学習院大学 2021年度 過去問・解答

学習院大学2021年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

問1(1)　絶対値つきの定積分

∫₋₁²|x³ − 3x|dx を求めます。

まず中身の符号を調べる

x³ − 3x = x(x² − 3) = x(x − √3)(x + √3)

3つの因数の符号から、数直線上で符号は次のように変わります（√3 ≒ 1.732）。

積分区間 [−1, 2] のうち、符号が変わるのは x = 0 と x = √3 の2か所です（−√3 ≒ −1.73 は区間外）。

3つに分けて積分する

絶対値をはずすと

∫₋₁⁰(x³ − 3x)dx + ∫₀^√3{−(x³ − 3x)}dx + ∫_√3²(x³ − 3x)dx

原始関数は x⁴/4 − (3/2)x² なので、順に計算します。

合計 5/4 + 9/4 + 1/4 = 15/4

検算：数値積分でも 3.75 = 15/4 と一致します ✓
絶対値つきの積分は、符号が変わる点で必ず区間を分けるのが鉄則です。ここで区間内にある符号変化点が 0 と √3 の2つだけ（−√3 は区間外）と正しく判定できるかが第一関門です。

問1(2)　等比数列の和が600を超える最小の n

初項5、公比1.2 の等比数列の初項から第 n 項までの和を S_n とし、S_n > 600 となる最小の自然数 n を求めます。

和の公式を適用する

S_n = 5(1 − 1.2ⁿ)/(1 − 1.2) = 5(1 − 1.2ⁿ)/(−0.2) = 25(1.2ⁿ − 1)

不等式を指数の形に整理する

25(1.2ⁿ − 1) > 600　⇔　1.2ⁿ − 1 > 24　⇔　1.2ⁿ > 25

常用対数をとる

両辺は正なので、単調増加な log₁₀ をとっても不等号の向きは変わりません。

n·log₁₀1.2 > log₁₀25 = 2log₁₀5

1.2 = 12/10 = 2²·3/10 なので

log₁₀1.2 = 2log₁₀2 + log₁₀3 − 1 = 2(0.301) + 0.477 − 1 = 0.079

5 = 10/2 なので log₁₀5 = 1 − log₁₀2 = 1 − 0.301 = 0.699。したがって右辺は 2 × 0.699 = 1.398。

0.079n > 1.398　⇔　n > 17.69…

n は自然数なので

検算：S₁₇ = 25(1.2¹⁷ − 1) ≒ 529.7（600以下）、S₁₈ ≒ 640.6（600超）✓　確かに18が最小です。
1.2 や 5 のような値は、2・3・10 の組合せに分解してから対数をとります。log₁₀2 と log₁₀3 の値だけ与えられていれば、多くの数の対数はこの方法で計算できます。

この年の学習ポイント

(1) は「符号が変わる点で積分区間を分ける」という絶対値積分の基本。因数分解して符号表を作るところまでを、機械的に実行できるようにしてください。

(2) は「指数不等式は対数をとる」という定石ですが、実務上のポイントは与えられた対数の値だけで計算できる形に分解することです。

log₁₀1.2 = log₁₀(2²·3/10) = 2log₁₀2 + log₁₀3 − 1
log₁₀5 = log₁₀(10/2) = 1 − log₁₀2

この2つの分解は頻出なので、その場で作れるようにしておきましょう。

学習院大学2021年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。