一橋大学 2016年度 過去問・解答

一橋大学 2016年度（前期）数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と全数探索・数値計算による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

〔1〕指数方程式の整数解　答：

、 と直すと、方程式は まず小さい で実験します。 が解です。

残るは「 に解がない」ことの論証です。両辺を で割ると 左辺の第1項は より単調増加、第2項は正。 のとき なので、 では左辺 となり等号は成立しません。したがって のみ。【定石】指数方程式の整数解は「実験で解を見つけ、単調性で他を排除」が王道。割り算で の形を作ると単調性が一目で言えます（〜 を総当たりしても解は のみと確認済み）。

〔2〕三項間漸化式と三角関数　答：

三角関数の和積（あるいは加法定理を2本足す）から、任意の について次の恒等式が成り立ちます。 すなわち

一方、 が与えられた漸化式 を満たすとは が全ての で成り立つこと。2式を辺々引くと もし なら、すべての で が必要ですが、 から 、すると となって矛盾します。よって 。【定石】「数列が三角関数で書ける」タイプは、チェビシェフ型の恒等式 と係数比較するだけ。実際 とすると となり、 と まで機械精度で一致することを確認済みです。

〔3〕2枚の硬貨の状態推移　答： のとき ， のとき

状態を「表2枚」「表裏1枚ずつ」「裏2枚」の3つに分け、それぞれの確率を とします。操作の規則から推移は次のとおりです。

表2枚・裏2枚のときは2枚とも投げるので、行き先は表2枚 、1枚ずつ 、裏2枚 。1枚ずつのときは表の1枚だけ投げるので、表が出れば1枚ずつのまま 、裏が出れば裏2枚 。よって 2回目以降を待たずに、1回操作しただけで「1枚ずつ」の確率は必ず に固定されます。これが本問の急所です。

で 、したがって 。さらに なので では 、ゆえに 初回だけは別で、表2枚から2枚投げるので 。【定石】状態推移の問題は「和が1」を積極的に使うと、漸化式が一気に潰れます。今回は が定数になった瞬間に勝負あり。実際に行列を8回まで回して で に落ち着くことを確認済みです。

〔4〕絶対値つき3次関数のミニマックス　答： の最小値 （）

は奇関数なので は偶関数。区間 での最大は だけ調べれば十分です。

のときは が で増加し なので 。 のときは より が極小点で では 内で は と動くので

は増加、（ のとき）は減少。したがって2つが等しくなる点で は最小になります。 を代入すると左辺 、右辺 で一致。よって の最小値は 、そのとき 。

実際 では 、 となり、区間内で が を3回（ で符号を変えて）取る「振動が均等な状態」になっています。【定石】ミニマックス問題は「増加する量」と「減少する量」の を最小化する形に持ち込み、2つが等しくなる点を狙う。 を 〜 で20万分割した数値探索でも最小値 （）と一致しました。

〔5〕[Ⅰ] ベクトルの大きさの比　答：

、なす角 より 。2乗して考えます。 とおくと

この を微分すると、分子は となり、 では常に負。すなわち は で狭義単調減少です。両端の極限は なので の値域は開区間 。よって の範囲がこれで、 （ なので両端は取りません）。【定石】ベクトルの比は「2乗して の1変数関数に落とす」。分数関数の値域は微分で単調性を示すのが最短で、判別式を使うと の条件が落ちて余分な範囲を拾うので注意（検算： で 、 で ）。

〔5〕[Ⅱ] 相関係数　答：(2) 　(3)

(1) 定義どおり展開するだけです。 ここで を代入すると

(2) の合計は 、 の合計は （平均 ）。(1) の公式を使うと の平方和は の平方和は したがって 【定石】 が の相殺でちょうど だけになるのが本問の仕掛け。(1) の公式を使わずに定義で計算すると、平均が分数になって計算が破綻します。

(3) を 増やしても値が同じ、すなわち 。 を代入すると分母の中身は になるので 両辺を2乗して整理すると の整数だから 。このとき 四捨五入して小数第1位まで求めると 。【定石】判別式が ときれいに開くのは出題者のサイン。実際に と の両方で相関係数を計算すると、どちらも で完全に一致します。