東京学芸大学 2007年度 過去問・解答

東京学芸大学2007年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

[I] 円と放物線の両方に接する直線

C₁ : x² + y² = 1（原点中心・半径1の円）、C₂ : y = x² + 5（放物線）とします。C₁ と C₂ の両方に接する直線を求めます。

方針：放物線の接線として立てて、円に接する条件を課す

「両方に接する」という条件を同時に扱うのは大変です。そこで片方の接線として表しておき、もう片方への接触条件を後から課すという手順をとります。

C₂ の接線を t で表す

C₂ 上の点 (t, t² + 5) における接線を l とします。y’ = 2x なので傾きは 2t。

y = 2t(x − t) + (t² + 5)　⇔　2tx − y − t² + 5 = 0

C₁ に接する条件

C₁ は原点中心・半径1の円なので、条件は「原点と直線 l の距離が1」。点と直線の距離の公式より

|2t·0 − 1·0 − t² + 5| / √{(2t)² + (−1)²} = |t² − 5| / √(4t² + 1) = 1

（分子の −t² + 5 の絶対値は |t² − 5| と書けます。）

t を求める

両辺に √(4t² + 1) を掛けて

|t² − 5| = √(4t² + 1)

両辺とも0以上なので、2乗しても同値です。

(t² − 5)² = 4t² + 1　⇔　t⁴ − 10t² + 25 = 4t² + 1　⇔　t⁴ − 14t² + 24 = 0

t² を1つの文字と見て因数分解します。

(t² − 2)(t² − 12) = 0　⇔　t² = 2, 12　⇔　t = ±√2, ±2√3

接線の方程式

t = ±√2 のとき：−t² + 5 = −2 + 5 = 3 なので

±2√2 x − y + 3 = 0

t = ±2√3 のとき：−t² + 5 = −12 + 5 = −7 なので

±4√3 x − y − 7 = 0

傾きが最小のもの

4本の傾きは 2√2 ≒ 2.83、−2√2 ≒ −2.83、4√3 ≒ 6.93、−4√3 ≒ −6.93。最小は t = −2√3 のときで

検算：t = 2√3 のとき接点は (2√3, 17)。接線 y = 4√3x − 7 と原点の距離は |−7|/√(48+1) = 7/7 = 1 ✓ 確かに単位円に接しています。
4本が y 軸に関して対称に2組現れるのは、C₁ も C₂ も y 軸対称だからです。図形の対称性から答えの本数を予測できると、解の取りこぼしに気づけます。

この年の学習ポイント

2曲線の共通接線を求める問題の定石は

(あ) 一方（式が扱いやすいほう）の接線を、接点の座標を媒介変数として表す
(い) もう一方に接する条件を課す

(い) の接触条件は、相手が円なら「中心との距離 = 半径」、放物線なら「判別式 = 0」と使い分けます。円に対して判別式を使うと計算が重くなるので、距離の公式を選ぶのが正解です。

また t⁴ − 14t² + 24 = 0 のような複2次式は t² を1文字と見て因数分解する — これも定番の処理です。

東京学芸大学2007年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。