一橋大学 2018年度 過去問・解答

一橋大学2018年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

[1] 各位の和を用いた方程式 n = 30S(n) + 2018

正の整数 n の各位の数の和を S(n) と表します。

(1) n ≧ 10000 のとき n > 30S(n) + 2018 であることの証明

n が m 桁（m ≧ 5）の数だとすると

n の最小値は 10^m−1（1000…0 の形）
S(n) の最大値は 9m（999…9 の形）

したがって

n − 30S(n) − 2018 ≧ 10^m−1 − 270m − 2018

右辺を a_m とおきます。まず m = 5 で

a₅ = 10⁴ − 1350 − 2018 = 10000 − 3368 = 6632 > 0

次に増加することを示します。

a_m+1 − a_m = (10^m − 10^m−1) − 270 = 9·10^m−1 − 270

m ≧ 5 なら 9·10^m−1 ≧ 9·10⁴ = 90000 なので、この差は 89730 以上で正。よって {a_m} は m ≧ 5 で単調増加。

a₅ > 0 かつ単調増加なので、m ≧ 5 のすべてで a_m > 0。

n は指数関数的に増えるのに対し、S(n) は高々 9m（桁数に比例）にしかなりません。この「けた違いの成長速度の差」が、解の存在範囲を有限に閉じ込めます。各位の和がからむ問題では必ず使う評価です。

(2) n = 30S(n) + 2018 を満たす n をすべて求める

(1) より n ≦ 9999 に限られます。

[i] n が3桁以下のとき

左辺 n は999以下ですが、右辺は 30S(n) + 2018 ≧ 2018 + 30 > 2000。大小が合わないので解なし。

[ii] n が4桁のとき

n = 1000a + 100b + 10c + d（a は1〜9、b, c, d は0〜9）とおくと S(n) = a + b + c + d なので

1000a + 100b + 10c + d = 30(a + b + c + d) + 2018

970a + 70b − 20c − 29d = 2018　…①

1の位に注目するのが決め手です。左辺のうち 970a、70b、20c はすべて10の倍数なので、①の1の位は −29d の1の位で決まります。

2018 の1の位は 8。−29d ≡ d (mod 10)（−29 ≡ 1 mod 10 だから）なので、d = 8 が必要です。

d = 8 を①に代入して 970a + 70b − 20c = 2018 + 232 = 2250。10で割ると

97a + 7b − 2c = 225　…②

次に a を絞ります。0 ≦ 7b ≦ 63、0 ≦ 2c ≦ 18 なので

97a = 225 − 7b + 2c ≦ 225 + 18 = 243　かつ　97a ≧ 225 − 63 = 162

162 ≦ 97a ≦ 243 より a = 2（a = 1 だと 97 で小さすぎ、a = 3 だと 291 で大きすぎ）。

解答PDFでは a = 1 も候補として残していますが、その場合 7b − 2c = 128 となり、7b ≦ 63 なので成立しません（同じ結論に至ります）。上のように下限も同時に評価しておくと、一発で a = 2 に絞れます。

a = 2 のとき：② は 194 + 7b − 2c = 225、すなわち 7b = 31 + 2c。

（31 + 2c が7の倍数になるのは 2c ≡ 4 (mod 7)、すなわち c ≡ 2 (mod 7) のとき。0 ≦ c ≦ 9 では c = 2, 9。）

したがって (a, b, c, d) = (2, 5, 2, 8) と (2, 7, 9, 8)。

検算：2528 の各位の和は 2+5+2+8 = 17。30 × 17 + 2018 = 510 + 2018 = 2528 ✓
2798 の各位の和は 2+7+9+8 = 26。30 × 26 + 2018 = 780 + 2018 = 2798 ✓

この年の学習ポイント

各位の和 S(n) がからむ整数問題の手順は決まっています。

(あ) S(n) ≦ 9 × (桁数) という不等式で、n の範囲を有限に絞る／(い) 各位を文字でおいて方程式に直す／(う) 1の位（mod 10）に注目して1文字を確定させる／(え) 残った文字は範囲の評価で絞る。

特に (う) の 「10の倍数の項をすべて消して、1の位だけを見る」 という操作が強力です。この問題では d = 8 が一発で決まり、未知数が4個から3個に減りました。

一橋大学2018年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。