東京学芸大学 2019年度 過去問・解答

東京学芸大学2019年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[I] 3次方程式が整数解と虚数解をともにもつ条件

a, b を整数とし、3次方程式

x³ + ax² + bx + 1 = 0

が整数解と虚数解をともにもつような (a, b) をすべて求めます。

整数解の候補を絞る

整数解を n とすると

n³ + an² + bn + 1 = 0　⇔　n(n² + an + b) = −1

n も n² + an + b も整数です。積が −1 になる整数の組は2通りしかありません。

(n, n² + an + b) = (1, −1) または (−1, 1)

定数項が 1 であることを利用した、この絞り込みが出発点です。一般に整数係数のモニック多項式の整数解は定数項の約数に限られます（ここでは 1 の約数、つまり ±1）。

[1] n = 1 の場合

n² + an + b = −1 に n = 1 を代入して 1 + a + b = −1、すなわち b = −a − 2。

方程式は x³ + ax² + (−a−2)x + 1 = 0。x = 1 が解なので (x − 1) で割り切れて

(x − 1){x² + (a + 1)x − 1} = 0

残りの2次方程式の判別式は

D = (a + 1)² + 4 > 0

つねに正なので、2次方程式の解は必ず実数。したがって虚数解が現れず、この場合は条件を満たしません。

定数項が −1（負）であることに注目すると、D = (a+1)² + 4 > 0 は計算せずとも予想できます。2次の係数と定数項が異符号なら、必ず異なる2実数解をもつからです。

[2] n = −1 の場合

n² + an + b = 1 に n = −1 を代入して 1 − a + b = 1、すなわち b = a　…①

方程式は x³ + ax² + ax + 1 = 0。x = −1 が解なので (x + 1) で割り切れて

(x + 1){x² + (a − 1)x + 1} = 0

虚数解をもつ条件は、この2次方程式の判別式が負であること。

D = (a − 1)² − 4 < 0　⇔　(a − 1 + 2)(a − 1 − 2) < 0　⇔　(a + 1)(a − 3) < 0

⇔ −1 < a < 3。a は整数なので a = 0, 1, 2。

①より b = a なので

検算

いずれも整数解 −1 と虚数解をともにもち、条件を満たしています。

境界の a = −1 と a = 3 を確かめると、なぜ除外されるかが分かります。
a = −1：x² − 2x + 1 = (x − 1)² で重解 x = 1。実数解なので不適。
a = 3：x² + 2x + 1 = (x + 1)² で重解 x = −1。これも実数解なので不適。
D = 0 は「重解」であって「虚数解」ではない — 不等号に等号を含めない理由です。

この年の学習ポイント

整数解を扱う3次方程式の手順は次のとおりです。

(あ) 整数解 n を仮定して、定数項が n の倍数になることから n の候補を絞る（ここでは n(n²+an+b) = −1 という積の形が直接候補を与えました）
(い) 各候補について、n を解にもつことから係数の関係式を出す
(う) 因数定理で (x − n) をくくり出し、残った2次式の判別式で虚数解の有無を判定する

この3ステップは、整数条件と複素数条件が同時に問われる問題の標準的な流れです。「積が ±1」という強い制約を作れるかどうかが最初の関門になります。

東京学芸大学2019年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。