愛媛大学2014年度 数学の過去問解説｜全9大問・41項目の問題と解答

愛媛大学2014年度・前期日程の数学を、全9大問・41項目に分けて解説します。各小問・枝問に「問題文→解答→解説」を配置し、必要な共通条件を再掲しました。問題文は原本の条件を保って表記を整理しています。

問題PDF ／ サイト掲載の解答PDF 掲載解答PDFは数強塾作成で、大学公式解答ではありません。原本の条件を照合し、独立に検算した解説です。

第1問　図形・常用対数・集合

(1) 三角形の内部の交点までの距離

問題文

$AB=1,\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$ を満たす直角二等辺三角形 $ABC$ において、辺 $AB$ の中点を $P$、辺 $AC$ を $2:1$ に内分する点を $Q$、線分 $CP$ と $BQ$ の交点を $R$ とする。線分 $AR$ の長さを求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle AR=\frac{\sqrt{5}}{4}}}$$

解説

直交する2辺を座標軸に取り、$A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$ とします。$P=(1/2,0)$、内分比は $AQ:QC=2:1$ なので $Q=(0,2/3)$ です。

$$CP:y=1-2x,BQ:y=\frac{2}{3}(1-x).$$

連立すると $3-6x=2-2x$ より $x=1/4$、$y=1/2$。よって

$$AR=\sqrt{{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{4}.$$

ベクトルによる別解：以下ではAB、ACなどをAを始点とするベクトルとして扱います。RがCP上にあるのでAR=t AC+(1−t)AP=(3t/2)AQ+((1−t)/2)ABと書けます。RがBQ上にある条件はAQとABの係数の和が1、すなわち3t/2+(1−t)/2=1なのでt=1/2です。よってAR=(1/4)AB+(1/2)AC。ABとACは直交する長さ1のベクトルだから、|AR|²=1/16+1/4=5/16となり、座標解法と一致します。

(2) 最初に0でない数字が現れる小数の位

問題文

$(1/3{)}^{26}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。必要なら ${\log }_{10}3=0.4771$ として計算せよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle \text{小数第13位}}}$$

解説

常用対数を取ると ${\log }_{10}(1/3{)}^{26}=-26{\log }_{10}3\simeq -12.4046$。これが $-13$ と $-12$ の間にあるので

$${10}^{-13}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{26}<{10}^{-12}.$$

したがって小数第1位から第12位までは0で、第13位に初めて0でない数字が出ます。厳密にも ${10}^{12}<3^{26}=2541865828329<{10}^{13}$ から同じ不等式を確認できます。負の対数の整数部分を見て、誤って第12位としないよう注意しましょう。

(3) 不等式の解集合の包含関係

問題文

$k$ を実数とする。$x^2-2x-3>0$、$x^2-(k+1)x+k>0$ を満たす実数 $x$ の集合を、それぞれ $A,B$ とする。$A\subset B$ となるための必要十分条件を $k$ で表せ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle -1\leqq k\leqq 3}}$$

解説

因数分解から $A=(-\mathrm{\infty },-1)\cup (3,\mathrm{\infty })$。一方 $x^2-(k+1)x+k=(x-1)(x-k)$ なので、$B$ に含まれない点は閉区間 $[min(1,k),max(1,k)]$ にあります。

$A\subset B$ となるのは、この閉区間が $A$ の補集合 $[-1,3]$ に収まる場合です。1はすでにこの区間内なので、条件は $-1\leqq k\leqq 3$ となります。

端点 $k=-1,3$ も含みます。もとの $A$ には $-1,3$ 自体は入らないためです。またこの範囲では $A\ne B$ なので、包含記号を真部分集合と解釈しても答えは同じです。

第2問　絶対値の積分と接線

(1) 絶対値を外してグラフを描く

問題文

実数 $t$ に対し $f(t)=2|t-1|+t+1$ と定める。$y=f(t)$ のグラフを描け。

解答

$$\boxed{{\displaystyle f(t)=\{\begin{array}{ll}-t+3& (t\leqq 1),\\ 3t-1& (t\geqq 1).\end{array}}}$$

2本の半直線が点 $(1,2)$ でつながるグラフです。

解説

$t\leqq 1$ では $|t-1|=1-t$ なので $f(t)=-t+3$。$t\geqq 1$ では $|t-1|=t-1$ なので $f(t)=3t-1$ です。境界 $t=1$ ではどちらも2となり、グラフは途切れません。

(2) 上端が変数の定積分

問題文

$f(t)=2|t-1|+t+1$、${\displaystyle F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt}$ とする。実数 $x$ に対して $F(x)$ を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle F(x)=\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+3x& (x\leqq 1),\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-x+2& (x>1).\end{array}}}$$

解説

$x\leqq 1$ では、0と $x$ の間で $f(t)=-t+3$ です。したがって

$$F(x)={\int }_0^x(-t+3)dt=-\frac{1}{2}{x}^2+3x.$$

$x<0$ でも、積分の向きを含めてこの式が成り立ちます。$x>1$ では式の切り替わる1で積分を分けます。

$$F(x)={\int }_0^1(-t+3)dt+{\int }_1^x(3t-1)dt=\frac{5}{2}+{[\frac{3}{2}{t}^2-t]}_1^x=\frac{3}{2}{x}^2-x+2.$$

両式は $x=1$ で $5/2$ に一致します。

(3) 積分で定義された曲線の接線

問題文

${\displaystyle F(x)={\int }_0^x\{2|t-1|+t+1\}dt}$ とする。曲線 $y=F(x)$ 上の点 $(0,F(0))$ における接線 $\ell$ の方程式を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle \ell :y=3x}}$$

解説

積分区間の長さが0なので $F(0)=0$。被積分関数は連続であり、微分積分の基本定理から $F^{\prime }(x)=2|x-1|+x+1$ です。よって $F^{\prime }(0)=3$。接線は原点を通り傾き3なので $y=3x$ です。

(4) 区分的な曲線と接線で囲まれる面積

問題文

${\displaystyle F(x)={\int }_0^x\{2|t-1|+t+1\}dt}$ とする。曲線 $y=F(x)$ と、原点での接線 $\ell :y=3x$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$$

解説

$x\leqq 1$ では $F(x)-3x=-x^2/2$ なので交点は $x=0$。$x>1$ では

$$F(x)-3x=\frac{3}{2}{x}^2-4x+2=\frac{3}{2}(x-\frac{2}{3})(x-2).$$

この場合に適する解は $x=2$ だけです。$x=2/3$ は $x>1$ を満たさないため交点ではありません。区間 $0<x<2$ では接線が上側にあるので

$$\begin{array}{rl}\text{面積}& ={\int }_0^1\frac{x^2}{2}dx+{\int }_1^2(-\frac{3}{2}{x}^2+4x-2)dx\\ & =\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}.\end{array}$$

第3問　各桁の階乗の和になる3桁の数

(1) 階乗の大きさで数字を絞る

問題文

3桁の自然数 $A$ の百・十・一の位を $x,y,z$ とし、$100x+10y+z=x!+y!+z!$ が成り立つとする。$6!$ を求め、$x,y,z$ がすべて5以下であることを示せ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle 6!=720,x,y,z\leqq 5}}$$

解説

$6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720$ です。まず、いずれかの桁が7以上なら $A=x!+y!+z!\geqq 7!=5040$ となり、3桁であることに反します。したがって各桁は6以下で、$A\leqq 666$ です。

さらにいずれかが6なら $A\geqq 6!=720>666$ となり矛盾。よってすべて5以下です。$6!=720$ だけでは3桁という条件と矛盾しないので、先に7以上を除く段階が必要です。なお $0!=1$ です。

(2) 百の位を絞る

問題文

3桁の自然数 $A=100x+10y+z$ が $A=x!+y!+z!$ を満たすとする。百の位 $x$ が3以下であることを示せ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle x\leqq 3}}$$

解説

前問の議論から各桁は5以下です。したがって $A=x!+y!+z!\leqq 3\cdot 5!=360$。もし $x\geqq 4$ なら3桁の数として $A\geqq 400$ となり矛盾するので、$x\leqq 3$ です。百の位は0ではないため、候補は1、2、3です。

(3) 十の位か一の位に5が必要であること

問題文

3桁の自然数 $A=100x+10y+z=x!+y!+z!$ について、$y,z$ の少なくとも一方が5であることを示せ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle y=5\text{または}z=5}}$$

解説

各桁は5以下、百の位は3以下です。もし $y,z$ がともに4以下なら

$$A=x!+y!+z!\leqq 3!+4!+4!=6+24+24=54.$$

これは3桁、すなわち $A\geqq 100$ に反します。よって少なくとも一方は5です。「または」は両方が5の場合も含みます。

(4) 条件を満たす数をすべて求める

問題文

各桁を $x,y,z$ とするとき $100x+10y+z=x!+y!+z!$ を満たす3桁の自然数 $A$ を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle A=145}}$$

解説

すでに $x\in \{1,2,3\},y,z\leqq 5$、かつ $y=5$ または $z=5$ と分かります。

$x=3$ なら $A\geqq 300$ ですが、$A\leqq 3!+5!+5!=246$ となり矛盾します。$x=2$ なら $A\geqq 200$。$y,z$ の一方が4以下だと $A\leqq 2!+5!+4!=146$ なので両方5が必要ですが、$255\ne 2!+5!+5!=242$ です。

残る $x=1$ を調べます。$y=5$ なら式は $z!-z=29$、$z=5$ なら $10y-y!=16$ になります。各桁の候補0〜5を表にします。

前者に29はなく、後者が16になるのは $y=4$ のみ。したがって $A=145$。実際に $1!+4!+5!=1+24+120=145$ と確かめられます。

第4問　正四面体の頂点を移動する2点

この大問では、各点が移動先をそれぞれ独立に選ぶ通常の確率モデルで考えます。

(1)(i) PがCに移った場合

問題文

1辺1の正四面体 $ABCD$ 上で、時刻0に $P$ は $A$、$Q$ は $B$ にいる。各時刻に、各点は現在地以外の3頂点のいずれかへそれぞれ確率 $1/3$ で移動する。時刻1に $P$ が $C$ にいるとき、2点の距離 $d_1$ が1となる $Q$ の位置は何通りか。

解答

$$\boxed{{\displaystyle 2\text{通り}(A,D)}}$$

解説

$Q$ は $B$ から動くので、移動先は $A,C,D$。$P$ のいる $C$ と同じなら距離0、それ以外なら辺の長さ1です。よって $A,D$ の2通りです。

(1)(ii) PがBに移った場合

問題文

1辺1の正四面体 $ABCD$ 上で、時刻0に $P$ は $A$、$Q$ は $B$ にいる。各点は現在地以外の3頂点へそれぞれ確率 $1/3$ で移動する。時刻1に $P$ が $B$ にいるとき、距離 $d_1$ が1となる $Q$ の位置は何通りか。

解答

$$\boxed{{\displaystyle 3\text{通り}(A,C,D)}}$$

解説

$Q$ は出発点 $B$ にとどまれず、$A,C,D$ のどれかにいます。いずれも $P$ のいる $B$ と異なるため、3通りすべてで距離1です。

(2) 1回移動後に異なる頂点にいる確率

問題文

1辺1の正四面体 $ABCD$ 上で、$P,Q$ は時刻0にそれぞれ $A,B$ にいる。各時刻に各点は現在地以外の3頂点へ、独立にそれぞれ確率 $1/3$ で移動する。時刻 $n$ の距離を $d_n$、$d_n=1$ の確率を $p_n$ とする。$p_1$ を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle p_1=\frac{7}{9}}}$$

解説

$P$ の行き先は $B,C,D$、$Q$ の行き先は $A,C,D$ で、順序を区別した9通りが同様に確からしい場合です。同じ頂点になるのは $(C,C),(D,D)$ の2通りだけなので、$p_1=1-2/9=7/9$ です。$(B,A)$ のような位置の交換でも距離は1です。

(3) 2時刻の距離の和が1になる確率

問題文

1辺1の正四面体の異なる頂点 $A,B$ から $P,Q$ が出発する。各時刻にそれぞれ独立に、現在地以外の3頂点のいずれかへ確率 $1/3$ で移動する。時刻 $n$ の距離を $d_n$ とするとき、$d_1+d_2=1$ となる確率を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle \frac{26}{81}}}$$

解説

距離は0か1なので、対象は $(d_1,d_2)=(0,1),(1,0)$ の2場合です。同じ頂点から出発した2点は、次に同じ頂点へ移るのが9通り中3通り、異なる頂点へ移るのが6通りです。異なる頂点からは、同じ頂点へ移るのが9通り中2通りです。

$P(d_1=0)=2/9,P(d_1=1)=7/9$ より、求める確率は

$$\frac{2}{9}\cdot \frac{2}{3}+\frac{7}{9}\cdot \frac{2}{9}=\frac{12+14}{81}=\frac{26}{81}.$$

$d_1$ と $d_2$ は独立ではありません。次の距離の確率を、現在の距離ごとに分けることが必要です。

(4) 確率の漸化式と一般項

問題文

1辺1の正四面体の異なる頂点から $P,Q$ が出発し、各時刻にそれぞれ独立に、現在地以外の3頂点へ確率 $1/3$ で移動する。時刻 $n$ の2点の距離が1となる確率を $p_n$ とする。$p_{n+1}$ を $p_n$ で表し、$p_n$ を求めよ。ただし $n\geqq 0$ は整数である。

解答

$$\boxed{{\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{9}{p}_n+\frac{2}{3},p_n=\frac{3}{4}+\frac{1}{4\cdot 9^n}}}$$

解説

現在の距離が0である確率は $1-p_n$。同じ頂点から次に異なる頂点へ行く確率は $2/3$、異なる頂点から次も異なる頂点へ行く確率は $7/9$ なので

$$p_{n+1}=(1-p_n)\frac{2}{3}+p_n\frac{7}{9}=\frac{1}{9}{p}_n+\frac{2}{3}.$$

定常値 $3/4$ を両辺から引くと $p_{n+1}-3/4=(p_n-3/4)/9$。初期値は $p_0=1$ だから

$$p_n-\frac{3}{4}=(p_0-\frac{3}{4}){\left(\frac{1}{9}\right)}^n=\frac{1}{4\cdot 9^n}.$$

$n=0$ でも成り立ち、$n=1$ では $7/9$ に一致します。

第5問　積分方程式・極限・微分可能性

(1) 定積分を定数とおく

問題文

すべての実数 $x$ に対して ${\displaystyle f(x)=\sin \pi x+{\int }_0^{1}tf(t)dt}$ が成り立つような関数 $f(x)$ を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle f(x)=\sin \pi x+\frac{2}{\pi }}}$$

解説

積分区間が固定されているので、${\displaystyle C={\int }_0^{1}tf(t)dt}$ は $x$ によらない定数です。$f(x)=\sin \pi x+C$ を積分の中へ戻すと

$$C={\int }_0^{1}t\sin \pi tdt+C{\int }_0^{1}tdt=\frac{1}{\pi }+\frac{C}{2}.$$

ここで部分積分から ${\displaystyle {\int }_0^{1}t\sin \pi tdt=[-t\cos \pi t/\pi +\sin \pi t/{\pi }^2{]}_0^1=1/\pi }$ を使いました。よって $C=2/\pi$。この関数を元の積分に代入しても定数項が $2/\pi$ になり、条件を満たします。

(2) 三角関数の差を含む極限

問題文

${\displaystyle \underset{\theta \to 0}{lim}\frac{{\theta }^3}{\tan \theta -\sin \theta }}$ を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle 2}}$$

解説

0に十分近い $\theta \ne 0$ に対し、$\tan \theta -\sin \theta =\sin \theta (1-\cos \theta )/\cos \theta$ です。$(1-\cos \theta )(1+\cos \theta )={\sin }^2\theta$ を使うと

$$\frac{{\theta }^3}{\tan \theta -\sin \theta }={\left(\frac{\theta }{\sin \theta }\right)}^3(1+\cos \theta )\cos \theta .$$

$\sin \theta /\theta \to 1,\cos \theta \to 1$ より、極限は $1^3\cdot 2\cdot 1=2$ です。

(3) 和を区分求積法に直す

問題文

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}}$ を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle \log 2}}(\log \text{は自然対数})$$

解説

$k=n+j$ と置き換えると、$j$ は1から $n$ まで動きます。

$$\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\frac{1}{1+j/n}.$$

これは区間 $[0,1]$ を $n$ 等分し、右端 $j/n$ で関数 $1/(1+x)$ の値を取った面積和です。連続関数の区分求積法から

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\frac{1}{1+j/n}={\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\log 2.$$

各項が0に近づくだけでは和の極限は決まりません。項数も増えることを、幅 $1/n$ と合わせて扱います。

(4) 絶対値を含む関数の微分可能性

問題文

$f(x)=|x|(e^x+a)$ が $x=0$ で微分可能であるとする。定数 $a$ を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle a=-1}}$$

解説

$f(0)=0$ なので差商を左右から調べます。

$$\underset{x\to +0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=1+a,\underset{x\to -0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=-(1+a).$$

両者が一致する条件は $1+a=-(1+a)$、すなわち $a=-1$ です。このとき両方の極限が0なので、実際に微分可能で $f^{\prime }(0)=0$ になります。絶対値を含むというだけで微分不可能とは限りません。

第6問　解と係数の関係から整数解を絞る

(1) 積と和を比較する不等式

問題文

実数 $\alpha ,\beta$ が $\alpha \geqq 1,\beta \geqq 1$ を満たすとき、$\alpha \beta \geqq \alpha +\beta -1$ を示せ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle \alpha \beta \geqq \alpha +\beta -1}}$$

解説

$\alpha -1\geqq 0,\beta -1\geqq 0$ より $(\alpha -1)(\beta -1)\geqq 0$。展開して移項すると $\alpha \beta -\alpha -\beta +1\geqq 0$ となります。等号は $\alpha =1$ または $\beta =1$ のときに成立します。

(2) 一方が整数解なら他方も整数になること

問題文

$m$ を整数、$k$ を実数とし、2次方程式 $x^2-mx+k=0$ の2つの解を $p,q$ とする。$p$ が整数なら、$q,k$ も整数であることを示せ。

解答

$\boxed{{\displaystyle q=m-p,k=p(m-p)}}$ なので、どちらも整数です。

解説

解と係数の関係から $p+q=m,pq=k$。$m,p$ が整数なら、その差 $q=m-p$ も整数です。さらに整数同士の積 $pq$ が $k$ に等しいので、$k$ も整数になります。重解の場合も同じ議論が成り立ちます。

(3) どの自然数でも整数解を持たないこと

問題文

自然数 $n\geqq 1$ に対し、2次方程式 $x^2-n^{2}x+n=0$ は整数の解を持たないことを示せ。

解答

$\boxed{{\displaystyle \text{すべての自然数 }n\text{ で整数解を持たない}}}$

解説

整数解を1つ持つと仮定すると、前問より2つの解 $\alpha ,\beta$ はともに整数です。$\alpha +\beta =n^2>0,\alpha \beta =n>0$ なので、ともに正の整数、つまり1以上です。

したがって $\alpha \beta \geqq \alpha +\beta -1$ を使い、$n\geqq n^2-1$、すなわち $n(n-1)\leqq 1$ を得ます。自然数でこれを満たすのは $n=1$ だけです。

しかし $n=1$ なら $\alpha +\beta =1$ であり、正の整数2つの和が2以上であることに反します。よって仮定が誤りで、整数解はありません。

(4) 整数解が存在するnをすべて求める

問題文

自然数 $n\geqq 1$ に対して $x^2-(n-2{)}^{2}x+n=0$ が整数解を持つとき、$n$ とその解をすべて求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle n=4,x=2\text{（重解）}}}$$

解説

整数解を持てば2つの解 $\alpha ,\beta$ はともに整数で、$\alpha +\beta =(n-2{)}^2\geqq 0,\alpha \beta =n>0$ です。積が正なので同符号であり、和が非負なのでともに正です。

よって $\alpha \beta \geqq \alpha +\beta -1$ から

$$n\geqq (n-2{)}^2-1⟺n^2-5n+3\leqq 0.$$

$n\geqq 5$ では左辺は $n(n-5)+3>0$ となるため、候補は $n=1,2,3,4$ だけです。

候補をすべて調べ、$n=4$ のとき実際に成立するので、これが唯一の答えです。

第7問　指数関数の2本の接線と面積比

(1) 2本の接線の交点

問題文

$a>0$ とする。曲線 $y=e^x$ の点 $(0,1)$、$(a,e^a)$ における接線をそれぞれ ${\ell }_1,{\ell }_2$ とし、その交点の $x$ 座標を $p(a)$ とする。$p(a)$ を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle p(a)=\frac{(a-1)e^a+1}{e^a-1}}}$$

解説

微分すると $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ なので、接線の方程式は ${\ell }_1:y=x+1$、${\ell }_2:y=e^a(x-a+1)$ です。連立して

$$x+1=e^a(x-a+1)⟹(e^a-1)x=(a-1)e^a+1.$$

$a>0$ より $e^a-1>0$ なので割ることができ、答えの式になります。

(2) 接線と曲線の間の2つの面積

問題文

$0<b<a$ とし、$y=e^x$ の点 $(0,1)$、$(a,e^a)$ における接線を $y=f(x),y=g(x)$ とする。$0\leqq x\leqq b,f(x)\leqq y\leqq e^x$ の領域の面積を $S_1$、$b\leqq x\leqq a,g(x)\leqq y\leqq e^x$ の領域の面積を $S_2$ とする。$S_1,S_2$ を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle S_1=e^b-\frac{1}{2}{b}^2-b-1}}$$

$$\boxed{{\displaystyle S_2=\{\frac{1}{2}(a-b{)}^2-(a-b)+1\}{e}^a-e^b}}$$

解説

接線は $f(x)=x+1,g(x)=e^a(x-a+1)$ です。指数関数は接線以上の値を取るので、それぞれ「曲線−接線」を積分します。この大小は、関数 $e^u-u-1$ が $u=0$ で最小値0を取ることからも確認できます。

$$S_1={\int }_0^b(e^x-x-1)dx=e^b-\frac{1}{2}{b}^2-b-1.$$

$S_2$ では $u=x-a$ とおけば、下端は $b-a$、上端は0です。

$$\begin{array}{rl}{S}_2& =e^a{\int }_{b-a}^0(e^u-u-1)du\\ & =e^a{[e^u-\frac{u^2}{2}-u]}_{b-a}^0\\ & =\{\frac{1}{2}(a-b{)}^2-(a-b)+1\}{e}^a-e^b.\end{array}$$

(3) 面積を指数関数で割って整理する

問題文

$0<b<a$ とする。曲線 $y=e^x$ と、点 $(a,e^a)$ での接線 $y=e^a(x-a+1)$ の間の、$b\leqq x\leqq a$ における面積を $S_2$ とする。$R=e^{-b}{S}_2,t=a-b$ とおくとき、$R$ を $t$ のみの関数で表せ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle R=(\frac{1}{2}{t}^2-t+1)e^t-1}}$$

解説

面積の積分から $S_2=\{(a-b{)}^2/2-(a-b)+1\}{e}^a-e^b$。両辺を $e^b$ で割り、$e^a/e^b=e^{a-b}$ を使うと、現れる $a,b$ はすべて差 $a-b=t$ にまとめられます。

(4) 接点と交点の横方向の隔たり

問題文

$a>0$ とし、$y=e^x$ の点 $(0,1)$、$(a,e^a)$ における2接線の交点の $x$ 座標を $p(a)$ とする。${\displaystyle \underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}(a-p(a))}$ を求めよ。必要なら ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^k{e}^{-x}=0}$（自然数 $k$）を用いてよい。

解答

$$\boxed{{\displaystyle 1}}$$

解説

$p(a)=\{(a-1)e^a+1\}/(e^a-1)$ を代入し、差を先に整理します。

$$a-p(a)=\frac{e^a-a-1}{e^a-1}=1-\frac{a{e}^{-a}}{1-e^{-a}}.$$

$a\to \mathrm{\infty }$ で $a{e}^{-a}\to 0$、$e^{-a}\to 0$ なので、極限は1です。発散する2つの量の差を、別々の極限に分けないことが大切です。

(5) 境界を接線の交点にした面積比

問題文

$a>0$ とし、$y=e^x$ の点 $(0,1)$、$(a,e^a)$ の接線を $y=f(x),y=g(x)$、交点の $x$ 座標を $p(a)$ とする。$b=p(a)$ とし、${\displaystyle S_1={\int }_0^b(e^x-f(x))dx}$、${\displaystyle S_2={\int }_b^a(e^x-g(x))dx}$ とする。${\displaystyle \underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_2/S_1}$ を求めよ。必要なら $x^k{e}^{-x}\to 0$ を用いてよい。

解答

$$\boxed{{\displaystyle \frac{e}{2}-1}}$$

解説

まず $0<p(a)<a$ を確認します。$p(a)$ の分子 $H(a)=(a-1)e^a+1$ は $H(0)=0,H^{\prime }(a)=a{e}^a>0$ なので正です。また $e^a>1+a$ より $a-p(a)=(e^a-a-1)/(e^a-1)>0$。したがって面積の区間は正しく定まります。

$t=a-b$ とおくと、前問より $t\to 1$、よって $b=a-t\to \mathrm{\infty }$ です。$e^b$ で分子・分母を割ると

$$e^{-b}{S}_2=(\frac{1}{2}{t}^2-t+1)e^t-1⟶\frac{e}{2}-1,$$

$$e^{-b}{S}_1=1-(\frac{1}{2}{b}^2+b+1)e^{-b}⟶1.$$

よって $S_2/S_1=(e^{-b}{S}_2)/(e^{-b}{S}_1)\to e/2-1$ です。面積自体は大きくなっても、共通の増大因子 $e^b$ で割ると比の極限が見えます。

第8問　3乗が単位行列となる2次行列

$E$ は2次の単位行列、$O$ は2次の零行列です。本問は当時の高校数学の範囲に従い、行列の成分を実数として扱います。

(1) 行列の3乗の差を因数分解する

問題文

$A$ を $A^3=E$ を満たす2次正方行列、$t$ を実数とする。$(A-tE)(A^2+tA+t^{2}E)$ を $t,E$ で表せ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle (1-t^3)E}}$$

解説

$A$ と $E$、また $A$ とその累乗は交換できるので、展開すると中間項が打ち消し合います。

$$(A-tE)(A^2+tA+t^{2}E)=A^3-t^{3}E=(1-t^3)E.$$

行列の積は一般には交換できませんが、今回の式では同じ行列の多項式同士なので、この因数分解が使えます。

(2) 逆行列を具体的に作る

問題文

$A^3=E$ を満たす2次正方行列 $A$ と実数 $t\ne 1$ に対し、$A-tE$ が逆行列を持つことを示せ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle (A-tE{)}^{-1}=\frac{A^2+tA+t^{2}E}{1-t^3}}}$$

解説

実数 $t$ では $t\ne 1$ なら $1-t^3\ne 0$ です。前問の積の公式を $1-t^3$ で割ると

$$(A-tE)\frac{A^2+tA+t^{2}E}{1-t^3}=E.$$

積の順序を逆にしても同じ結果です。したがって右の因子が逆行列となります。$t=1$ ではこの式の分母が0になるので、同じ式では判断できません。

(3)(i) Aが単位行列の場合

問題文

$A^3=E$ を満たす2次正方行列 $A$ について、$A=E$ なら $A^2+A+E\ne O$ であることを示せ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle A^2+A+E=3E\ne O}}$$

解説

$A=E$ を代入すれば $E^2+E+E=3E$。$E$ の対角成分は1なので、$3E$ の対角成分は3であり、零行列ではありません。

(3)(ii) 積が零行列でも因子を消せない場合

問題文

$A^3=E$ を満たす2次正方行列 $A$ について、$A^2+A+E\ne O$ なら $A-E$ は逆行列を持たないことを示せ。

解答

$\boxed{{\displaystyle A-E\text{ は逆行列を持たない}}}$

解説

$(A-E)(A^2+A+E)=A^3-E=O$ です。もし $A-E$ が逆行列を持つなら、左からその逆行列を掛けて $A^2+A+E=O$ を得ます。しかしこれは仮定に反するので、逆行列は存在しません。

通常の数と違い、行列では積が零行列でも一方が零行列とは限りません。逆行列の存在を確かめずに因子を消すことはできません。

(3)(iii) 逆行列を持たない場合のAを決める

問題文

実数成分の2次正方行列 $A$ が $A^3=E$ を満たすとする。$A-E$ が逆行列を持たないなら $A=E$ であることを示せ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle A=E}}$$

解説

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$、$p=a+d,q=ad-bc$ とおきます。2次行列のケーリー・ハミルトンの定理より $A^2-pA+qE=O$ です。

$A-E$ に逆行列がない条件は $(a-1)(d-1)-bc=0$、すなわち $q=p-1$。よって $A^2=pA-(p-1)E$ です。これを使って $A^3-E$ を整理すると

$$\begin{array}{rl}O=A^3-E& =p{A}^2-(p-1)A-E\\ & =(p^2-p+1)(A-E).\end{array}$$

$p$ は実数なので $p^2-p+1=(p-1/2{)}^2+3/4>0$。これは0でない実数係数ですから、両辺を割って $A-E=O$、つまり $A=E$ を得ます。

ここでは「2次」「実数成分」の条件が重要です。任意の大きさや複素数成分の行列に、そのまま一般化はできません。

第9問　試行を続ける基準と賞金の期待値

各回は同じ確率分布による独立な試行として考えます。$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数（床関数）です。「最大になる」は、その基準だけが唯一の最大化条件であるとは限りません。

(1) 最大2回の試行の期待値

問題文

自然数 $n$ に対し、試行 $T$ では得点 $j\in \{0,1,\dots ,n\}$ が確率 $p_j>0$ で得られ、$\sum _{j=0}^n{p}_j=1$ とする。1回の得点の期待値を $a$ とする。整数 $1\leqq k\leqq n$ を決め、1回目の得点が $k$ 以上ならその得点を賞金とし、$k$ 未満なら1回目を無効にして2回目の得点を賞金とする。賞金の期待値 $b_k$ を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle b_k=a\sum _{j=0}^{k-1}{p}_j+\sum _{j=k}^{n}j{p}_j}}(a=\sum _{j=0}^{n}j{p}_j)$$

解説

1回目が $j\geqq k$ ならその場で賞金 $j$ が決まるため、期待値への寄与は $\sum _{j=k}^{n}j{p}_j$ です。1回目が $k$ 未満となる確率は $\sum _{j=0}^{k-1}{p}_j$。この場合の2回目の期待値は、独立性により $a$ のままです。両者を足して答えを得ます。

最初の得点は無効になるため、2回目へ進んだときに1回目の得点を足してはいけません。

(2) 最大2回の場合の最適な基準

問題文

試行 $T$ は $0,1,\dots ,n$ 点を確率 $p_0,p_1,\dots ,p_n>0$（総和1）で生み、期待値を $a=\sum _{j=0}^{n}j{p}_j$ とする。1回目が $k$ 以上ならその得点、未満なら1回目を捨てて2回目の得点を賞金とする期待値を $b_k$ とする（$1\leqq k\leqq n$）。$A=[a]+1$ とするとき、$k=A$ で $b_k$ が最大になることを示せ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle b_A=\underset{1\leqq k\leqq n}{max}{b}_k}}$$

解説

すべての $p_j$ が正なので $0<a<n$ です。よって $1\leqq A\leqq n$ であり、基準 $A$ は選択可能です。$n\geqq 2$ では、隣り合う期待値の差が

$$b_{k+1}-b_k=a{p}_k-k{p}_k=(a-k)p_k(1\leqq k\leqq n-1).$$

$p_k>0$ より、$k\leqq A-1=[a]$ なら差は非負、$k\geqq A$ なら差は負です。したがって $b_k$ は $A$ まで減らず、そこから先では減るので、$b_A$ が最大です。$n=1$ では選べる基準が $A=1$ だけなので同じ結論になります。

補足：$a$ が整数 $r$ なら $b_{r+1}-b_r=0$ となり、$k=r,r+1$ の両方が最大です。$a$ が整数でなければ最大にする基準は $A$ のみです。

(3) 最大3回の試行の期待値

問題文

試行 $T$ は $j=0,1,\dots ,n$ 点を確率 $p_j>0$（総和1）で生み、$a=\sum j{p}_j,A=[a]+1$ とする。整数 $1\leqq m\leqq n$ を決め、次のルールで最大3回行う。

1. 1回目が $m$ 以上ならその得点を賞金とし、終了する。
2. 1回目が $m$ 未満なら2回目を行い、2回目が $A$ 以上ならその得点だけを賞金とする。
3. 2回目が $A$ 未満なら3回目を行い、3回目の得点だけを賞金とする。

賞金の期待値 $c_m$ を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle c_m=b_A\sum _{j=0}^{m-1}{p}_j+\sum _{j=m}^{n}j{p}_j}}$$

ただし ${\displaystyle b_A=a\sum _{j=0}^{A-1}{p}_j+\sum _{j=A}^{n}j{p}_j}$ です。

解説

1回目が $m$ 以上なら、その得点が確定するので寄与は $\sum _{j=m}^{n}j{p}_j$。1回目が $m$ 未満なら、残る2回は「基準 $A$ で最大2回行う」ルールと同じです。その期待値は $b_A$ なので、継続する確率を掛けて答えを得ます。

$b_A$ を展開すると、原本の変数だけによる形は

$$\begin{array}{rl}{c}_m=& a\left(\sum _{j=0}^{m-1}{p}_j\right)\left(\sum _{j=0}^{A-1}{p}_j\right)\\ & +\left(\sum _{j=0}^{m-1}{p}_j\right)\left(\sum _{j=A}^{n}j{p}_j\right)+\sum _{j=m}^{n}j{p}_j.\end{array}$$

それぞれ3回目で終了、2回目で終了、1回目で終了する場合の寄与になっています。

(4) 最大3回の最適な基準と期待値の比較

この小問でも、自然数 $n$ と整数 $m$ の範囲は $1\leqq m\leqq n$ です。

問題文

試行 $T$ は得点 $j=0,\dots ,n$ を確率 $p_j>0$（総和1）で生み、$a=\sum j{p}_j,A=[a]+1$ とする。$b_A$ は、1回目が $A$ 以上ならその得点、未満なら1回目を捨てて2回目の得点を賞金とする期待値である。$c_m$ は、1回目が $m$ 以上なら終了し、未満ならその得点を捨てて残り2回を基準 $A$ のルールで行う期待値とする。$B=[b_A]+1$ とおくとき、$m=B$ で $c_m$ が最大となり、$c_B\geqq b_A$ であることを示せ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle c_B=\underset{1\leqq m\leqq n}{max}{c}_m,c_B\geqq b_A}}$$

解説

最大2回の賞金は0以上 $n$ 以下です。また正の賞金になる確率が正であり、2回とも0点で賞金0になる確率 $p_0^2$ も正なので、$0<b_A<n$。よって $1\leqq B\leqq n$ です。

${\displaystyle c_m=b_A\sum _{j=0}^{m-1}{p}_j+\sum _{j=m}^{n}j{p}_j}$ から

$$c_{m+1}-c_m=(b_A-m)p_m(1\leqq m\leqq n-1).$$

$m\leqq B-1$ なら非負、$m\geqq B$ なら負なので、$m=B$ で最大です。$n=1$ のときも唯一の基準 $B=1$ で成立します。$b_A$ が整数なら $m=B-1$ も同じ最大値を与えます。

さらに $\sum p_j=1$ を使うと

$$c_B-b_A=\sum _{j=B}^n(j-b_A)p_j\geqq 0.$$

$j\geqq B=[b_A]+1>b_A$ なので各項が非負です。実際には $B\leqq n$ かつ $p_j>0$ より、この差は正になります。残り2回の期待値より高い得点が出たら確定し、低ければ継続する、という判断が式に表れています。

(5)(i) 5枚の硬貨の得点分布

問題文

$n=5$ とし、5枚の硬貨を同時に投げ、表の出た枚数を得点とする試行 $T$ を考える。表裏はそれぞれ確率 $1/2$ で、各硬貨は独立とする。得点 $j$ の確率 $p_j$（$j=0,\dots ,5$）と、1回の期待値 $a$ を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle (p_0,p_1,p_2,p_3,p_4,p_5)=\frac{1}{32}(1,5,10,10,5,1),a=\frac{5}{2}}}$$

解説

5枚の表裏は $2^5=32$ 通りで同様に確からしく、表が $j$ 枚になるのは $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{j})$ 通りです。したがって $p_j=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{j})/32$。期待値は

$$a=\frac{0\cdot 1+1\cdot 5+2\cdot 10+3\cdot 10+4\cdot 5+5\cdot 1}{32}=\frac{80}{32}=\frac{5}{2}.$$

各硬貨について「表なら1、裏なら0」の期待値が $1/2$ であることを用い、$5\cdot 1/2$ と求めることもできます。

(5)(ii) 硬貨を最大2回投げる場合

問題文

5枚の公平な硬貨を独立に投げ、表の枚数を得点とする。整数 $1\leqq k\leqq 5$ を決め、1回目が $k$ 以上ならその得点を賞金とし、未満なら1回目を捨てて独立な2回目の得点を賞金とする。期待値 $b_k$ の最大値を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle max{b}_k=\frac{95}{32}}}(k=3)$$

解説

1回の期待値は $a=5/2$ なので、最適な基準は $A=[5/2]+1=3$。1回目が0〜2点となる確率は $(1+5+10)/32=1/2$ です。よって

$$b_3=\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{3\cdot 10+4\cdot 5+5\cdot 1}{32}=\frac{40+55}{32}=\frac{95}{32}.$$

つまり、1回目に表が3枚以上なら確定し、2枚以下なら投げ直すと最大になります。

(5)(iii) 硬貨を最大3回投げる場合

問題文

5枚の公平な硬貨を独立に投げ、表の枚数を得点とする。整数 $1\leqq m\leqq 5$ を決め、1回目が $m$ 以上なら確定する。未満なら1回目を捨て、2回目が $A=[5/2]+1=3$ 以上なら2回目の得点を賞金とし、未満ならそれも捨てて3回目の得点を賞金とする。各回は独立とする。期待値 $c_m$ の最大値を求めよ。

解答

$$\boxed{{\displaystyle max{c}_m=\frac{205}{64}}}(m=3)$$

解説

残り2回の最適な期待値は $b_A=95/32=2+31/32$ なので、初回の最適な基準も $B=[b_A]+1=3$ です。1回目が3未満となる確率は $1/2$、3以上で確定する場合の寄与は $55/32$ です。したがって

$$c_3=\frac{95}{32}\cdot \frac{1}{2}+\frac{55}{32}=\frac{95+110}{64}=\frac{205}{64}.$$