北海道大学 2017年度 過去問・解答

第1問｜連続する整数の積と平方数

方針

等式から \(a\) を求め、示すべき下限との差を因数分解します。(2)では(1)に \(a=7\) を入れることで、未知数 \(k\) の候補を2つに絞れます。

解答・解説

\[ a=(n+k)^2-n(n+1) \] なので \[ a-(k^2+2k-1) =(2k-1)(n-1)\ge0. \] \(n,k\) は自然数だから両因子は非負です。よって \[ \boxed{a\ge k^2+2k-1}. \]

\(n(n+1)+7=(n+k)^2\) と置きます。(1)より \[ 7\ge k^2+2k-1 \quad\Longleftrightarrow\quad (k+4)(k-2)\le0. \] \(k\) は自然数なので \(k=1,2\) です。元の等式へ戻ると、 \[ k=1\Rightarrow n=6,\qquad k=2\Rightarrow n=1. \] いずれも条件を満たすため \[ \boxed{n=1,\ 6}. \]

第2問｜円周上の2点と中点ベクトル

方針

直交条件を内積で表し、中点の位置ベクトル \(\overrightarrow{OR}=(\vec p+\vec q)/2\) と組み合わせます。(2)では \(\overrightarrow{OB}=k\vec a\) と置き、変動する \(\vec p\cdot\vec q\) の係数を0にします。

解答・解説

直交条件より \[ (\vec p-\vec a)\cdot(\vec q-\vec a)=0 \] だから \[ \vec a\cdot(\vec p+\vec q)=\vec p\cdot\vec q+r^2. \tag{1} \] また \[ \overrightarrow{OR}=\frac12(\vec p+\vec q). \] \(|\vec p|=|\vec q|=1\) と(1)を使うと \[ |\overrightarrow{AR}|^2 =\left|\frac12(\vec p+\vec q)-\vec a\right|^2 =\boxed{\frac12(1-\vec p\cdot\vec q)}. \]

\(\overrightarrow{OB}=k\vec a\) と置くと \[ |\overrightarrow{BR}|^2 =\frac12+\left(\frac12-k\right)\vec p\cdot\vec q+(k^2-k)r^2. \] \(P,Q\) によらず一定にするには \[ \frac12-k=0, \] すなわち \(k=1/2\) です。したがって \(B\) は線分 \(OA\) の中点で、 \[ \boxed{|\overrightarrow{BR}|^2=\frac14(2-r^2)}. \]

第3問｜正四面体上のランダムウォーク

方針

\(n+1\) 秒後に \(A\) にいる経路を、「\(n\) 秒後も \(A\) にいて留まる」「\(A\) 以外にいて \(A\) へ移る」の2つに分けます。

解答・解説

\[ p_{n+1}=p_n(1-a)+(1-p_n)\frac a3 =\boxed{\left(1-\frac{4a}{3}\right)p_n+\frac a3}. \]

定常値 \(1/4\) を引くと \[ p_{n+1}-\frac14 =\left(1-\frac{4a}{3}\right)\left(p_n-\frac14\right). \] \(p_0=1\) より \[ p_n-\frac14=\frac34\left(1-\frac{4a}{3}\right)^n. \] したがって \[ \boxed{p_n=\frac34\left(1-\frac{4a}{3}\right)^n+\frac14}. \]

第4問｜積分を含む関数方程式と極大条件

方針

積分値を定数 \(A\) と置き、両辺を \([-1,1]\) で積分します。(2)は導関数が上に開く2次式なので、\(x>1\) に異なる2実根をもち、左側の根で極大となる条件を調べます。

解答・解説

\[ A=\int_{-1}^{1}f(t)\,dt \] と置くと、奇関数部分の積分は0だから \[ A=2\int_0^1(-at^2+A)\,dt =-\frac{2a}{3}+2A. \] よって \(A=2a/3\)。\(f(0)=A\) なので \[ \boxed{f(0)=\frac{2a}{3}}. \]

導関数は \[ f'(x)=x^2-2ax+a^2-b=(x-a)^2-b. \] \(x>1\) に異なる2つの零点があり、左の零点で符号が正から負へ変わるための条件は \[ a>1,\qquad b>0,\qquad f'(1)>0. \] \(f'(1)=(a-1)^2-b\) なので \[ \boxed{a>1,\qquad01\) において \(b=0\) と放物線 \(b=(a-1)^2\) に挟まれた部分です。境界線はいずれも含みません。

第1問｜平方数となる自然数の決定

方針

等式から \(a\) を求め、下限との差を因数分解します。その不等式を使うと(2)の \(k\) は3候補まで絞れます。

解答・解説

\[ a-(k^2+2k-1) =\{(n+k)^2-n(n+1)\}-(k^2+2k-1) =(2k-1)(n-1)\ge0. \] よって \(\boxed{a\ge k^2+2k-1}\) です。

\(n(n+1)+14=(n+k)^2\) と置くと \[ 14\ge k^2+2k-1 \quad\Longleftrightarrow\quad (k+5)(k-3)\le0. \] 自然数 \(k\) は \(1,2,3\)。元の等式を解くと \[ k=1\Rightarrow n=13,\quad k=2\Rightarrow n=\frac{10}{3}\ (\text{不適}),\quad k=3\Rightarrow n=1. \] したがって \(\boxed{n=1,\ 13}\) です。

第2問｜三角関数を含む関数の増減と絶対値積分

解答・解説

\[ f'(x)=x\sin x. \] よって \(0

部分積分より \[ \int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x. \] したがって \[ \boxed{\int f(x)\,dx=x-2\cos x-x\sin x+C}. \]

増減と \(f(3\pi/2)=0\) から、符号が変わるのは \(x=3\pi/2\) です。原始関数を \[ F(x)=x-2\cos x-x\sin x \] とすると \[ \int_0^{2\pi}|f(x)|\,dx =\{F(3\pi/2)-F(0)\}+\{F(3\pi/2)-F(2\pi)\} =\boxed{4\pi+4}. \]

第3問｜外心条件と複素数の存在範囲

方針

外心なので \(P\) は3頂点から等距離です。まず \(|z|=|z-\beta|\) と \(z=\alpha\beta\) を組み合わせます。

解答・解説

\[ |z|=|z-\beta| \] に \(z=\alpha\beta\) を代入すると \[ |\alpha||\beta|=|\alpha-1||\beta|. \] \(\beta\ne0\) より \[ |\alpha|=|\alpha-1|. \] したがって点 \(A\) は \(0\) と \(1\) から等距離であり、 \[ \boxed{\operatorname{Re}\alpha=\frac12} \] という直線上を動きます。

同様に \(\operatorname{Re}\beta=1/2\)。実数 \(u\ne v\) を用いて \[ \alpha=\frac12+ui,\qquad \beta=\frac12+vi \] と置きます。\(z=X+Yi=\alpha\beta\) から \[ uv=\frac14-X,\qquad u+v=2Y. \] \(u,v\) が異なる実数である条件は、2次方程式 \[ t^2-2Yt+\left(\frac14-X\right)=0 \] の判別式が正であることです。よって \[ 4Y^2-4\left(\frac14-X\right)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{X>-Y^2+\frac14}. \] 境界の放物線は含みません。

第4問｜サイコロの和が初めて10以上になる確率

解答・解説

10回目まで続くには最初の9回がすべて1で、10回目は何が出ても終了します。したがって \[ \boxed{p_{10}=\left(\frac16\right)^9}. \]

9回目で終了するのは、最初の8回がすべて1で最後に2以上が出る場合、または最初の8回に2が1回・1が7回出て9回目に任意の目が出る場合です。 \[ p_9=\left(\frac16\right)^8\frac56 +\binom87\left(\frac16\right)^8 =\boxed{\frac{53}{6^9}}. \]

3回目に初めて10以上となる組を、最初の2回の和ごとに数えます。和が4,5,6,7,8,9の組数は順に \(3,4,5,6,5,4\)、必要な3回目の目の個数は順に \(1,2,3,4,5,6\) です。よって \[ p_3=\frac{3\cdot1+4\cdot2+5\cdot3+6\cdot4+5\cdot5+4\cdot6}{6^3} =\boxed{\frac{11}{24}}. \]

第5問｜3点までの距離平方和が定める円

方針

距離平方和を平方完成すると、\(D\) は中心が固定された円板になります。包含関係は中心から頂点・辺までの距離で判定します。

解答・解説

\(P=(x,y)\) として展開すると \[ AP^2+BP^2+CP^2 =3\{(x-2)^2+(y-1)^2\}+4. \] よって \[ D:\quad (x-2)^2+(y-1)^2\le\frac{a-4}{3}. \] したがって \(D\) が空でない条件は \[ \boxed{a\ge4}. \]

中心 \(E=(2,1)\) から頂点までの距離は \[ EA=\sqrt2,\qquad EB=EC=1. \] 円板が三角形全体を含むには半径が最大の \(\sqrt2\) 以上であればよいので \[ \sqrt{\frac{a-4}{3}}\ge\sqrt2 \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{a\ge10}. \]

円板が三角形内に収まるためには、半径が中心 \(E\) から3辺までの距離の最小値以下であることが必要十分です。各辺への距離は \[ \frac1{\sqrt5},\quad\frac1{\sqrt2},\quad\frac1{\sqrt5} \] なので最小値は \(1/\sqrt5\)。したがって \[ \sqrt{\frac{a-4}{3}}\le\frac1{\sqrt5}. \] (1)と合わせて \[ \boxed{4\le a\le\frac{23}{5}}. \]