東京学芸大学 2013年度 過去問・解答

東京学芸大学2013年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[I] 4つの実数についての連立方程式

実数 x, y, z, w が次の4式を満たすとします。

xy = 1　…①　／　z + w = 1　…②
xw + yz = 1　…③　／　yzw = 1　…④

(1) |x| ≠ 1 の証明

背理法で、x = 1 と x = −1 のそれぞれが矛盾を導くことを示します。

[1] x = 1 と仮定する

①より y = 1。これを③に代入すると

w + z = 1（②と同じ）

④に代入すると zw = 1。

したがって z, w は和が1、積が1の2数、すなわち2次方程式

t² − t + 1 = 0

の2解です。しかし判別式は

D = (−1)² − 4 · 1 · 1 = −3 < 0

となり、この方程式は異なる2つの虚数解をもちます。z, w が実数であることに矛盾。

したがって x ≠ 1。

[2] x = −1 と仮定する

①より y = −1。これを③に代入すると

(−1)w + (−1)z = 1　⇔　z + w = −1

これは②の z + w = 1 と矛盾します。

したがって x ≠ −1。

(1) は単独の設問に見えますが、(2) で x² − 1 で割るための準備です。「割ってよいことの保証」を先に取っておく — 誘導の意図を読み取ってください。

(2) x, y, z, w を求める

まず w を x で表す

③の両辺に x を掛けます。

x²w + xyz = x

①より xy = 1 なので xyz = z。したがって

x²w + z = x

②より z = 1 − w を代入して

x²w + 1 − w = x　⇔　(x² − 1)w = x − 1

(1) より |x| ≠ 1、つまり x² − 1 ≠ 0 なので、両辺を割れます。

w = (x − 1)/(x² − 1) = (x − 1)/{(x − 1)(x + 1)} = 1/(x + 1)　…⑤

z, y も x で表す

②より

z = 1 − w = 1 − 1/(x + 1) = x/(x + 1)　…⑥

①で x = 0 とすると 0 = 1 となり矛盾するので x ≠ 0。したがって

y = 1/x　…⑦

④に代入して x を決定する

⑤⑥⑦を ④（yzw = 1）に代入します。

(1/x) · {x/(x + 1)} · {1/(x + 1)} = 1

左辺の x が約分されて 1/(x + 1)² となるので

(x + 1)² = 1　⇔　x² + 2x = 0　⇔　x(x + 2) = 0

x ≠ 0 なので x = −2。

⑤⑥⑦に戻して

y = 1/(−2) = −1/2、z = (−2)/(−1) = 2、w = 1/(−1) = −1

検算：xy = (−2)(−1/2) = 1 ✓　z + w = 2 + (−1) = 1 ✓　xw + yz = (−2)(−1) + (−1/2)(2) = 2 − 1 = 1 ✓　yzw = (−1/2)(2)(−1) = 1 ✓　4式すべてを満たしています。

この年の学習ポイント

変数が4つある連立方程式ですが、方針は明快です。すべてを1つの文字（ここでは x）で表し、最後に残った1本の式で決定する。

その過程で (x² − 1)w = x − 1 という式が出ますが、ここで両辺を x² − 1 で割ってよいかどうかが最大の関門です。(1) がその保証を与えている — この誘導の構造を読み取れるかどうかが、この問題の実質的な難所でした。

一般に「割る」「2乗をはずす」「逆数をとる」といった操作の前には、0でないこと・符号・存在条件の確認が必要です。問題文が (1) でその確認を要求しているなら、それは (2) で使うためだと考えてください。

東京学芸大学2013年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。