関西大学 2003年度 過去問・解答

関西大学2003年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

〔III〕放物線の2接線の交点と、三角形の面積の最小値

放物線 y = x² 上の2点 P(s, s²)、Q(t, t²)（t > 0、s < t）における接線の交点を R とします。

(1) 交点 R の座標

y’ = 2x なので、接線の方程式は

P での接線：y − s² = 2s(x − s) ⇔ y = 2sx − s²　…①
Q での接線：y − t² = 2t(x − t) ⇔ y = 2tx − t²　…②

①と②を連立します。2sx − s² = 2tx − t² ⇔ 2(s − t)x = s² − t² = (s+t)(s−t)。

s ≠ t なので両辺を 2(s − t) で割って x = (s + t)/2。①に代入すると

y = 2s·(s+t)/2 − s² = s² + st − s² = st

「交点の x 座標は接点の中点、y 座標は接点の x 座標の積」— 放物線 y = x² の2接線について成り立つ有名な性質です。覚えておくと計算を省けます。

(2) ∠PQR = 90° のとき、s を t で表す

直線 PQ の傾きは

(s² − t²)/(s − t) = s + t

直線 QR は Q での接線そのものなので、傾きは 2t。

垂直条件（傾きの積が −1）より

(s + t) × 2t = −1

これを s について解いて

2点を結ぶ直線の傾きが「s + t」という和の形になるのも、y = x² の重要な性質です（平均変化率）。t > 0 なので、この条件から s < 0 であることも分かります。

(3) 三角形 PQR の面積 S の最小値

頂点 R を基準にした2つのベクトルを作ります。

RP = (s − (s+t)/2, s² − st) = ((s − t)/2, s(s − t))
RQ = (t − (s+t)/2, t² − st) = ((t − s)/2, t(t − s))

ベクトル (a, b), (c, d) が張る三角形の面積は (1/2)|ad − bc| なので

S = (1/2)|{(s−t)/2}·t(t−s) − {(t−s)/2}·s(s−t)|

両方の項に (t − s)² が現れます。整理すると

= (1/2)|(t − s)²(s − t)/2| = (1/4)(t − s)³（t > s より正）

ここに (2) の s = −t − 1/(2t) を代入します。

t − s = t − {−t − 1/(2t)} = 2t + 1/(2t)

S = (1/4){2t + 1/(2t)}³

t > 0 より 2t > 0、1/(2t) > 0 なので相加平均・相乗平均の関係が使えます。

2t + 1/(2t) ≧ 2√{2t × 1/(2t)} = 2

3乗は単調増加なので

S ≧ (1/4) × 2³ = 2

等号成立は 2t = 1/(2t)、すなわち 4t² = 1、t > 0 より t = 1/2 のとき。

検算：t = 1/2 のとき s = −1/2 − 1 = −3/2。t − s = 2 で S = (1/4)·8 = 2 ✓　また 2t + 1/(2t) = 1 + 1 = 2 ✓

この年の学習ポイント

(3) の面積計算では、ベクトルの外積型の公式 (1/2)|ad − bc| が威力を発揮します。底辺と高さを求める必要がなく、2つのベクトルの成分だけで面積が出ます。

そして最後は相加相乗平均。「正の数の和で、積が定数になる」形（ここでは 2t × 1/(2t) = 1）を見つけたら、迷わず相加相乗を使ってください。等号成立条件を書き忘れないことも忘れずに。

放物線 y = x² の2接線について、交点の x 座標が接点の中点、2接点を結ぶ直線の傾きが s + t という2つの性質は、この種の問題で繰り返し登場します。

関西大学2003年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。