関西大学 2004年度 過去問・解答

関西大学2004年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

〔I〕文字を含む2次不等式

a を定数として x² − x + a(1 − a) < 0 を解きます。

因数分解する

定数項 a(1−a) = a − a²、x の係数は −1。2つの解の和が 1、積が a(1−a) になる組を探すと a と 1 − a が見つかります（和が a + (1−a) = 1 ✓）。

x² − x + a(1 − a) = {x − (1 − a)}(x − a) < 0　…①

2解の大小で場合分けする

因数分解できたので、あとは 1 − a と a のどちらが大きいかで解が決まります。境目は 1 − a = a、すなわち a = 1/2。

文字係数の2次不等式では、因数分解できたあとに2解の大小を場合分けするのが定石です。「小さいほうと大きいほうの間」という形は変わらないので、どちらが小さいかだけを決めればよいことになります。
a = 1/2 のケースを「解なし」と正しく書けるかが差になります。(x − 1/2)² は 0 以上なので、負にはなりません。

〔II〕(1) 連立不等式が表す領域

4本の直線 y = x + 2、y = x − 1、y = −x + 1、y = −x + 2 で囲まれた部分を図示する問題です。

y = x + 2 と y = x − 1 は傾き1の平行な2直線、y = −x + 1 と y = −x + 2 は傾き −1 の平行な2直線。この2組で挟まれた領域は平行四辺形になります。

頂点は各組の交点で、(0, 2)、(−1/2, 3/2)、(1, 0)、(3/2, 1/2) の4点。図では、y = −x + 1 と y = −x + 2 に挟まれた細い帯を、y = x + 2 と y = x − 1 で切り取った形として現れます（境界を含む）。

傾きが同じ直線の組を見つけたら、「帯（2本の平行線の間）」として捉えると図示が速くなります。帯と帯の重なりは必ず平行四辺形です。

〔III〕等比数列をなす3数

(1) a, b, c がこの順に等比数列 ⇒ b² = ac の証明

公比を r とすると b = ra、c = r²a と表せます。したがって

b² − ac = (ra)² − a·(r²a) = r²a² − r²a² = 0

よって b² = ac（証明終）

この b² = ac は等比中項の関係で、「真ん中の2乗＝両端の積」と覚えます。逆に b² = ac かつ a, b, c ≠ 0 なら等比数列になるので、判定条件としても使えます。

(2) 6、x、2x − 6 が（順序を問わず）等比数列になる x

どれが真ん中の項かで3通りに場合分けし、それぞれ「真ん中の2乗＝両端の積」を立てます。

(i) 6 が真ん中のとき

6² = x(2x − 6) ⇔ 2x² − 6x − 36 = 0 ⇔ x² − 3x − 18 = 0 ⇔ (x − 6)(x + 3) = 0

x = 6, −3

(ii) x が真ん中のとき

x² = 6(2x − 6) ⇔ x² − 12x + 36 = 0 ⇔ (x − 6)² = 0

x = 6

(iii) 2x − 6 が真ん中のとき

(2x − 6)² = 6x ⇔ 4x² − 30x + 36 = 0 ⇔ 2x² − 15x + 18 = 0 ⇔ (2x − 3)(x − 6) = 0

x = 3/2, 6

3数が「異なる」ことの確認

x = 6 のときは 3数がすべて 6 になり、異なる3数という条件に反するので不適です。

検算：x = −3 のとき 6² = 36、(−3)(−12) = 36 ✓　x = 3/2 のとき (−3)² = 9、6 × (3/2) = 9 ✓
各ケースで x = 6 が繰り返し出てくるのは偶然ではありません。x = 6 のとき 2x − 6 = 6 なので3数がすべて等しくなり、「どの順でも等比数列（公比1）」になってしまうからです。問題文の「異なる3数」という条件を最後に使って除外するのが要点でした。

この年の学習ポイント

〔I〕と〔III〕はどちらも場合分けの網羅性が問われました。〔I〕は2解の大小（3通り）、〔III〕はどれが真ん中か（3通り）。「これで全部か」を確認してから計算に入る習慣をつけてください。

そして両方とも、最後に問題文の条件（解が存在するか／3数が異なるか）に戻って吟味する必要がありました。この吟味が答案の完成度を決めます。

関西大学2004年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。