藤原進之介です。このページでは京都工芸繊維大学2014年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：「2辺の長さ＋その挟角」が与えられた型。面積なら sin、内積なら cos。使い分けはそれだけで、公式を2つ覚える必要はありません。
1. なぜその一手を選ぶのか
与えられているのは |OA| = 3 、|OB| = 7 、挟角 30° の3つ。2辺と挟角が揃った瞬間に、面積も内積も確定します——どちらも「2辺の積 × 挟角の三角比」の形だからです。
内積の図形的な意味は「|OA| × （OB を OA の向きに落とした影の長さ）」です。今回は挟角が鋭角なので影は同じ向きで、内積は正です。
2. 解答
- 面積：S = 12 |OA||OB| sin 30° = 12 × 3 × 7 × 12 = 214 。
- 内積：OA · OB = |OA||OB| cos 30° = 3 × 7 × √32 = 21√32 。
答え： 面積 = 214 、 OA · OB = 21√32
3. 検算（符号と大きさを別々に見る）
符号：面積は必ず正。内積は挟角が鋭角なら正、鈍角なら負、直角なら 0。今回は 30° = 鋭角なので内積は正で、答えの符号と合っています。
大きさ：内積の絶対値は |OA||OB| = 21 を超えません（cos の絶対値が 1 以下だから）。
この型の一般化：成分が与えられて挟角が分からない場合は、先に内積を成分計算し、S = 12 √( |OA|²|OB|² − (OA·OB)² ) を使います。角を求めてから面積に行くのは遠回りです。始点の置き方と式の読み方は第8章 ベクトル、平面に落とす判断は第9章 空間図形で扱っています。
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京都工芸繊維大学の数学の過去問は12年度ぶんを公開しています。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
問題PDFをテキストでも確認
京都工芸繊維大学 2014年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 方程式・不等式
- 関数・グラフ
- 図形・三角関数
- 微分・積分
- ベクトル
- 確率・場合の数
- 整数
この年度の出題範囲と傾向
2014年度の問題PDFでは、方程式・不等式、関数・グラフ、図形・三角関数、微分・積分、ベクトルに関する語句や設問を確認できました。京都工芸繊維大学の公開PDFを年度横断で調べると、図形・三角関数は12年度、微分・積分は12年度、関数・グラフは10年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 方程式・不等式、関数・グラフ、図形・三角関数、微分・積分、ベクトル
(2) PHQ の大きさを の とする。sin9 の値を求めよ。
(3) 2つのベクトル AB と PO は垂直であることを証明せよ。
(4) 四男体 ABPQ の体積を求めよ。
[2] xonmuoicea &.
(1) >>0のとき, 不等式 2ーァ<(2二る6ご2 が成り立つことを証明せよ。
ユエ os
(2) 定積分 だe-ge および だeroee の値を求めよ。
0 0
(3) Q) と 2) を用いて, 不等式 gcetc dg が成り立つことを証明せよ。
(OF RED
i ee M2 (407-11)
[3] BEEK f(x) = e-V3z(1 - cose) を考える。自然 に対し, 区間 2%ー1)rSzS20r に
おける関数 fo) の最大値を 4。とする。
(1) Ay を求めよ。
(2) 自然数 IML, A, en を用いて表せ。
(3) 無限級数 ふ 4。の和を求めよ。
n=l
っ の2次
(*) 。 22ー2gz十266-ゲ=0
について, 以下の問いに答えよ。ただし, a, 5 は実数とする。
(1) (*) は実数解のみをもつことを証明せよ。
(2) 1 個のさいころを 2 回投げて出た目の数を順に a,b EFS, CD o,ちに対して (*) を
BA,
(x) は符号の異なる 2 つの和解をもつ」という事象を A,
(x) の 2 つの解の差の絶対値は 6 以下である」という事象を
とする。ただし, (*) が重解をもつときは (+) の 2 つの解の差は 0 と考える。このとき,
BR A,B および和事冥 4 OW P(A), P(B) および P(AUB) をそれぞれ求めよ。
(FRE )
(以下余白)
ー Bes M2 (407-12)