京都工芸繊維大学 2018年度 過去問・解答

京都工芸繊維大学2018年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

[1] 対数のグラフ2本の交点・接線・囲む面積

C₁ : y = log x　／　C₂ : y = (1/2)(log x)² − 4　（x > 0）を考えます。

(1) C₁ と C₂ の交点

連立して log x を消去します。y = log x なので、C₂ の式に log x = y を代入するのが要点です。

y = (1/2)y² − 4　⇔　y² − 2y − 8 = 0　⇔　(y − 4)(y + 2) = 0

y = 4, −2。x = e^y なので

log x をひとかたまりの文字と見る — これだけで超越方程式がただの2次方程式になります。log の問題では常に「置換できないか」を最初に考えてください。

(2) 原点を通る C₂ の接線

f(x) = (1/2)(log x)² − 4 とおくと、合成関数の微分より

f'(x) = (1/2) · 2(log x) · (1/x) = (log x)/x

C₂ 上の点 (t, f(t)) における接線は

y − f(t) = f'(t)(x − t)　⇔　y = {(log t)/t}x + (1/2)(log t)² − log t − 4

これが原点 (0, 0) を通る条件は、定数項が0になることです。

(1/2)(log t)² − log t − 4 = 0　⇔　(log t)² − 2log t − 8 = 0　⇔　(log t − 4)(log t + 2) = 0

log t = 4, −2、すなわち t = e⁴, e⁻²。

それぞれの接線を求めます。

t = e⁻² のとき：傾き = (−2)/e⁻² = −2e²、定数項は0なので y = −2e²x

t = e⁴ のとき：傾き = 4/e⁴ = 4e⁻⁴ なので y = 4e⁻⁴x

接点の x 座標が (1) の交点とまったく同じ e⁻², e⁴ になりました。偶然ではなく、どちらも「(log t)² − 2log t − 8 = 0」という同じ方程式に帰着するためです。

(3) C₁ と C₂ が囲む図形

2曲線の上下関係を調べます。

(1/2)(log x)² − 4 < log x　⇔　(log x)² − 2log x − 8 < 0　⇔　(log x − 4)(log x + 2) < 0

⇔ −2 < log x < 4　⇔　e⁻² < x < e⁴

したがって e⁻² < x < e⁴ では C₁（y = log x）が上、C₂ が下。この区間で2曲線が囲む図形ができます。

面積は

S = ∫_e⁻²^e⁴ [log x − {(1/2)(log x)² − 4}] dx

この積分は x = e^u（dx = e^udu）と置換すると log x = u となり、被積分関数が u の多項式 × e^u になります。あとは部分積分を繰り返せば計算できます。
上下関係の判定が (1) と同じ2次不等式に帰着することを見抜けば、図を描かなくても積分区間と符号が確定します。

この年の学習ポイント

この大問は3つの設問すべてが同じ方程式 (log x)² − 2log x − 8 = 0 に帰着するという、統一感のある設計になっています。

(1) 交点：= 0 の解
(2) 原点を通る接線：接点が同じ方程式の解
(3) 上下関係：< 0 の解の範囲

「log x = u と置く」という一手を最初に決めておけば、3問とも2次方程式・2次不等式の問題として処理できます。

置換の威力を実感できる良問です。同じ形が繰り返し出てきたら、それが問題の骨格だと考えてください。

京都工芸繊維大学2018年度の全大問について、当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しています。裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。