藤原進之介です。このページでは京都工芸繊維大学2009年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：「2辺の長さ＋その挟角」が与えられた型。面積なら sin、内積なら cos。使い分けはそれだけで、公式を2つ覚える必要はありません。
1. なぜその一手を選ぶのか
与えられているのは |OA| = 12 、|OB| = 7 、挟角 60° の3つ。2辺と挟角が揃った瞬間に、面積も内積も確定します——どちらも「2辺の積 × 挟角の三角比」の形だからです。
内積の図形的な意味は「|OA| × （OB を OA の向きに落とした影の長さ）」です。今回は挟角が鋭角なので影は同じ向きで、内積は正です。
2. 解答
- 面積：S = 12 |OA||OB| sin 60° = 12 × 12 × 7 × √32 = 21√3 。
- 内積：OA · OB = |OA||OB| cos 60° = 12 × 7 × 12 = 42 。
答え： 面積 = 21√3 、 OA · OB = 42
3. 検算（符号と大きさを別々に見る）
符号：面積は必ず正。内積は挟角が鋭角なら正、鈍角なら負、直角なら 0。今回は 60° = 鋭角なので内積は正で、答えの符号と合っています。
大きさ：内積の絶対値は |OA||OB| = 84 を超えません（cos の絶対値が 1 以下だから）。
この型の一般化：成分が与えられて挟角が分からない場合は、先に内積を成分計算し、S = 12 √( |OA|²|OB|² − (OA·OB)² ) を使います。角を求めてから面積に行くのは遠回りです。始点の置き方と式の読み方は第8章 ベクトル、平面に落とす判断は第9章 空間図形で扱っています。
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京都工芸繊維大学の数学の過去問は12年度ぶんを公開しています。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
問題PDFをテキストでも確認
京都工芸繊維大学 2009年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 関数・グラフ
- 微分・積分
- 方程式・不等式
- 空間図形
この年度の出題範囲と傾向
2009年度の問題PDFでは、図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分、方程式・不等式、空間図形に関する語句や設問を確認できました。京都工芸繊維大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は12年度、微分・積分は12年度、関数・グラフは10年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、関数・グラフ、微分・積分、方程式・不等式、空間図形
(2) AP が平面 @ 上にあり O と異なるとき,
a
cos ZAOP = JOH, cos ZHOP
IOAl
が成り立つことを示せ。
(3) 点 P が線分 BC 上を動くとき, cosンAOP の最小値を求めよ。
[2] の もちc は定数とする。関数
※、 3
7人9 2. 242 (@S1)
ax’?+be+e (x>1)
を考える。 f(a) he=l において微分可能で。かつ 7(3) =0 を満たしている。
(1) るもcの値を求めよ。
(2) cy 平面内の曲線 O : リー f(z) LOR (1,2) における の の接線は。 の と z BATH
む部分を 2 つの部分に分けている。それら 2 つの部分それぞれの面積を求めよ。
(以下余白)
= ios ぐるM2(411一9)
[3] cy FHAO¥ARM C:a?+y=1, y20 上に2点 A(1.0), B(-1.0) と 2 点
S(cos9,sin の) , T(cost,sint) (0くの9<#<7) MHS,
(1) MAT LER S が動くとき, KAS の長さと弦 ST の長さの和の最大値を # を用
いて表せ。
(2) 3 DOK AS, ST, TB の長さの和を L とするとき, 不等式 ア <3 が成り立つこと
を示せ。また, この不等式において等号が成り立つときの の との値を求めよ。
関数 ,(z) ( =0, 1, 2, ---) は次の条件 (11), (i) を満たしている。
(i) fo(x) = ae"
(i) fr) = Efe) (n=0, 1,2 +)
(1) n=0, 1, 2, +» について, ある定数 an, 5。を用いて falx) = (a? tone t baleTM と
表せることを示し, an, bn を求めよ。
(2) 1 とする。 cy 平面内の曲線 = 刻(z) の yS0 OMDE C, EFS. CLE
ァ 軸で囲まれる部分の面積 5。を求めよ。
(問題終り)
(以下余白)
2 一 やM2(411一10)