東京学芸大学 2012年度 過去問・解答

東京学芸大学2012年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[I] 対称式で4乗の和を求める

3次方程式 x³ + ax² + bx + c = 0 の3つの解を α, β, γ とします。

(1) 解と係数の関係の証明

3次の係数が1で、α, β, γ が解なので

x³ + ax² + bx + c = (x − α)(x − β)(x − γ)

右辺を展開すると

x³ − (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x − αβγ

これが恒等式なので、各次数の係数を比較して

a = −(α + β + γ)、b = αβ + βγ + γα、c = −αβγ

すなわち

(2) α + β + γ = 1、α² + β² + γ² = 3、α³ + β³ + γ³ = 7 のとき α⁴ + β⁴ + γ⁴

基本対称式を順に求めていきます。以下、e₁ = α+β+γ、e₂ = αβ+βγ+γα、e₃ = αβγ と書きます。

ステップ1：e₂ を求める

(α + β + γ)² = (α² + β² + γ²) + 2(αβ + βγ + γα) なので

1² = 3 + 2e₂　⇔　e₂ = −1

ステップ2：e₃ を求める

3乗の和の展開公式を使います。

(α + β + γ)³ = (α³ + β³ + γ³) + 3(α + β + γ)(αβ + βγ + γα) − 3αβγ

1³ = 7 + 3 · 1 · (−1) − 3e₃　⇔　1 = 7 − 3 − 3e₃　⇔　e₃ = 1

ステップ3：α²β² + β²γ² + γ²α² を求める

(αβ + βγ + γα)² を展開します。

= (α²β² + β²γ² + γ²α²) + 2(α²βγ + αβ²γ + αβγ²)

後半は αβγ でくくれて 2αβγ(α + β + γ) = 2e₃e₁ となるので

(−1)² = (α²β² + β²γ² + γ²α²) + 2 · 1 · 1

α²β² + β²γ² + γ²α² = 1 − 2 = −1

ステップ4：4乗の和を求める

「2乗和の2乗」から「積の2乗の和」を引く、という2乗和の公式をもう一度使います。

α⁴ + β⁴ + γ⁴ = (α² + β² + γ²)² − 2(α²β² + β²γ² + γ²α²)

= 3² − 2 × (−1) = 9 + 2

検算：ニュートンの恒等式 p₄ = e₁p₃ − e₂p₂ + e₃p₁ を使うと

p₄ = 1 × 7 − (−1) × 3 + 1 × 1 = 7 + 3 + 1 = 11 ✓　まったく別の経路で同じ値が出ました。

この年の学習ポイント

べき乗の和 p_n = αⁿ + βⁿ + γⁿ は、基本対称式 e₁, e₂, e₃ さえ分かればすべて計算できます。

手順は「2乗の関係式を繰り返し使う」だけです。

e₁² = p₂ + 2e₂（2乗和 ⇔ e₂）
e₁³ = p₃ + 3e₁e₂ − 3e₃（3乗和 ⇔ e₃）
e₂² = (α²β²の和) + 2e₃e₁（積の2乗和）
p₂² = p₄ + 2(α²β²の和)（4乗和）

ポイントは「α², β², γ² を新しい3数と見る」という視点です。そう見れば、その基本対称式は p₂（和）、α²β²の和（2つずつの積の和）、e₃²（積）となり、同じ公式が再利用できます。

この「入れ子構造」に気づくと、6乗・8乗と次数が上がっても同じ手順で処理できます。

東京学芸大学2012年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。