) の符号を調べよ.
(3) f(a) = 0 となる oの値を求めよ.
ーュー
CID] ヵを自然数とする. 自然数をに対して関数 fe(e) を
7な(@) = * sin(kx) + cos(ey)
nm
CED, r= [ | (| dz とおく。 次の問いに答えよ。
o
(1) 三角関数の合成を用いると, (z) = Op sin(ka %) と表される.
このとき, Ch と tan 。 Ek, の式で表せ. ただし, Ok > 0 とする.
(2) を, ヵの式で表せ. ただし, CEFR, g(x) を連続関数で 2 を周
2 2
HL SME TSE, ex [ alerojde= f g(a) dex
o 0
が成り立つことを証明なしに用いてよい.
(3) 関数 A(x) = v1 +a? +log (a+ V1+22 ) の導関数 /(ヶ) につ
WT, が(z) =aV1 +a? となる定数の値を求めよ.
か
14 M68 im + ur ERD.
(IV) 。を正の定数 を実数とする. MO SMA T SHEMALE,
3 点 A(2, 0, 0), B(0, 2,0), D(もも g) を考える. 次の問いに答えよ.
(1) AABD と AOAD OE ENN SG, 9。 とする. $1, の をo。 t
を用いて表せ.
。 ge a? —Ie+1
(2) c を正の定数として, s の方程式 Bre = Poses を
解け
(3) 等式 V6+ 4V2 = mt V2 を満たす整数 を求めよここで, 2
つの整数p, g が等式 p+gV2 = 0 を満たせば, p=q=0 である
ことを証明なしで用いてよい.
(4) =128す とする. #が実数全体を動くとき, 四面体OABD の表面
積の最小値とそのときの# の値を求めよ。
以下余白
|
問4画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、空間図形、微分・積分、関数・グラフ、整数
(1) 空間内のへこみのない多面体について, 辺の数をe,面の数を, 頂
点の数をりとすると,e,記ての1次式 は, 多面体の種類
によらず一定の値 2 をとる。これをオイラーの多面体定理とよぶ。
1 辺の長さが1 である正四面体の体積は である。またこの
正四面体に内接する球の体積は である。
(2) xy平面上の曲線び: りー 2z9 do? を考える。 たを実数とする。 A
TP(も2一4の) における曲線ひの接線4の方程式はりー であ
Bo この接線が点 Q(2,k) を通るとき, んを1で表すとぁニ
である。したがって, 点 Q(2,6) を通り,曲線びに接する直線が 2 本
以上引けるようなんの値の範囲は である。
(3) すべての実数 > に対して sin (Ba + T) = sin (3z) をみたす正の定数
77のうち, 最小のものは である。 0 <g<テで定義きれた
pay = S42) _ sin (Be) _ sin(20) aes cose とし
“cosasing sing sina: ° -
てゅを1の 2 次式で表すとりニ となる。 これを用いると,
y の最小値は であり, 最小値を与えるヵの値を zo とおく
と, sinay = である。
ws
[ IT ] 4を0<ヵ<2, > 0 をみたす実数とする。xy 平面上にお
WT, 3点 0(0.0), A(2,0), P(p,q) で作られる AOAP の外接円の中心
つまり外心をC とし, AOAP の垂心をH とする。さらに, ACEAE
のヶり座標をそれぞれ c, ヵ とする。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 点Cの座標の値を求めよ。またcの値をヵ。 g を用いて表せ。
(2) 点還の座標をヵ。 ? を用いて表せ。
(3) cキ 0 とする。 yz 軸に関して点Hと対称な点をK とおき, 点Kの9
mabe ke. TEE oitias, 9の値によらず一定となること
を示し, その値を求めよ。
(4) 3点0, A, K を通る円の中心の座標を ゎ, 7 を用いて表せ。
(IL) ヵを2以上の自然数とする。 平面上において, 円周上に相据なる
個の点Pi。 Po, Pa。...,P。 をとり。すべての2?点問を結び が(mー1)
本の線分を作る。ただし, 円周を除いた円の内部で, どの3 本以上の線分
も 1 点で交わることはないとする。これら snr 1) 本の線分が, 円の内
部を ay 個の部分に分けるとする。例えばャニー 2 のときは, Pi, Po を結
んだ線分によって, 円の内部が 2 つの部分に分割されるので, ag = 2で
ある。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) ag と a4 の値を求めよ。
(2) 4 点Pi, Po, Ps, P4 に新たな点 Ps を加えることによりいくつの部
分が増えるかを考えることで, os — ay の値を求めよ。
(3) みそ 4のとき, any — ay En を用いて表せ。
(4) ゎ = 2 のとき,qg。 をを用いて表せ。
—4§ =
以下余白
|
|
q
L
点の数をりとすると,e,記ての1次式 は, 多面体の種類
によらず一定の値 2 をとる。これをオイラーの多面体定理とよぶ。
1 辺の長さが1 である正四面体の体積は である。またこの
正四面体に内接する球の体積は である。
(2) xy平面上の曲線び: りー 2z9 do? を考える。 たを実数とする。 A
TP(も2一4の) における曲線ひの接線4の方程式はりー であ
Bo この接線が点 Q(2,k) を通るとき, んを1で表すとぁニ
である。したがって, 点 Q(2,6) を通り,曲線びに接する直線が 2 本
以上引けるようなんの値の範囲は である。
(3) すべての実数 > に対して sin (Ba + T) = sin (3z) をみたす正の定数
77のうち, 最小のものは である。 0 <g<テで定義きれた
pay = S42) _ sin (Be) _ sin(20) aes cose とし
“cosasing sing sina: ° -
てゅを1の 2 次式で表すとりニ となる。 これを用いると,
y の最小値は であり, 最小値を与えるヵの値を zo とおく
と, sinay = である。
ws
[ IT ] 4を0<ヵ<2, > 0 をみたす実数とする。xy 平面上にお
WT, 3点 0(0.0), A(2,0), P(p,q) で作られる AOAP の外接円の中心
つまり外心をC とし, AOAP の垂心をH とする。さらに, ACEAE
のヶり座標をそれぞれ c, ヵ とする。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 点Cの座標の値を求めよ。またcの値をヵ。 g を用いて表せ。
(2) 点還の座標をヵ。 ? を用いて表せ。
(3) cキ 0 とする。 yz 軸に関して点Hと対称な点をK とおき, 点Kの9
mabe ke. TEE oitias, 9の値によらず一定となること
を示し, その値を求めよ。
(4) 3点0, A, K を通る円の中心の座標を ゎ, 7 を用いて表せ。
(IL) ヵを2以上の自然数とする。 平面上において, 円周上に相据なる
個の点Pi。 Po, Pa。...,P。 をとり。すべての2?点問を結び が(mー1)
本の線分を作る。ただし, 円周を除いた円の内部で, どの3 本以上の線分
も 1 点で交わることはないとする。これら snr 1) 本の線分が, 円の内
部を ay 個の部分に分けるとする。例えばャニー 2 のときは, Pi, Po を結
んだ線分によって, 円の内部が 2 つの部分に分割されるので, ag = 2で
ある。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) ag と a4 の値を求めよ。
(2) 4 点Pi, Po, Ps, P4 に新たな点 Ps を加えることによりいくつの部
分が増えるかを考えることで, os — ay の値を求めよ。
(3) みそ 4のとき, any — ay En を用いて表せ。
(4) ゎ = 2 のとき,qg。 をを用いて表せ。
—4§ =
以下余白
|
|
q
L
問5画像OCR
検出分野: 確率・場合の数、ベクトル、図形・三角関数、整数、関数・グラフ
(1) xo [| ] に適する数または式を, 解答用紙の同じ記号の付い
た [| ] の中に記入せよょ。
(1) 9を実数とする。 ヶの2次関数 /(ヶ) = -22?+ (p+q)a+ (2p—34)
について, Jim SOPH SC) = 27 が成り立つとき, をゎぁを
用いて表すと9 = CHS. SSK f(-1) =0 も成り立つ
とき, p, 7の値はそれぞれ, ヵ=| イ | ?=| ウ | となる。
(2) 大中小の 3つのさいころを同時に投げるとき, 出る目がすべて異な
り, かつ, 大, 中, 小のさいころの順に出る目が小さくなり, かつ
3 つの目の合計が 10 以下となる確率は | エ |] である。
(3) g > 0 とする。zy 平面において, 円Ci :z2二7ー1ニ0の中心を
O1, FL Cy: 2? — dar + y? +30? 0の中心を 0> とする。 ACL
と円 Cy が異なる 2OOMBAP, QESOLIK a OMOWME
[しオ ] である。ただし, P の座標は正とする。このとき, 2K
P, Q を通る直線の式は である。4 つの線分 OrP。 PO
02Q, Qo, cmn econ: ME となるような ADI,
最大の値は= である。
(4) 平面上の へOAB において, OA = 1 とする。辺OAを2:3に内分
する点を M, 辺OB を1 : 2に内分する点を N とし, 線分ANと線
分 BM の交点をP とする。ベペクトル OP を OK と OB を用いて表す
と, OP = である。また, へABP の外接円の中心をE と
し, 直線0A と直線OBがへABP の外接円に接しているとする。こ
のとき, OF と OK の内積の値はCE・OA = | ヶ ] であり,OA
と OB の内積の値はOA・OH = | コ | である。
門
CIL] ヵを-3 <ヵ< 3をみたす実数とする。z 平面において, 0(0,0),
A(-3,0), B(3,3) とする。z 座標がゥゅである点P は, 直線 AB 上にある。
また, 点A を通り直線OB に平行な直線と, 直線OP の共有点を Q とお
く。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) RQ の座標をゎを用いて表せ。
(2) 線分 AQ の長さをヵを用いて表せ。
(3) AAPQ と AOBP の面積をそれぞれ8, 5。 とおく。3」 と So の比
S(p) = 2 をヵを用いて表せ。
t
(4) ptb-3 <ヵ<3をみたしながら動くとする。(3) で定めた 5(ヵ) に
ついて, SX 、/5(ヵ) = kp をみたすヵの個数は実数である定数なの
値によってどのように変わるか調べよ。
CID) を4以上の自然数とする。合計 2x 本のくじがある。そのうち,
「あたり」の本数が6であり, 「はずれ」の本数が 2ゎー 6 CHS. ID In
本のくじを無作為に赤箱と自箱にそれぞれヵ本ずつ入れる。 た= 2 または
た=3 とし, 2つの箱のうち少なくとも一方に「あたり」がちょうどょた本
入っている確率を Plk,n) とする。 LOLS, 次の問いに答えよ。
(1) た = 3, n=6 OU FORM P(3,6) の値を求めよ。また, k 2,
ヵー6 のときの確率 P(2,6) の値を求めよ。
(2) ょ= 2 のときの確率 P(2.x) をヵ を用いて表せ。
(3) なー 2 とする。 nが4以上の自然数として変化するとき。 en
と 1 との大小関係に注目することによって, P(2,n) が最大となる
ようなヵの値をすべて求めよ。
ー gz一
門
た [| ] の中に記入せよょ。
(1) 9を実数とする。 ヶの2次関数 /(ヶ) = -22?+ (p+q)a+ (2p—34)
について, Jim SOPH SC) = 27 が成り立つとき, をゎぁを
用いて表すと9 = CHS. SSK f(-1) =0 も成り立つ
とき, p, 7の値はそれぞれ, ヵ=| イ | ?=| ウ | となる。
(2) 大中小の 3つのさいころを同時に投げるとき, 出る目がすべて異な
り, かつ, 大, 中, 小のさいころの順に出る目が小さくなり, かつ
3 つの目の合計が 10 以下となる確率は | エ |] である。
(3) g > 0 とする。zy 平面において, 円Ci :z2二7ー1ニ0の中心を
O1, FL Cy: 2? — dar + y? +30? 0の中心を 0> とする。 ACL
と円 Cy が異なる 2OOMBAP, QESOLIK a OMOWME
[しオ ] である。ただし, P の座標は正とする。このとき, 2K
P, Q を通る直線の式は である。4 つの線分 OrP。 PO
02Q, Qo, cmn econ: ME となるような ADI,
最大の値は= である。
(4) 平面上の へOAB において, OA = 1 とする。辺OAを2:3に内分
する点を M, 辺OB を1 : 2に内分する点を N とし, 線分ANと線
分 BM の交点をP とする。ベペクトル OP を OK と OB を用いて表す
と, OP = である。また, へABP の外接円の中心をE と
し, 直線0A と直線OBがへABP の外接円に接しているとする。こ
のとき, OF と OK の内積の値はCE・OA = | ヶ ] であり,OA
と OB の内積の値はOA・OH = | コ | である。
門
CIL] ヵを-3 <ヵ< 3をみたす実数とする。z 平面において, 0(0,0),
A(-3,0), B(3,3) とする。z 座標がゥゅである点P は, 直線 AB 上にある。
また, 点A を通り直線OB に平行な直線と, 直線OP の共有点を Q とお
く。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) RQ の座標をゎを用いて表せ。
(2) 線分 AQ の長さをヵを用いて表せ。
(3) AAPQ と AOBP の面積をそれぞれ8, 5。 とおく。3」 と So の比
S(p) = 2 をヵを用いて表せ。
t
(4) ptb-3 <ヵ<3をみたしながら動くとする。(3) で定めた 5(ヵ) に
ついて, SX 、/5(ヵ) = kp をみたすヵの個数は実数である定数なの
値によってどのように変わるか調べよ。
CID) を4以上の自然数とする。合計 2x 本のくじがある。そのうち,
「あたり」の本数が6であり, 「はずれ」の本数が 2ゎー 6 CHS. ID In
本のくじを無作為に赤箱と自箱にそれぞれヵ本ずつ入れる。 た= 2 または
た=3 とし, 2つの箱のうち少なくとも一方に「あたり」がちょうどょた本
入っている確率を Plk,n) とする。 LOLS, 次の問いに答えよ。
(1) た = 3, n=6 OU FORM P(3,6) の値を求めよ。また, k 2,
ヵー6 のときの確率 P(2,6) の値を求めよ。
(2) ょ= 2 のときの確率 P(2.x) をヵ を用いて表せ。
(3) なー 2 とする。 nが4以上の自然数として変化するとき。 en
と 1 との大小関係に注目することによって, P(2,n) が最大となる
ようなヵの値をすべて求めよ。
ー gz一
門
問6画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、空間図形、数列、微分・積分
(1) 日本史、世界史、政治・経済、数学から 1 科目を選択し解答する
(2) 解答用紙は各科目別になっている。
I 選択しない科目の解答用紙は、試験開始30分後に回収する。
なお、回収後は科目の変更はできない。
| (3) 解答用紙には受験番号の記入欄がそれぞれ次のようにある。
日本史...ー...... 3 か所
世界呈............ 3 か所
政治・経済......3か所
数 学............表面に 2 か所、裏面に 1 か所、計3か所
各人箇所とも正確、明懇に記入すること。
(4) 解答用紙には氏名の記入欄が 1 か所ある。 正確、明瞭に記入する
ico
(5) 解答はすべて解答用紙の所定欄に記入すること。
(6) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(7) 問題紙を解体して使用してはならない。
(8) 試験開始後、問題紙に落丁・ 損傷がないか確認すること。
(9) 試験終了後、問題紙は各自持ち帰ること。
数 学
C1) 次の | |] に適する数または式を、 解答用紙の同じ記号の付い
た [| | の中に記入せよ。
(1) 1を因数にもつ整式 (x) をェー1 で割ると5余るとき, PLD
値は であり, P(-1) の値は CHE. KK, P(e)
をz? -1 で割った余りは | ウ | である。
(2) f(x) は 3 次の整式で表された関数で, 次の等式
Be! + 2の — 20? 4 of le) = [ 7の0
A
を満たす。このとき, /(1) の値は | エ | である。また, fw) =
(3) BARE y = cos(2r+ 27) cos(20 - | (ses にっいて,
ッー 0 を満たす の値は CHD, 9が最小値をとるときの
x otis | キ | である。
(4) 変量 の 個の値 zo ...・ 、z。 からなるデータがある。 m2,
> 0 として。 4=1,2,---,m-1 DER ao =a TH), i=m
のとき zog二9である。このデータの平均値 lem, a, 9を
用いて表すと= CHD, TW? は m, d を用いて表
Tera である。 また, 1=1,2,--,m OLR, LO
FROMM 9 。 を用いて a; の標準得点 。 をュー コー" によ
り定める。このとき, z。-ュと の積の値は z。 iz
である。
ー 9一
CID) cyz 空間の4点 0(0.0.0), A(3,0,0), B(O,4,0), C(0,4,3) を頂
点とする四面体 OABC を考える。AABC, AOBC, AOCA, AOAB の
重心をそれぞれP,Q, R。S とおく。四面体OABC, 四面体 PQRS に内
接する球の中心をそれぞれTI, J とおく。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 四面体 0ABC の体積を求めよ。
(2) IPQ|, IPRI, PQ・PR の値をそれぞれ求めよ。また, 四面体PQRS
の体積を求めよ。
(3) Of を OA, OB, OC を用いて表せ。
(4) 線分IJ の長さを求めよ。
[ ] 座標平面上の, ヵ軸に接する円 Co、i,の...・ を (i) 24 (iil) の
ように定める。
(i) 円のは, 22+ (y—-1)? =1 とする。
(ii) 円 は, ヶ軸に接し, 中心Piの座標が正であり, Co と外接する。
(iii) n= 2,3,4,--- のとき, 円C。は, 2つの円Co, の両方と外接
し, PO, z 軸および Co, Cra に囲まれた領域に含まれる。
n=1,2,3,..- のとき, AC, ODP, Or BR a, LTS, COLE,
次の問いに答えよ。
(1) > 0とする。点 P(Y,Y) を中心とする円 は, © 軸に接し, Co
と外接する。とのとき, VEX を用いて表せ。
(2) ay の値を求めよ。
(3) ヵニ1.2.3....・のとき。 ang Ean を用いて表せ。
(A) な=1.2.3,...・のとき, an の逆数を ぁ。 とする。ムrr を を用いて
表せ。
(5) 数列 {a,} の一般項を求めよ。
vor
(2) 解答用紙は各科目別になっている。
I 選択しない科目の解答用紙は、試験開始30分後に回収する。
なお、回収後は科目の変更はできない。
| (3) 解答用紙には受験番号の記入欄がそれぞれ次のようにある。
日本史...ー...... 3 か所
世界呈............ 3 か所
政治・経済......3か所
数 学............表面に 2 か所、裏面に 1 か所、計3か所
各人箇所とも正確、明懇に記入すること。
(4) 解答用紙には氏名の記入欄が 1 か所ある。 正確、明瞭に記入する
ico
(5) 解答はすべて解答用紙の所定欄に記入すること。
(6) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(7) 問題紙を解体して使用してはならない。
(8) 試験開始後、問題紙に落丁・ 損傷がないか確認すること。
(9) 試験終了後、問題紙は各自持ち帰ること。
数 学
C1) 次の | |] に適する数または式を、 解答用紙の同じ記号の付い
た [| | の中に記入せよ。
(1) 1を因数にもつ整式 (x) をェー1 で割ると5余るとき, PLD
値は であり, P(-1) の値は CHE. KK, P(e)
をz? -1 で割った余りは | ウ | である。
(2) f(x) は 3 次の整式で表された関数で, 次の等式
Be! + 2の — 20? 4 of le) = [ 7の0
A
を満たす。このとき, /(1) の値は | エ | である。また, fw) =
(3) BARE y = cos(2r+ 27) cos(20 - | (ses にっいて,
ッー 0 を満たす の値は CHD, 9が最小値をとるときの
x otis | キ | である。
(4) 変量 の 個の値 zo ...・ 、z。 からなるデータがある。 m2,
> 0 として。 4=1,2,---,m-1 DER ao =a TH), i=m
のとき zog二9である。このデータの平均値 lem, a, 9を
用いて表すと= CHD, TW? は m, d を用いて表
Tera である。 また, 1=1,2,--,m OLR, LO
FROMM 9 。 を用いて a; の標準得点 。 をュー コー" によ
り定める。このとき, z。-ュと の積の値は z。 iz
である。
ー 9一
CID) cyz 空間の4点 0(0.0.0), A(3,0,0), B(O,4,0), C(0,4,3) を頂
点とする四面体 OABC を考える。AABC, AOBC, AOCA, AOAB の
重心をそれぞれP,Q, R。S とおく。四面体OABC, 四面体 PQRS に内
接する球の中心をそれぞれTI, J とおく。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 四面体 0ABC の体積を求めよ。
(2) IPQ|, IPRI, PQ・PR の値をそれぞれ求めよ。また, 四面体PQRS
の体積を求めよ。
(3) Of を OA, OB, OC を用いて表せ。
(4) 線分IJ の長さを求めよ。
[ ] 座標平面上の, ヵ軸に接する円 Co、i,の...・ を (i) 24 (iil) の
ように定める。
(i) 円のは, 22+ (y—-1)? =1 とする。
(ii) 円 は, ヶ軸に接し, 中心Piの座標が正であり, Co と外接する。
(iii) n= 2,3,4,--- のとき, 円C。は, 2つの円Co, の両方と外接
し, PO, z 軸および Co, Cra に囲まれた領域に含まれる。
n=1,2,3,..- のとき, AC, ODP, Or BR a, LTS, COLE,
次の問いに答えよ。
(1) > 0とする。点 P(Y,Y) を中心とする円 は, © 軸に接し, Co
と外接する。とのとき, VEX を用いて表せ。
(2) ay の値を求めよ。
(3) ヵニ1.2.3....・のとき。 ang Ean を用いて表せ。
(A) な=1.2.3,...・のとき, an の逆数を ぁ。 とする。ムrr を を用いて
表せ。
(5) 数列 {a,} の一般項を求めよ。
vor
問7画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、整数、微分・積分、空間図形、確率・場合の数
(1) じゃんけんにおいて, 出た手が 2 種類の場合は勝者が決まり, そう
でない場合はあいことする. じゃんけんをする人はグー, Far,
バーをそれぞれ= の確率で出すものとする. を3以上の自然数と
TS. 人で1回目のじゃんけんをし, 勝者が 1 人のときは2回目
のじゃんけんをせず, 勝者が 2 人以上のときは勝者のみで 2 回目の
じゃんけんをする. 1 回目のじゃんけんがあいこの場合は, ヵ人全
員で 2 回目のじゃんけんをする. 1回目のじゃんけんの勝者が 1 人
である確率を og。 とし, 1 回目があいこである確率を あ。 とする. ま
た, 2回目のじゃんけんが行われ, かつ, その勝者が 1 人である確
率を c。 とする. このとき, gs=| ア | ga=[| イ |である.
となり, cs =| オ | となる.
(2) 7 を実数とし, 2D 2RABK 2? + (At + 6)z + 5t? + 12¢ 4+ 32=0
の解を虚部の大きい順に a, BUTS. 複素数平面上の 3 点 A(o),
B(S), C(t) が同一直線上にあるとき, t= (aA |である. 3点
A, B, C が三角形をなすとき, その重心を表す複素数を ゅ とす
る. このとき, w, lo一wlP を#の式で表すと,w=[キ
le-wP = となり, AABC の重心と外心が一致する7の
値は大きい順に[ ヶケ | CHS.
CI) 8a, 8はe>』> 0を満たすとする. BBM {an}, {on} を
a= 0, = B, ang = AE, boar = Varia (m= 152,85)
で定める. 次の問いに答えよ. ただし, 必要ならば, Jim ーー =1が成
り立つことを証明なしに用いてよい.
(1) 実数wは0 <w<てを満たすとする. a =tan(2u), 8 = sin(2u) の
es, 2, 2 wenendhs, Bens. 4, 万を求めよ.
(2) 実数 *はそれぞれp > 0, 0 <ヶ< 3 を満たすとする. a = ptanz,
9 = psinyのとき, 自然数ヵに対して。 —M , を
ian (g2x)’ sin (Gr)
それぞれヵ, n を用いて表せ.
(3) = 2, 9 1のとき, 極限値 im an, lim by をそれぞれ求めよ.
ーェュー
or
(IL) 。を定数として, cy 平面上で次の 2 つの曲線C, Dia を考える.
ae 2
oe y= Be, Dy? ae +@ーの* ニュ
次の問いに答えよ.
(1) HH Dy LOR (1- VE, a - 3) における曲線 D, の接線の傾
きを求めよ.
(2) s > 1 とする. 2 つの曲線, 。 が共有点P(s, ) をもち, この共有
点 P において共通の接線をもつ. このとき, a, s, 4の値を求めよ.
(3) (2) で求めた。 の値をなとして, 曲線 。のヵミたの部分を曲線 E,
ESS. 2 つの曲線 の と Ey CHENAMAS, 直線 =k OF
に1 回転させてできる立体の体積をし とする. の値を求めよ.
(IV) 。を正の実数とする. fla) = FE ews, また, ay Koh,
(b= 1,2,3,---) のとき, a(x) = tana + 2 とおく. pを正の実数とし,
点 (の, f(p)) における曲線 = f(x) の接線を とする. 次の問いに答え
よ. REL, 必要ならば, ォ> 3であるととを証明なしに用いてよい.
(1) F(x), 9(<) の導関数(<), g(x) をそれぞれ求めよ。
(2) 6 が原点 (0, 0) を通るとき, g(p) の値を求めよ.
(3) 自然数ヵに対して, 次の2つの条件 G11), (Gi) を同時に満たす実数ヵ。
がただ一つあることを示せ.
(i) [Pn — rn] < 5 (i) fp, が原点 (0, 0) を通る
(4) 自然数ゎに対して, (3) D pa はxn一 = <n <n を満たすこと
を示せ. REL, BERS, 0ミァ<くう のときtanzミッが成り
立つことを証明なしに用いてよい.
(5) 自然数如に対して, 直線な。 DME % om とおく. 極限値 im m2 am
を求めよ.
ーー
以下余自
でない場合はあいことする. じゃんけんをする人はグー, Far,
バーをそれぞれ= の確率で出すものとする. を3以上の自然数と
TS. 人で1回目のじゃんけんをし, 勝者が 1 人のときは2回目
のじゃんけんをせず, 勝者が 2 人以上のときは勝者のみで 2 回目の
じゃんけんをする. 1 回目のじゃんけんがあいこの場合は, ヵ人全
員で 2 回目のじゃんけんをする. 1回目のじゃんけんの勝者が 1 人
である確率を og。 とし, 1 回目があいこである確率を あ。 とする. ま
た, 2回目のじゃんけんが行われ, かつ, その勝者が 1 人である確
率を c。 とする. このとき, gs=| ア | ga=[| イ |である.
となり, cs =| オ | となる.
(2) 7 を実数とし, 2D 2RABK 2? + (At + 6)z + 5t? + 12¢ 4+ 32=0
の解を虚部の大きい順に a, BUTS. 複素数平面上の 3 点 A(o),
B(S), C(t) が同一直線上にあるとき, t= (aA |である. 3点
A, B, C が三角形をなすとき, その重心を表す複素数を ゅ とす
る. このとき, w, lo一wlP を#の式で表すと,w=[キ
le-wP = となり, AABC の重心と外心が一致する7の
値は大きい順に[ ヶケ | CHS.
CI) 8a, 8はe>』> 0を満たすとする. BBM {an}, {on} を
a= 0, = B, ang = AE, boar = Varia (m= 152,85)
で定める. 次の問いに答えよ. ただし, 必要ならば, Jim ーー =1が成
り立つことを証明なしに用いてよい.
(1) 実数wは0 <w<てを満たすとする. a =tan(2u), 8 = sin(2u) の
es, 2, 2 wenendhs, Bens. 4, 万を求めよ.
(2) 実数 *はそれぞれp > 0, 0 <ヶ< 3 を満たすとする. a = ptanz,
9 = psinyのとき, 自然数ヵに対して。 —M , を
ian (g2x)’ sin (Gr)
それぞれヵ, n を用いて表せ.
(3) = 2, 9 1のとき, 極限値 im an, lim by をそれぞれ求めよ.
ーェュー
or
(IL) 。を定数として, cy 平面上で次の 2 つの曲線C, Dia を考える.
ae 2
oe y= Be, Dy? ae +@ーの* ニュ
次の問いに答えよ.
(1) HH Dy LOR (1- VE, a - 3) における曲線 D, の接線の傾
きを求めよ.
(2) s > 1 とする. 2 つの曲線, 。 が共有点P(s, ) をもち, この共有
点 P において共通の接線をもつ. このとき, a, s, 4の値を求めよ.
(3) (2) で求めた。 の値をなとして, 曲線 。のヵミたの部分を曲線 E,
ESS. 2 つの曲線 の と Ey CHENAMAS, 直線 =k OF
に1 回転させてできる立体の体積をし とする. の値を求めよ.
(IV) 。を正の実数とする. fla) = FE ews, また, ay Koh,
(b= 1,2,3,---) のとき, a(x) = tana + 2 とおく. pを正の実数とし,
点 (の, f(p)) における曲線 = f(x) の接線を とする. 次の問いに答え
よ. REL, 必要ならば, ォ> 3であるととを証明なしに用いてよい.
(1) F(x), 9(<) の導関数(<), g(x) をそれぞれ求めよ。
(2) 6 が原点 (0, 0) を通るとき, g(p) の値を求めよ.
(3) 自然数ヵに対して, 次の2つの条件 G11), (Gi) を同時に満たす実数ヵ。
がただ一つあることを示せ.
(i) [Pn — rn] < 5 (i) fp, が原点 (0, 0) を通る
(4) 自然数ゎに対して, (3) D pa はxn一 = <n <n を満たすこと
を示せ. REL, BERS, 0ミァ<くう のときtanzミッが成り
立つことを証明なしに用いてよい.
(5) 自然数如に対して, 直線な。 DME % om とおく. 極限値 im m2 am
を求めよ.
ーー
以下余自
問8画像OCR
検出分野: 整数、図形・三角関数、微分・積分、複素数、空間図形
(1) 解答用紙は(一)と(二)のそれぞれ 1 枚ずつである。
(2) 受験番号の記入欄は, 解答用紙(一), (二)のそれぞれ
表面に 2 か所, 裏面に 1 か所ある。 合計6 か所とも
正確・明瞭に記入すること。
(3) 氏名の記入棚は, 解答用紙(一), (二)の表面にそれぞれ
1 か所ある。 合計2 か所とも正稚・明瞭に記入すること。
(4) 解答はすべて解答用紙の所定の箇所に記入すること。
問題[ 1 ]の解答は解答用紙(一)の〔 1 ]の欄に記入。
問題[TL〕の解答は解答用紙(一)の〔T]の欄に記入。
問題[ル〕の解答は解答用紙(二)の〔芽]の欄に記入。
問題LW]の解答は解答用紙(二)の〔V]の欄に記入。
(5) 問題紙の本文は 2ページである。
(6) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(7) FRE REL CHL TR SEV
(8) 試験開始後, 問題紙に落丁・損傷がないか確認すること。
(9) 試験終了後, 問題紙は各自持ち帰ること。
|
。
(I) 次の [| | に適する数または式を, 解答用紙の同じ記号のつい
た| |] の中に記入せよょ.
(1) を2以上の自然数とする. ヵ個のさいころを同時に投げるとき, 出
る目すべての積を 4 で割ったときの余りが0, 1, 2, 3である確率を
EMM an, 6 Cay dn とする. このとき, 5ああ=ェ[テア |
a= である. 一般に, bn t+ dns cr En の式で表すと,
by tn = [9], ep = DE) これらと tim ST 0を
用いると。 lim, log(1一g) = [ォ
(2) ? を虚数単位とする. 実数ぇに対して, 複素数> に関する方程式
8z十万=|6十29一1|
OR > 全体が複素数平面上で表す図形を C。 とする. CO, が円でな
Owe = のときである. 7 が円であるとき, その中
心を表す複素数を ぃ とし,w OME 9 (0 < 9 < I) で表す.
の虚部が0 となるのは t= のときであり, このときの
ゃの実部の値は CHS. Kh, jim tand = a |で
あり, jim gl =し コ |である.
CI] 平面上の AOAB において, IOA|= 2, |OB|- 3 とし, 辺0Aの
中点を M とする. /AOB の二等分線を k, AMB の二等分線を とし,
をたと?の交点をP とする. ぢニ0B, m=OM, >ー|BM|とおく. 次の
問いに答えよ.
(1) 直線をと線分BM の交点をCとする. Rr, svOGarb+am
を満たすとき, 7, s の値をそれぞれ求めよ.
(2) 直線と線分 AB の交点をD とする. 実数も ud MD =t0 +um
を満たすとき, t, vwをそれぞれ>の式で表せ.
(3) 実数 zがOPニッ5+zを満たすとき, y, >をそれぞれyの
式で表せ.
(4) 面積比について, AOAP : 人へOAB = 2 : 3 が成り立つとする. この
LS, sの値を求めよ.
mm 一
aot
CI) ヵを実数とする. 雇標平面上の点 P(4p, -V18p? +2 ) と放物
BCiy= 2. を考える. eo < である実数 c、 について, 放物線 の
£0281 (a, 20°), M(p, 36) における commernene, m
としたとき, と はともに点Pを通るとする. 原点O から直線LMに
下ろした垂線を OH とする. 次の問いに答えよ.
(1) 守数sに対して, の上の点 (s, 2) における 〇の接線を考える.
この接線の傾きおよびヶ 切片をそれぞれ。 を用いて表せ.
(2) o二og をヵぁの式で表せ.
(3) 直線 LM の傾きおよび? 切片をそれぞれゎヵ を用いて表せ. KK, H
分 OH の長さを求めよ.
(4) pit Sps s の範囲を動くとき, AHOMMORS ER 4.
(5) pが(4) の範囲を動くとき, 線分 HM が通過する領域の面積を求めよ.
(IV) 正の実数に対してげ(@ = sin(rg#) EL, 自然数ヵに対して,
Sn = う (6) とする. 次の問いに答えよ. REL, 必要ならば, 3 < <4
であることを証明なしに用いてよい.
(1) 2つの条件 Spa = Sn, 1000 Sn 27000 を同時に満たす自然数々
の個数を求めよ.
(2) reo | Paint de を求めよ。 また, すべての自然数 m に対して
次の等式が成り立つような定数 の rの値を求めよ.
/ f(a) dx = (pm? +q) cos(am) +r
(8) 自然数 に対して, 次の不等式が成り立つととを示せ.
/ f(a) de —4(m—1) < Spa < / fle) de + x(m~—1)
ただし, 必要ならば, 自然数んに対して,ぁくくん1のとき。
7の3すく7(6二1) < f@)+ gos
が成り立つことを証明なしに用いてよい.
(4) 3 つの条件 9。-」 = Sn, Sn <0, 1000 S mn < 27000 を同時に満た
FT ARM n の個数を求めよ.
(5) 2つの条件 Spa SO < Sp, 1000 <n S 27000 を同時に満たす自然
数 の個数を求めよ.
ーsー
|
。
(2) 受験番号の記入欄は, 解答用紙(一), (二)のそれぞれ
表面に 2 か所, 裏面に 1 か所ある。 合計6 か所とも
正確・明瞭に記入すること。
(3) 氏名の記入棚は, 解答用紙(一), (二)の表面にそれぞれ
1 か所ある。 合計2 か所とも正稚・明瞭に記入すること。
(4) 解答はすべて解答用紙の所定の箇所に記入すること。
問題[ 1 ]の解答は解答用紙(一)の〔 1 ]の欄に記入。
問題[TL〕の解答は解答用紙(一)の〔T]の欄に記入。
問題[ル〕の解答は解答用紙(二)の〔芽]の欄に記入。
問題LW]の解答は解答用紙(二)の〔V]の欄に記入。
(5) 問題紙の本文は 2ページである。
(6) 問題紙の余白は計算に使用してもよい。
(7) FRE REL CHL TR SEV
(8) 試験開始後, 問題紙に落丁・損傷がないか確認すること。
(9) 試験終了後, 問題紙は各自持ち帰ること。
|
。
(I) 次の [| | に適する数または式を, 解答用紙の同じ記号のつい
た| |] の中に記入せよょ.
(1) を2以上の自然数とする. ヵ個のさいころを同時に投げるとき, 出
る目すべての積を 4 で割ったときの余りが0, 1, 2, 3である確率を
EMM an, 6 Cay dn とする. このとき, 5ああ=ェ[テア |
a= である. 一般に, bn t+ dns cr En の式で表すと,
by tn = [9], ep = DE) これらと tim ST 0を
用いると。 lim, log(1一g) = [ォ
(2) ? を虚数単位とする. 実数ぇに対して, 複素数> に関する方程式
8z十万=|6十29一1|
OR > 全体が複素数平面上で表す図形を C。 とする. CO, が円でな
Owe = のときである. 7 が円であるとき, その中
心を表す複素数を ぃ とし,w OME 9 (0 < 9 < I) で表す.
の虚部が0 となるのは t= のときであり, このときの
ゃの実部の値は CHS. Kh, jim tand = a |で
あり, jim gl =し コ |である.
CI] 平面上の AOAB において, IOA|= 2, |OB|- 3 とし, 辺0Aの
中点を M とする. /AOB の二等分線を k, AMB の二等分線を とし,
をたと?の交点をP とする. ぢニ0B, m=OM, >ー|BM|とおく. 次の
問いに答えよ.
(1) 直線をと線分BM の交点をCとする. Rr, svOGarb+am
を満たすとき, 7, s の値をそれぞれ求めよ.
(2) 直線と線分 AB の交点をD とする. 実数も ud MD =t0 +um
を満たすとき, t, vwをそれぞれ>の式で表せ.
(3) 実数 zがOPニッ5+zを満たすとき, y, >をそれぞれyの
式で表せ.
(4) 面積比について, AOAP : 人へOAB = 2 : 3 が成り立つとする. この
LS, sの値を求めよ.
mm 一
aot
CI) ヵを実数とする. 雇標平面上の点 P(4p, -V18p? +2 ) と放物
BCiy= 2. を考える. eo < である実数 c、 について, 放物線 の
£0281 (a, 20°), M(p, 36) における commernene, m
としたとき, と はともに点Pを通るとする. 原点O から直線LMに
下ろした垂線を OH とする. 次の問いに答えよ.
(1) 守数sに対して, の上の点 (s, 2) における 〇の接線を考える.
この接線の傾きおよびヶ 切片をそれぞれ。 を用いて表せ.
(2) o二og をヵぁの式で表せ.
(3) 直線 LM の傾きおよび? 切片をそれぞれゎヵ を用いて表せ. KK, H
分 OH の長さを求めよ.
(4) pit Sps s の範囲を動くとき, AHOMMORS ER 4.
(5) pが(4) の範囲を動くとき, 線分 HM が通過する領域の面積を求めよ.
(IV) 正の実数に対してげ(@ = sin(rg#) EL, 自然数ヵに対して,
Sn = う (6) とする. 次の問いに答えよ. REL, 必要ならば, 3 < <4
であることを証明なしに用いてよい.
(1) 2つの条件 Spa = Sn, 1000 Sn 27000 を同時に満たす自然数々
の個数を求めよ.
(2) reo | Paint de を求めよ。 また, すべての自然数 m に対して
次の等式が成り立つような定数 の rの値を求めよ.
/ f(a) dx = (pm? +q) cos(am) +r
(8) 自然数 に対して, 次の不等式が成り立つととを示せ.
/ f(a) de —4(m—1) < Spa < / fle) de + x(m~—1)
ただし, 必要ならば, 自然数んに対して,ぁくくん1のとき。
7の3すく7(6二1) < f@)+ gos
が成り立つことを証明なしに用いてよい.
(4) 3 つの条件 9。-」 = Sn, Sn <0, 1000 S mn < 27000 を同時に満た
FT ARM n の個数を求めよ.
(5) 2つの条件 Spa SO < Sp, 1000 <n S 27000 を同時に満たす自然
数 の個数を求めよ.
ーsー
|
。
問9画像OCR
検出分野: 整数、指数・対数、微分・積分、関数・グラフ、空間図形
(1) 平面上の AABC において, ZBAC = en, ZABC = o AB =3
CHS. AABC の面積は | ア | である。
(2) 正の実数c に対して, # の1 次式で表された関数げ(4) は等式 」
[tilde =a + ea? ーー をみたしている。このとき, 定数
c の値は<= である。 したがって, f(t) = の十5とおく
と, 定数o。 6の値はそれぞれg=| ウ |, b= である。
(3) 例えば, 自然数 100 を 2 進法で表すと 1100100)) であり, 3進法
で表すと 10203) である。3 進法で 210210 で表される自然数
を 9 進法で表すと ERB. pe 3 以上の自然数とする。
?進法で表すと 6 桁の数 222229, となる自然数を p? 進法で表す
と 3 桁の数 88,0) となるとき, p= である。gを3以上
の自然数。 また$を1くsミgー1, PO, sSI9FARTBMETF
Bo GP 進法で4 桁の数 7777(。。) となる自然数が, 進法で8桁の数
ssssssss() となった。このときg= である。
(4) f(a) = logs(2z — 3), 9(e) = 5 Pe EBC. cy 平面において,
ター 9(Z) のグラフを軸方向に 4, y 軸方向に お だけ平行移動す
Bt y= fle) のグラフに重なる, TRO, f(x) = 9(zー4)
が成り立つような定数 4, の値は4ニー| ク ],ぢ=
CHS. 不等式 31og。 (2x —3) S 2十log。 5十logs* をみたすz の
値の分囲は。 [| コ | である。
円
[ IT 〕 f@=22-4c 428, cy 平面上の曲線〇 :ッニナ(y) を考える。
ヵ を自然数。c を正の実数とし, 2 つの数列 {c。}。 {Sn} を 13 から (ii) の
ように定める。
G) a =とする。
(ii) 曲線の上の点P。(g。。げ(cn)) における C の接線を 。 としたとき,
点Pan(oamn, f(dn4i)) は, 曲線 と直線 4, との共有点のうち。
点 P。(e。, 7(G。)) と異なる点である。
(ili) 9。 は, とのに囲まれた部分の面積である。
このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 曲線ど上の点 P(a, f(a) における のの接線 6 の方程式を求めよ。
(2) angi を dn の式で表せ。
(3) 自然数々に対して, 5。 をoを用いて表せ。
(4) = 2のとき, S, 28100 を超える自然数々のうち, BHD OOH
を求めよ。 ただし, 0.301 < ]ogo 2 < 0.302, 0.477 < logy) 3 < 0.478
である。
CI) 』 :を2つの正の実数とする。ただし, s = 1 と#ー1が同時
に成り立つことはないとする。 平面において, へOAB は, 1 辺の長さが
1 の正三角形である。2点C, Dは0G = -sOA, OB = -10B をみた
す。線分 AC の垂直 2 等分線と線分 BD の垂直 2 等分線の交点を BEB
く。 さらに, 線分 AD, 線分 OE, 線分BC の中点をそれぞれL, M, N
とおく。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 実数>に対して, OA・(OA+ zOB) 0 のとき, z の値を求めよ。
(2) 線分 CD の長さを s, {を用いて表せ。
(3) OB OA, OB, s, を用いて表せ。
(4) 線分 CD の長きが 1 のとき, s, の値にかかわらず, L, M, NU,
同一直線上にあることとを示せ。また, CD の長さが 1であ り, PO,
i . ョ
sa とき 線分LM ERD LN の長さの比の値 FT を求めよ。
ite
以下余白
CHS. AABC の面積は | ア | である。
(2) 正の実数c に対して, # の1 次式で表された関数げ(4) は等式 」
[tilde =a + ea? ーー をみたしている。このとき, 定数
c の値は<= である。 したがって, f(t) = の十5とおく
と, 定数o。 6の値はそれぞれg=| ウ |, b= である。
(3) 例えば, 自然数 100 を 2 進法で表すと 1100100)) であり, 3進法
で表すと 10203) である。3 進法で 210210 で表される自然数
を 9 進法で表すと ERB. pe 3 以上の自然数とする。
?進法で表すと 6 桁の数 222229, となる自然数を p? 進法で表す
と 3 桁の数 88,0) となるとき, p= である。gを3以上
の自然数。 また$を1くsミgー1, PO, sSI9FARTBMETF
Bo GP 進法で4 桁の数 7777(。。) となる自然数が, 進法で8桁の数
ssssssss() となった。このときg= である。
(4) f(a) = logs(2z — 3), 9(e) = 5 Pe EBC. cy 平面において,
ター 9(Z) のグラフを軸方向に 4, y 軸方向に お だけ平行移動す
Bt y= fle) のグラフに重なる, TRO, f(x) = 9(zー4)
が成り立つような定数 4, の値は4ニー| ク ],ぢ=
CHS. 不等式 31og。 (2x —3) S 2十log。 5十logs* をみたすz の
値の分囲は。 [| コ | である。
円
[ IT 〕 f@=22-4c 428, cy 平面上の曲線〇 :ッニナ(y) を考える。
ヵ を自然数。c を正の実数とし, 2 つの数列 {c。}。 {Sn} を 13 から (ii) の
ように定める。
G) a =とする。
(ii) 曲線の上の点P。(g。。げ(cn)) における C の接線を 。 としたとき,
点Pan(oamn, f(dn4i)) は, 曲線 と直線 4, との共有点のうち。
点 P。(e。, 7(G。)) と異なる点である。
(ili) 9。 は, とのに囲まれた部分の面積である。
このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 曲線ど上の点 P(a, f(a) における のの接線 6 の方程式を求めよ。
(2) angi を dn の式で表せ。
(3) 自然数々に対して, 5。 をoを用いて表せ。
(4) = 2のとき, S, 28100 を超える自然数々のうち, BHD OOH
を求めよ。 ただし, 0.301 < ]ogo 2 < 0.302, 0.477 < logy) 3 < 0.478
である。
CI) 』 :を2つの正の実数とする。ただし, s = 1 と#ー1が同時
に成り立つことはないとする。 平面において, へOAB は, 1 辺の長さが
1 の正三角形である。2点C, Dは0G = -sOA, OB = -10B をみた
す。線分 AC の垂直 2 等分線と線分 BD の垂直 2 等分線の交点を BEB
く。 さらに, 線分 AD, 線分 OE, 線分BC の中点をそれぞれL, M, N
とおく。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 実数>に対して, OA・(OA+ zOB) 0 のとき, z の値を求めよ。
(2) 線分 CD の長さを s, {を用いて表せ。
(3) OB OA, OB, s, を用いて表せ。
(4) 線分 CD の長きが 1 のとき, s, の値にかかわらず, L, M, NU,
同一直線上にあることとを示せ。また, CD の長さが 1であ り, PO,
i . ョ
sa とき 線分LM ERD LN の長さの比の値 FT を求めよ。
ite
以下余白