金沢大学 2009年度 過去問・解答

(1) ア 2sin? cos”, sint 6 + cost@ の大小を比べよ。また, この3つ
の値が等してなる9 をすべて求めよ。
(2) 9 は (1) で求めた値とは異なる定数とする。
G) 2 次方程式 2(z) = 0 の判別式を り() とするとき, ARAB
3k D(t) =0 DMF a, B (a < f) ER,
の 6
/ D(t)at =~?
となるととを示せ。
(i) 2 つの 2 次方程式 /() = 0, 9(z) = 0 の一方が異なる 2つの
実数解をもゃち, 他方が虚数解をもつためのょの範囲を求めよ。
一 2 OM3(521—25)

3. zy平面において, 点 A(o, 0) を中心とする半径 の円を C LTS,
ただし 0 <rSo とする。円 C の周上に, 座標が正である点 P と,
FiE(at+7,0) をとる。さらに, 点Pにおける円でCの接線と軸との
交点を Q, 2 点 E, P を通る直線と軸との交点を R, AEP BOLT
る。このとき, 3 点 P,Q,R を頂点とする へPQR について, 次の問い
にた答えよ。

(1) APQR は辺 PR を次辺とする二等辺三角形であることを示せ。
Ric, これが正三角形となる場合の, 9 の値を求めよ。
(2) APQR が正三角形となり, さらに頂点の 1 つが原点と一致する
BAO, 。 と7の関係式を求めよ。
(3) APQR が正三角形となり, さらにその人外接円の半径が円 Cの半
Er と等しくなる場合の, 。 とヶ の関係式を求めよ。
Tee oF M3 (521—26)

(1) zi と紀 を, co とだけの式で表せ。
(2) 2 次の正方行列 4 で () -a(*) がすべての自然数 n に
Yn+1 Yn
ついて成り立つものを求めよ。
(3) c = 14、 = ー21 のとき, (| を求め、さらに {aa} と {yn} の
Yo
一般項を求めよ。
Nia OMAG21—28)

| 2| BU f(t) は区間 (1,1) で連続で, I, FADS f(-1) = 10)
であるとする。次の問いに答えよ。

(1) / f(t)dt -/ げ(17d を示せ。
(2) 関数 F(x) = -f |jt—alf(t)dt (-1 S781) について
=1
e 1
F"(«) ニー di ‘(t)di
@=— [nods / som
F"(e) = ~2f(2)
を示せ。
(3) 関数 /(c) は, さらに等式
7の=ーリドーzO4 (C1SzSり
=
を満たすとする。このとき, PK g(x) = f(x) — f(0)cosV2x に
ついて
9(0) = 90) =0
(3%@ yr ate?) =0
が成り立つことを示し, fle) = f(0) cos V2z を導け。
をvm WE ry OM4(521—29)

[3] 0 <ァ<1とし, MO を原点とする ze平面において, 3点 0,
A(2,0), B(0,27) を頂点とする三角形 OAB と, 互いに相似な 3 つの二
等辺三角形 0'AB, A'OB, BOA を考える。ここで, 辺 AB, OB, OA
はそれぞれの二等辺三角形の底辺であり, 点 O' は直線 AB に対して
FLO と反対側に, 点 A' は第 2 象限に 点 B' は第4 象限に, THEN
あるとする。#= tan AOB とおく。次の問いに答えよ。

(1) AA’, Bi の座標を, , の式で表せ。
(2) GR AA, および直線 BB' の方程式を gz+ =ニcの形で求めよ。
(3) 2直線 AA' と BB' の交点を M(zo,%) EFS. be # Hr, tow
To
で表せ。
(4) AO! の座標を ヶ, 4 の式で表し, 3直線 AA, BB’, OO! が1 点で交
わることを示せ。
ディ Bo Nid(521一30)

[4] A,B 2人が次のようなゲームを行う。第三者 (AB 以外の中立的
立場の者) がさいころを投げ, 1 の目が出たら A だけに3点,3の目が
出たら A だけに 2 点を与え, 2 か4 の目が出たら B だけに2点を与
える。 その他の目が出たら, A にも B にも点を与えない。この試行を
何回かくり返し, 先に得点の合計が 4 点以上になった方を勝ちとする。

1 回目の試行で B が勝つ確率を ヵ とする。ヵ2のとき, n-1 Ll
目までの試行では勝負はつかず, n 回目の試行で B が勝つ確率を p。 と
する。次の問いに答えよ。

(1) pi, Pa, Ps, Pa を求めよ。また一般項 ヵ。 を求めよ。
k k
(2) dn = 9Pni2-GPntit+Pn とするとぎ, ふ g。 を求めよ。またう か
P= nal
を求めよ。 -
(3) < = うしp。 とするとき
n=l
1 k
を求めよ。ただし, 必要ならば

Hm loge =0
rmoo
を用いてよい。
= ak = ぐNd321一31)