学習院大学 2016年度 過去問・解答

学習院大学2016年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

問1(1)　途中から始まるΣの計算

Σ_k=2n³ⁿ(3k² + 5k − 1) を n の式で表します。

k = 1 から始まる形に直す

Σ の公式は k = 1 から始まる形でしか使えません。そこで差の形に書き換えます。

Σ_k=2n³ⁿ = Σ_k=1³ⁿ − Σ_k=1²ⁿ⁻¹

引く側の上端が 2n − 1（2n ではない）ことに注意してください。k = 2n の項は残したいので、その1つ手前まで引きます。ここを 2n としてしまうのが最頻出のミスです。

公式を適用する

Σ_k=1^Nk² = N(N+1)(2N+1)/6、Σ_k=1^Nk = N(N+1)/2、Σ_k=1^N1 = N を使います。

N = 3n のとき

3·{3n(3n+1)(6n+1)/6} + 5·{3n(3n+1)/2} − 3n

N = 2n − 1 のとき

3·{(2n−1)2n(4n−1)/6} + 5·{(2n−1)2n/2} − (2n − 1)

差を計算して整理すると

= (38n³ + 64n² + 26n)/2 − (n + 1) = 19n³ + 32n² + 13n − n − 1

検算：n = 1 のとき Σ_k=2³(3k²+5k−1) = (12+10−1) + (27+15−1) = 21 + 41 = 62。公式は 19 + 32 + 12 − 1 = 62 ✓
n = 2 のときも直接計算 303 と公式 152 + 128 + 24 − 1 = 303 が一致します ✓　n = 1, 2 で必ず検算してください。この種の計算は途中で1項ずれても、最終形だけ見ても気づけません。

問1(2)　12⁴⁰ の桁数

log₁₀2 = 0.301、log₁₀3 = 0.477 として、12⁴⁰ の桁数を求めます。

桁数の定義を不等式にする

a が n 桁の数 ⇔ 10ⁿ⁻¹ ≦ a < 10ⁿ

常用対数をとると（log₁₀ は単調増加なので不等号の向きは変わらない）

n − 1 ≦ log₁₀a < n

つまり「log₁₀a の整数部分 + 1 が桁数」ということです。

log₁₀12⁴⁰ を計算する

12 = 2² × 3 なので log₁₀12 = 2log₁₀2 + log₁₀3。

= 2(0.301) + 0.477 = 0.602 + 0.477 = 1.079

したがって

log₁₀12⁴⁰ = 40 × 1.079 = 43.16

桁数を読み取る

n − 1 ≦ 43.16 < n を満たす整数 n は n = 44。

検算：12⁴⁰ を実際に計算すると 44桁の数になります ✓
整数部分が43なので桁数は44 — この「+1」を忘れないでください。「log の値の整数部分 + 1 が桁数」と覚えるのが確実です。

この年の学習ポイント

(1) の「途中から始まるΣは、差で表す」は必須の技術です。

Σ_k=p^q = Σ_k=1^q − Σ_k=1^p−1

引く側の上端が p − 1 であることを、毎回声に出して確認してください。

(2) の桁数問題は、「10ⁿ⁻¹ ≦ a < 10ⁿ」という定義から出発するのが正攻法です。公式を暗記するより、この不等式を書いてから対数をとるほうが、小数第何位を問う問題（負の指数の場合）にも同じ手順で対応できます。

学習院大学2016年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。