藤原進之介です。このページでは北海道大学2019年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
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北海道大学 2019年度 文系数学｜全4問の解答・解説
問題文を確認した直後に、方針・途中式・最終答案・検算ポイントを読める構成です。数式はTeXを用いて表示しています。
第1問｜空間ベクトルと三角形の内部条件
問題文
を負の実数とする。座標空間に原点 と3点 , , があり、3点 が定める平面を とする。 点 から平面 に垂線を下ろし、 との交点を とする。
- となる実数 を で表せ。
- 点 が三角形 の周または内部にあるような の範囲を求めよ。
方針
射影点 は平面上にあるため、まず を の一次結合で置きます。 次に、垂線条件 , を内積で式にします。 (2)では、三角形内部の条件 を使います。
解答・解説
より、 したがって
2本の垂直条件から 連立して
点 が三角形 の周または内部にある条件は 前二つから 。また より 。もともと であり、この範囲はそれも満たします。したがって
端点 では となり 。 では となり、 は辺 上にあります。
第2問｜2直線のなす角と相加・相乗平均
問題文
を正の実数とし、座標平面上に , , をとる。 直線 と直線 のなす鋭角を とする。
- を で表せ。
- における の最大値と、そのときの を求めよ。
方針
各直線の傾きを直接使うより、各直線が 軸の正方向となす角を と置き、 に対して正接の差の公式を使うと整理しやすくなります。最大値は分母を最小にする問題へ変換します。
解答・解説
なので 分子・分母を整理すると
より 相加・相乗平均より よって 等号は 、すなわち のとき成立します。したがって
分数関数を微分しても解けますが、 の形を作れば、相加・相乗平均で短く処理できます。
第3問｜1と2からなる数列・フィボナッチ型漸化式
問題文
各項が1または2である有限数列のうち、全項の和が となるものの個数を とする。 である。
- を求めよ。
- のとき、 を で表せ。
- を満たす実数 の組を1組求めよ。
- を求めよ。
方針
和が の数列を先頭項が1の場合と2の場合に分ければ、直ちに2項間の漸化式が得られます。 一般項は特性方程式 の2根を使って求めます。
解答・解説
和が3となるものは の3通りなので
先頭項が1なら、残りの和は で 通り。先頭項が2なら、残りの和は で 通りです。よって
指定された式を展開すると 元の漸化式と係数を比較して したがって は の2根です。例えば
と置くと、初期条件 より
を代入すると1、 では2、 では3となり、初期値と列挙結果の両方に一致します。
第4問｜恒等式と三次方程式の実数解
問題文
実数 に対し とする。一次関数 があり、すべての に対して が成立している。
- を で表せ。
- 方程式 が異なる3個の実数解をもつような の範囲を求めよ。
方針
と置いて恒等式の係数を比較します。3次方程式が異なる3実根をもつ条件は、極大値が正、極小値が負になることです。 与えられた恒等式を極値をとる点で使うと、値の計算が一気に簡単になります。
解答・解説
と置くと 恒等式の右辺を展開し、 の係数を比較すると 前二式から 。これを残りへ代入して
このとき よって で極大、 で極小です。 異なる3実根をもつための必要十分条件は
極値点では なので、与式 から したがって よって
極値を直接 に代入して展開する必要はありません。設問で与えられた恒等式を の点で利用するのが最短です。
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北海道大学 2019年度 理系数学｜全5問の解答・解説
問題文・解法方針・主要な途中式・最終答案・検算ポイントを大問ごとに整理しました。
第1問｜平面への正射影と三角形の内部条件
問題文
とする。原点 、、、 があり、 の定める平面を とする。 から に下ろした垂線の足を とする。
- 点 の座標を で表せ。
- が三角形 の周または内部にあるための の範囲を求めよ。
方針
は平面上にあるので と置きます。 が平面内の2本の独立なベクトルに垂直であることを内積で表します。
解答・解説
, より これを解いて したがって
三角形の周または内部にある条件は よって したがって
第2問｜連続整数の積と最大公約数
問題文
を自然数、 とし、 と の最大公約数を とする。
- が偶数であることを示せ。
- が8で割り切れないことを示せ。
- 5以上の素数 に対し、 が で割り切れないことを示せ。
- を示し、 となる を1つ求めよ。
方針
共通の約数は2数の差も割ります。 を利用し、2・3以外の素因数を排除します。さらに8と9で割り切れないことから指数を制限します。
解答・解説
の一方は偶数なので は偶数です。同様に も偶数。よって
仮に とすると なので 。 と書けます。このとき は2を1個しか因数にもたず、8の倍数ではありません。矛盾より
5以上の素数 が を割ると仮定します。 かつ より 。 と置くと となり に反します。よって5以上の素数は の因数になりません。
したがって 。8で割り切れないので 。 同様に、もし なら から ですが、 とすると となり矛盾します。よって 。 では で よって一例は です。
第3問｜有理関数の極値と中点の軌跡
問題文
とし、 で とする。
- が極大値と極小値を1つずつもつことを示せ。
- 極大点を 、極小点を としたとき、線分 の中点の軌跡を求めよ。
解答・解説
微分すると 分母は定義域で正、 なので、符号は で決まります。、 であり、 は異なる2実根 をもちます。符号変化から で極大、 で極小となります。
根と係数の関係より 中点を とすると また を用いて を整理すると より から 。したがって軌跡は
第4問｜引き直しを含む得点の確率
問題文
箱 にそれぞれ1から の札がある。Aは箱Xから1枚引き、その番号を得点とする。 Bは箱Yから1枚引き、3以上ならその番号を得点とする。1または2なら札を戻してもう一度引き、2回目の番号を得点とする。
- Bの得点が となる確率を求めよ。
- Bの得点がAより大きい確率 を求めよ。
解答・解説
Bの得点を とする確率を とします。 では1回目に1または2を引き、2回目に を引くので では、1回目に直接 を引く場合と引き直しで を引く場合を加えて
Bの得点が のとき、Aの得点が 未満となる確率は です。よって これを代入して整理すると
が大きいと 。AとBがほぼ対称になることと整合します。
第5問｜積分で定義された関数列
問題文
で連続な に対し とする。また
- を で表せ。
- とし、 の一般項を で表せ。
- が によらない定数となる を1つ求めよ。
方針
を用いると、 は の一次結合になります。 直交積分により を読み取ります。
解答・解説
、 より
と置くと したがって奇数・偶数に分けて
とすると よって 、すなわちすべての で 。さらに です。 求める一例は
北海道大学 数学 過去問｜他の年度を見る
北海道大学の数学の過去問は25年度ぶんを公開しています。そのうち3年度は全問の解答解説つきです（「解説」の印がついた年度）。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
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問題PDFをテキストでも確認
北海道大学 2019年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 数列
- 関数・グラフ
- 整数
- 空間図形
- 図形・三角関数
- 確率・場合の数
- 微分・積分
この年度の出題範囲と傾向
2019年度の問題PDFでは、数列、関数・グラフ、整数、空間図形、図形・三角関数に関する語句や設問を確認できました。北海道大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は24年度、関数・グラフは24年度、微分・積分は24年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 数列、関数・グラフ、空間図形、図形・三角関数、整数
(12) 点QがAOAB の周または内部にあるようなヵ の範囲を求めよ。
*を正の実数とし, 座標平面上に3点A(x. 0), B(-2.2). C(-3,3)%
とる。直線 AB と直線 ACのなす角を9とする。ただし、 0 く9く< とする。
(1]) tenのを*で表せ。
(2) * > 0 における tan 9 の最大値およびそのときの* の値を求めよ。
= 2 = M9 (517-92)
ヶ を自然数とする。 数列 2 , 1 , 2 . 1 , 1 のように各項が 1 または 2 の有限数列
(項の個数が有限である数列) を考える。各項が 1 または2 の有限数列のうちすべ
ての項の和がヵとなるものの個数を s, とする。例えば. ヵ=1のときは, 1項
からなる数列 1 のみである。したがって, si 1 となる。ヵ= 2のときは. 1項
からなる数列 2 と 2 項からなる数列1, 1の2つである。したがって, 2 =2E
なる。
(1) jaを求めよ。
2) ヵ=3のとき,s。をs-ュとs』- を用いて表せ。
(8 3以上のすべてのヵに対して5』ー 055-1 = B(Su-1 — gs。-うが成り立つよ
うな実数. # の組(, のを1組求めよ。
A を求めよ。
[4] dia. 7 cに対し関数7Gの=パー3em な二を考える。 RMI
2(*) があり, fle) とその導関数/ (*)は.。 すべてのに対し等式
FHS (a(x) — 6x を満たしているとする。
() 5と<を4で表せ。
(2 SIAM (x) = 0 が時なる 3 HORBMESIES C, a OMOEA
定めよ。
== Be M9(517—93)
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問2画像OCR
検出分野: 整数、関数・グラフ、確率・場合の数、図形・三角関数、空間図形
(2) 点QがAOAB の周または内部にあるようなかヵの範囲を求めよ。
WARMED, a= n(n DETS. SBI, ay とrs の最大公約数を
dy EFS.
(Dd, は偶数であることを示せ。
(2) の,は8 で割り切れないことを示せ。
(3) ヵを5以上の素数とするとき, 2, はヵで割り切れないことを示せ。
4) の ミ 12 を示せ。また, 9, ニ 12 となるようなヵを1 つ求めよ。
?を0 <7く1を満たす実数とする。 0以外のすべての実数*で定義き
れた関数
7の=
を考える。
(1) FQ) は筐大値と本小値を1つずつもつことを示せ。
QD fe) OBKMESAS «OWE a, HNAE TAS OWE BEL, RAP
HEIL APC, fla), QB, (ADEE S. 128061 < 1 Bile AAS
BCT SLE, 線分 PQ OAM OMBERDE.
=e M10(517—-95)
ヵを3 以上の自然数とする。 2 つの箱X とYがあり, LESSORS IDS
ヵまでのヵ 枚の番号札が入っている。
AとBの2人のうち、Aは箱Xから札を1枚取り出し, 取り出した札の番号
を得点とする。Bは箱Yから札を1枚取り出し, もし取り出した札の番号が
3 からヵまでのいずれかであればその番号を得点とし. もし取り出した札の番
号が 1 または 2 のいずれかであれば, その札を箱Y に戻し, 再び箱Y から札を
1 枚取り出し, 取り出した札の番号をB の得点とする。
(1) をヵ以下の自然数とする。B の得点が 婦 になる確率を求めよ。
2) A の得点より B の得点が大きくなる確率。 を求めよ。
f(x) を区間[0. z]で連続な関数とする。関数,(*). <)...... を関係式
fle) =F),
fari@)=2eosr+% f"p,(esin’y— Hat (w= 1, 2, 8,0)
CEDEDS. SSK, 自然数に対して
=んのsnr ちこを(のcesrg
とおく。
(1) duen ciをの。 by を用いて表せ。
2) 。 = 1 とおく。このとき, cr ニー co が成立することを示し.
一般項c。 をgi & by を用いて表せ。
B) ay 5。がヵによらない定数となるようなげ(*ひを1つ求めよ。
一ま 一 やM10(517一96)
ES a Te] vet ー
7 0
Coat a 4g ty ys ah: SRR. TE me pg
ew, ft es, a. BY Foie a ~ = | a=
oe Se Ss at See a my 1
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