関西大学 2021年度 過去問・解答

関西大学 2021年度 数学の全問解説です。関西大学は日程ごとに問題冊子が分かれています。本ページでは、大学が問題と解答例の両方を公表している数W問（2月4日実施）と数C問（2月7日実施）の2冊子、全7題23小問を掲載しています。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（sympyでの厳密計算・共有点の個数を8通りの で数え上げ・40万点の走査による最大最小・36通りの全数え上げ・2万通りの内分点で三角形の3辺を照合） を行い、さらに 大学が公表している解答例と全問照合 しました。23小問すべてが一致しています。

この年度の傾向（3行）

• 「置きかえて別の数列にする」問題が両日程の第1問に置かれています。【1】は 、【4】は 。どちらも置きかえた先が誘導で与えられているので、その形になるよう元の式を変形するのが仕事です。
• 空欄補充の問題は、答えの形が誘導になっています。【2】の「 の値が ② ③ のとき」という枠の形から、答えが不等式であることが分かります。枠の形を見てから解き始めると、何を求めればよいかを取り違えません。
• 最後の小問集合【7】が最大の山場です。極限・複素数・確率・最小値・図形と分野が飛びますが、(5) の合同条件だけは「円周角から相似を見つけ、相似比を1にする」という筋道を立てないと手が出ません。ここを後回しにする判断も含めて時間配分の問題です。

数W問（2月4日実施）

【1】3乗根で結ばれた漸化式（数W問〔I〕）

(1)　 を求める

【型】 は不動点 を引いて等比数列にします。

より 。両辺に を足すと

なので、 は初項 、公比 の等比数列。

(2)　 を で表す

【型】累乗や累乗根で結ばれた漸化式は両辺の対数をとると、掛け算が足し算に、累乗が定数倍に変わります。

【なぜこうするか】 が入ったままでは扱えませんが、対数をとると指数が前に出て1次式になります。しかも底を に選んであるので となり、定数項がきれいに になります。問題が を指定しているのは、この形を作るためです。

各項が正なので、両辺の をとれます。

(1) と同じ形：ここで の漸化式が (1) の とまったく同じになりました。あとは初項さえ一致すれば です。(1) は (3) のための下ごしらえだったことがここで分かります。

(3)　 と、奇数であることの証明

【型】「奇数である」の証明は「奇数のもの（ここでは の累乗）で書けている」ことを言うのが最短です。

で、漸化式も (1) と同じなので 。

ここで、すべての自然数 に対して は奇数なので は偶数、したがって は自然数です。 の自然数乗は必ず奇数（奇数どうしの積は奇数）なので、 は奇数です。（証明終）

検証：漸化式 から 〜 を整数のまま計算し、 と比較しました。（28桁）まで完全一致。 も と漸化式の結果に一致しています。

【2】絶対値つきの曲線と原点を通る直線（数W問〔II〕）

(1)　接する の値（①②）

【型】接する条件は「連立して判別式 」か「接点を とおいて、通ることと傾きが一致することの連立」。どちらでも構いません。

【なぜこうするか】ここでは接点の 座標も知りたい（「 より小さい」ことを確認する必要がある）ので、接点 を文字に置く方針が便利です。判別式で だけ出すと、接点は別途計算し直すことになります。

より 。接点の 座標を とすると

②を①に代入すると

②より のとき 、 のとき 。接点の 座標はどちらも より小さいので、この2本は確かに の の部分に接しています。

　① 、②

(2)　共有点の個数（③④⑤）

【型】絶対値つきのグラフは場合分けして描いてしまう。そのうえで原点を通る直線を回転させると考えます。

【なぜこうするか】 は が変わっても必ず原点を通ります。つまり原点を中心に直線を回しているだけ。回しながら交点が何個かを見るには、 の形を正確に描くのが先決です。式で場合分けして解の個数を数える方法もありますが、グラフを描いたほうが「どこで個数が変わるか」が一目で分かります。

は と で 軸と交わり、 で折れ曲がります。ここで直線 を原点のまわりに回すと、境目になるのは次の3つです。

• ： の放物線に接するとき
• ： が 軸に一致し、 と で交わるとき

これらを境に個数が変わり、次のようにまとまります。

　③ 、④ は 、⑤ は

検証： の8通りについて、2つの2次方程式を解いて範囲（ と ）の条件をみたす解だけを数えました。順に 個で、上の表と完全に一致しています。

【3】三角関数の合成と最大最小（数W問〔III〕）

(1)　三角関数の合成（①②）

【型】合成は 、角は（ は の係数、 は の係数） で決まります。

係数は と なので 。

両方とも負なので は第3象限の角で、 の範囲では 。

(2)　 の最大・最小（③④）

【型】2次関数の最大最小は平方完成。中身の角がどこからどこまで動くかを確定させます。

では、頂点 が範囲内にあるので最小、遠いほうの端 で最大です。

　③ （）、④ （）

(3)　 の最大・最小と となる （⑤⑥⑦）

【型】合成後は「角の動く範囲」を数直線に置いて の値域を読む。1周分に足りないときは端の値と比べます。

【なぜこうするか】角 は から まで、長さ だけ動きます。1周（）に足りないので、 の値域は 全部にはなりません。 を通るので最小 は取れますが、最大は端の にとどまります。「範囲が1周に足りるか」を確かめるのがこの型の急所です。

最大 、最小

次に を解きます。

角の範囲 でこれをみたすのは の2つ。すなわち 。

をみたすのは のほうだけです。

検証： を40万点に分割して を直接計算しました。最大 （ と一致）、最小 。 となる点は の3つで、 と一致しています。合成の式も sympy で恒等的に等しいことを確認しました。

数C問（2月7日実施）

【4】漸化式と桁数の評価（数C問〔I〕）

(1)　 を で表す

【型】 に指数関数が足された形は両辺を で割るのが定石。ここでは で割ります。

【なぜこうするか】 の を消したいので、 で割ると左辺が 、右辺の第1項が になります。置きかえの形は問題文が指定してくれているので、そこに合わせて割る数を決めるだけです。

(2)　 のときの

【型】 が の式で書けたら階差数列。 で を使い、最後に でも成り立つか確かめます。

。階差は なので、 のとき

これは でも となり成り立ちます。よって

(3)　 となる最小の

【型】巨大な数の比較は常用対数をとって桁数で比べる。

【なぜこうするか】 と は底が違うので直接比べられませんが、 をとれば「 と の比較」という1次不等式になります。 が与えられているのは、この計算をさせるためです。

(2) と同じ計算で、 より

なので

ここで と はともに偶数で等しくなることはないので、この条件は と同じです。両辺の常用対数をとると

検証： の場合の 〜 を漸化式から直接計算すると で、 と一致。(3) は を多倍長で厳密に計算し、、すなわち を確認しました（ を使う概算とも一致）。

【5】無理関数と直線・中点の軌跡（数C問〔II〕）

(1)　接する （①②）

【型】無理関数と直線は2乗して2次方程式にする。ただし2乗すると同値性が崩れるので、あとで確認が要ります。

の両辺を2乗すると

のとき、接する条件は判別式 。

　① 、②

(2)　異なる2つの共有点をもつ条件（③④）

【型】直線 は によらず定点 を通る。この点のまわりで直線を回すと考えます。

【なぜこうするか】 の解がそのまま共有点とは限りません（2乗したので の偽の解が混じります）。 の範囲を丁寧に場合分けするより、定点を通る直線を回して交わり方を見るほうが確実です。境目になるのは「接するとき」と「端点 を通るとき」の2種類だけです。

が の左端 を通るのは 、すなわち のとき。上の図で直線を回すと、2つの共有点をもつのは次の場合です。

　または　

　③ 、④

不等号の向きに注意： は含みます（端点 を通り、もう1点でも交わるので共有点は2つ）。一方 は含みません（ は と1点でしか交わらない）。枠の形が「② ④」と等号つきになっていることが、 を含むという合図になっています。

(3)　中点 とその軌跡（⑤⑥）

【型】中点は解と係数の関係で和を で割る。軌跡は媒介変数 を消去します。

の2解を とすると なので

　⑤ は

は直線 上にあるので、その 座標は

【なぜこうするか】ここで というとても簡単な形が出ました。これを と解いて に代入すれば、 が消えて と の関係式になります。軌跡の問題は「媒介変数を消す」ことが仕事で、消しやすいほうの式から攻めるのが早道です。

(4)　面積 （⑦）

【型】 の積分は。置換すら要りません。

のとき 。 は で 軸と接するので

検証： の各値について を数値的に解き、 を実際にみたす解だけを数えました。2つになるのは と で、 および という結論と一致します。中点が 上にあることは sympy で恒等的に確認し、 も と一致しました。

【6】対数曲線の接線と面積（数C問〔III〕）

(1)　点 の座標

【型】接線を作って 切片を読み、内分点の公式に入れるだけ。 の内分点は （係数がたすき掛けになることに注意）。

より、 での接線は

とおくと 。 は を に内分するので

(2)　 が 軸と平行になる

【型】「 軸と平行」は2点の 座標が等しいという式1本に翻訳します。

【なぜこうするか】「平行」を傾きの条件（）として書いてもよいのですが、 と はどちらも座標が分かっているので、 と書くほうが式が短くなります。しかも が両辺に出て消えるので、残るのは有理式だけです。

の傾きは なので、直交する直線の傾きは 。 を通るこの直線の 切片が の 座標です。

と等しいので

より 、すなわち 。

(3)　囲まれた図形の面積

【型】 の積分は部分積分で 。

のとき 、直線 は 。曲線は で 、 で なので、囲まれた部分では直線が上にあります。

検証：sympy で の座標を記号のまま計算し、 を解くと が得られ、 の条件から が残ります。面積も厳密積分で と一致しました。

【7】小問集合（数C問〔IV〕）

(1)　 の極限（①）

【型】（根号）（1次式）の形の極限は有理化。分子を「和と差の積」にします。

【なぜこうするか】差の形のままでは の不定形です。有理化すると分子が2次式の差になり、 の係数が消えるように を、 の係数が消えるように を決める、という流れが見えます。「消えてほしい項から順に係数を決める」のがこの型です。

分母は と同じ程度の速さで大きくなるので、極限が になるには分子が 次以下、すなわち と の係数がともに であることが必要十分です。

（そうでないと分母が発散しない）より 、これから 。

(2)　複素数の偏角（②③）

【型】偏角は割り算すると引き算。 を直接見るより、 を計算してから足し戻すほうが速い場合があります。

【なぜこうするか】 の実部 と虚部 の比から偏角を読むのは大変です。ところが で割ると、 というよく知った形になります。問題が ② を先に聞いているのは、この順で計算せよという誘導です。

なので 。

(3)　3次方程式が虚数解をもたない確率（④）

【型】3次方程式が実数解を3つもつ（重解を含む）条件は「極大値と極小値の積が 以下」。

【なぜこうするか】3次方程式の解は「実数3つ」か「実数1つと虚数2つ」のどちらかです。虚数解をもたない ⟺ 実数解を3つもつ（重解も込み）⟺ グラフが 軸を3回またぐ（または接する）。それは山と谷が 軸をまたぐことで、極大値 極小値 と書けます。

とすると 。 より極大は 、極小は で

はさいころの目なので、 をみたす組を数えます。

該当は 通り。

(4)　三角関数を含む式の最小値（⑤）

【型】展開して を1文字に置きかえる。相加相乗を各項に使うと等号が同時に成立せず、失敗します。

【なぜこうするか】展開すると が使えて定数がまとまり、残るのは と だけ。ここで とおけば となり、1変数の関数の最小値になります。

を微分すると

では 、すなわち 。ここで は減少から増加に変わるので最小です。

　最小値は

(5)　円上の三角形が合同になる （⑥⑦）

【型】内分点は。

　⑥ は

【型】円に内接する図形で三角形どうしを比べるときはまず円周角の定理で相似を見つける。合同はその相似比が になる場合です。

【なぜこうするか】合同を3辺の長さの式で直接押し切ろうとすると、根号だらけの方程式になります。ところが はすべて同じ円周上にあるので、円周角の定理が使えます。 は と の交点なので、対頂角も合わせて2組の角が等しくなり、相似がただちに出ます。あとは「相似比 」という1本の式を解くだけです。

は弦 と弦 の交点なので、対頂角より 。また弧 に対する円周角より 。よって

この2つが合同になるのは相似比が のとき、すなわち対応する辺 と が等しいときです。

を代入すると

この2つが等しいので 、すなわち 。 だったので

これは をみたしています（）。

検証： を から まで2万通りに分け、各 について を直線 と円の交点として求め、 と の3辺（昇順）を突き合わせました。差が最小になるのは （）で、そのとき3辺はどちらも （）。(3) は36通りを全数え上げして9通り、(4) は sympy の微分で と最小値 を確認しました。

型の一覧（この年度で使った考え方）

検証について

本ページの解答は、次の3段階で確認しています。

1. 当塾で独立に解く（解答例を見る前に解いています）
2. Pythonによる検算（sympy による厳密計算と恒等式の確認、共有点の個数を8通りの で数え上げ、40万点の走査による最大最小、36通りの全数え上げ、2万通りの内分点で三角形の3辺を照合、多倍長整数での桁の評価）
3. 大学が公表している解答例との照合

23小問すべてで、3つが一致しました。数値が食い違った箇所はありません。

本ページで扱っているのは、関西大学が問題と解答例の両方を公表している2つの日程（数W問・数C問）です。他の日程については、資料が揃いしだい追加していきます。掲載しているのは当塾が作成した解答・解説で、問題の全文をそのまま転載しているものではありません。誤りにお気づきの場合はご連絡ください。