関西大学 1997年度 過去問・解答

今日の一問 ── 解答と考え方

型の宣言：「2辺の長さ＋その挟角」が与えられた型。面積なら sin、内積なら cos。使い分けはそれだけで、公式を2つ覚える必要はありません。

1. なぜその一手を選ぶのか

与えられているのは |OA| = 5 、|OB| = 5 、挟角 45° の3つ。2辺と挟角が揃った瞬間に、面積も内積も確定します——どちらも「2辺の積 × 挟角の三角比」の形だからです。

内積の図形的な意味は「|OA| × （OB を OA の向きに落とした影の長さ）」です。今回は挟角が鋭角なので影は同じ向きで、内積は正です。

2. 解答

1. 面積：S = 12 |OA||OB| sin 45° = 12 × 5 × 5 × √22 = 25√24 。
2. 内積：OA · OB = |OA||OB| cos 45° = 5 × 5 × √22 = 25√22 。

答え： 面積 = 25√24 、 OA · OB = 25√22

3. 検算（符号と大きさを別々に見る）

符号：面積は必ず正。内積は挟角が鋭角なら正、鈍角なら負、直角なら 0。今回は 45° = 鋭角なので内積は正で、答えの符号と合っています。
大きさ：内積の絶対値は |OA||OB| = 25 を超えません（cos の絶対値が 1 以下だから）。

この型の一般化：成分が与えられて挟角が分からない場合は、先に内積を成分計算し、S = 12 √( |OA|²|OB|² − (OA·OB)² ) を使います。角を求めてから面積に行くのは遠回りです。始点の置き方と式の読み方は第8章 ベクトル、平面に落とす判断は第9章 空間図形で扱っています。