関西大学 2005年度 過去問・解答

関西大学2005年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

〔I〕底が1より小さい対数不等式

0 < x < 1 のとき、log_x(1 − x²) > 1 を解きます。

真数条件の確認

1 − x² > 0 ⇔ −1 < x < 1。前提の 0 < x < 1 のもとでは自動的に満たされます。

底の大小で不等号が反転する

右辺の 1 を log_xx と書き直すと

log_x(1 − x²) > log_xx

底 x は 0 < x < 1 なので、対数関数は単調減少。したがって真数の大小は逆転します。

1 − x² < x　⇔　x² + x − 1 > 0

2次不等式を解く

x² + x − 1 = 0 の解は x = (−1 ± √5)/2 なので

x < (−1 − √5)/2 　または　 (−1 + √5)/2 < x

(−1 − √5)/2 ≒ −1.62 は 0 < x < 1 に含まれません。(−1 + √5)/2 ≒ 0.618 は含まれます。

底が1より小さいときの不等号の反転は、対数不等式で最も事故が多い箇所です。1 を log_xx に書き換えてから、底の大小で向きを判断するという手順を毎回踏んでください。
なお (√5−1)/2 は黄金比の逆数で、x² + x = 1 を満たす有名な値です。

〔II〕放物線と x 軸が囲む面積が 1/2 になる a

a > 0 として、放物線 y = −(1/a)x² + 2x を考えます。

(1) 頂点の座標

平方完成します。

y = −(1/a)(x² − 2ax) = −(1/a){(x − a)² − a²} = −(1/a)(x − a)² + a

頂点が直線 y = x 上を動く、というのがこの問題の裏の構造です。a を動かすと頂点は原点から右上に移動していきます。

(2) 0 ≦ x ≦ 1 の範囲で放物線と x 軸が囲む面積が 1/2 になる a

この放物線の x 切片は −(1/a)x² + 2x = x(2 − x/a) = 0 より x = 0, 2a。0 ≦ x ≦ 1 で囲まれる部分の右端が 1 か 2a かで場合分けが必要です。

(i) 2a ≧ 1、すなわち a ≧ 1/2 のとき

放物線は x = 1 まで x 軸より上にあるので、区間は 0 から 1。

S = ∫₀¹ {−(1/a)x² + 2x}dx = [−x³/(3a) + x²]₀¹ = −1/(3a) + 1

これが 1/2 に等しいので 1/(3a) = 1/2、a = 2/3。

a = 2/3 ≧ 1/2 を満たすので適します（なお a ≦ 1 も満たします）。

(ii) 2a < 1、すなわち a < 1/2 のとき

放物線は x = 2a で x 軸に戻るので、区間は 0 から 2a。

S = ∫₀^(2a) {−(1/a)x² + 2x}dx = [−x³/(3a) + x²]₀^(2a) = −8a³/(3a) + 4a² = −(8/3)a² + 4a² = (4/3)a²

(4/3)a² = 1/2 ⇔ a² = 3/8 ⇔ a = √(3/8) = √6/4

√6/4 ≒ 0.612 は a < 1/2 に反するので不適です。

場合分けした各ケースで、出てきた解がそのケースの条件を満たすかを必ず確認してください。(ii) のように「計算はできるが条件に合わない」ケースを捨てられるかどうかが、この問題の実質的な採点ポイントです。

この年の学習ポイント

〔I〕は「底が1より小さいと不等号が逆転する」、〔II〕は「放物線が x 軸を切る位置と区間の端の位置関係で場合分けする」。どちらも条件の確認を怠ると答えを間違えるタイプの問題です。

共通するのは「解いたあとに、前提条件に戻って吟味する」という一手間。数学の答案では、この吟味の記述そのものが得点になります。

関西大学2005年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。