神戸大学 2011年度 過去問・解答

神戸大学 2011年度（平成23年度）前期日程 数学の全問解説です。文科系3題と理科系5題が出題され、合わせて全8題23小問になります。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（カード5枚の並べ方120通りを全列挙してゲームの勝敗を判定・sympyによる対称式と面積の式変形・線形計画の最小値を8万点で走査・ を変えて を直接計算・整式の除法と無理数条件の確認） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 文科系は「置きかえて1文字にする」問題が2つ入っています。【1】は 、【2】は面積を と で。どちらも置きかえた文字の動く範囲を出すところが本題で、そこを飛ばすと最大最小がずれます。
• 理科系は証明が5問中4問という構成です。【1】はド・モアブルの定理の導入部、【3】は積分で級数をはさむ、【5】は の応用。「示せ」に答える書き方の練習にちょうどよい年度です。
• 理【4】は「無理数と有理数」の典型です。「（有理数）＝（有理数）× 」の形で が無理数なら、両辺とも0でなければならない。この一手だけで と が決まります。

文科系【1】円上を動く点と対称式の最大最小

(1) ① が表す図形

【型】 の形は平方完成して円の方程式に直す。

【なぜこうするか】　 と それぞれについて平方完成すれば、中心と半径がそのまま読めます。右辺が正になることを確認すれば、確かに円だと言えます（0なら1点、負なら図形なし）。

(2) のとりうる範囲

【型】「円上の点で の値域」は、直線 と円が共有点をもつ条件。中心と直線の距離 半径。

【なぜこうするか】　 は「直線 の位置」を表しています。この直線が円と共有点をもつ範囲が、 のとりうる範囲です。
直線と円が共有点をもつ条件は「中心から直線までの距離 半径」。これで一気に決まります。
（ を2次方程式の2解とみて判別式で処理する方法もあります。）

(3) を で表し、最大・最小を求める

【型】対称式は基本対称式 で表す。① から も で書ける。

【なぜこうするか】　 は の対称式なので と で書けます。
ここで ① を使うと と が等しいので、 と まで で表せます。これで が だけの3次関数になります。
あとは (2) の範囲 で増減を調べるだけです。

検証：sympy で （）を整理すると 、停留点は 。、 を確認しました。

文科系【2】円に内接する四角形と方べきの定理

(1) OC の長さと、OB＝OC の証明

【型】円に内接する四角形の対角線の交点では、方べきの定理 が使える。

【なぜこうするか】　C は直線 OA 上（O をはさんで A の反対側）にあるので、A と原点を結ぶ直線 上、すなわち 。O をはさんで反対側なので です。
OB＝OC は、方べきの定理 に条件 OA＝OD を入れるだけで出ます。

(2) 面積 を で表す

【型】対角線が交わる四角形の面積は、4つの三角形に分けて足す。各三角形は「2辺の積 × sin ÷ 2」。

【なぜこうするか】　O で交わる2本の対角線が四角形を4つの三角形に分けます。 なら、隣の は （一直線上だから）。
なので、4つとも でくくれます。あとは 、 を代入して整理するだけです。

(3) のときの の最大値

【型】不等式を について解く。 だから 。

【なぜこうするか】　 を代入すれば 。不等式を解くと の範囲が出ます。
平方根をとるとき より なので 。ここで符号を間違えないことが唯一の注意点です。

検証： が となる は と 、 となる は 。 の側だけを取ると となり、最大は です。

文科系【3】カードとマジックナンバーのゲーム

【まず1枚目を確認する】　1枚目に か を引くと、その時点で合計がマジックナンバーになり負けです。つまり1枚目で負ける確率は 。「2枚目で負ける」を数えるときは、1枚目が のどれかである必要があります。

(1) 2枚で負けとなる確率

【型】「ちょうど 枚目で負け」は、途中で負けていないことも条件に入る。順序つきで数える。

【なぜこうするか】　2枚の取り出し方は順序を区別して 通り。合計がマジックナンバーになる組を、和ごとに拾います。
和が になるのは 、和が になるのは 。どちらも順序が2通りずつ。これらはいずれも1枚目が なので、1枚目で負けていないことも満たしています。

(2) 3枚で負けとなる確率

【型】3枚の組を先に決め、その並べ方のうち「途中で負けない」ものだけを数える。

【なぜこうするか】　合計が になる3枚の組を先に列挙し、それぞれの並べ方 通りのうち、1枚目・2枚目で負けてしまうものを除きます。
除く条件は「1枚目が か 」と「1・2枚目の和が か 」。どの組でもちょうど2通りずつ残るのがこの問題のきれいなところです。

(3) 勝つ確率

【型】負けるパターンをすべて足して1から引く。5枚全部で負けることがないかも確認する。

【なぜこうするか】　勝ちは「1枚目〜4枚目のどこでも負けず、5枚全部取り出す」こと。5枚の合計は でマジックナンバーではないので、4枚目まで生き残れば必ず勝ちです。
したがって 「1 −（1枚で負け）−（2枚で負け）−（3枚で負け）−（4枚で負け）」で求まります。4枚目で負けるのは合計が か になる場合です。

検証：カード5枚の並べ方 通りをPythonですべて生成し、ルール通りに勝敗を判定しました。1枚目で負け 、2枚目 、3枚目 、4枚目 、5枚目は0、勝ち で、上の結果と完全に一致しました。

理科系【1】1の 乗根の和

(1) 積の公式

【型】左辺を展開し、 を使ってから三角関数の加法定理でまとめる。

【なぜこうするか】　単純に展開するだけです。実部に 、虚部に が現れるので、加法定理そのものになります。
この式が (2)(3) の土台（ド・モアブルの定理）です。

(2) の証明

【型】(1) を使うと、 を掛けることは「角を 進める」こと。和の各項が1つずつずれる。

【なぜこうするか】　(1) より、 を掛けると 番目の項が 番目の項に変わります。つまり は「 から までの和」。
ここで の項は角が なので、 の項と同じ。したがって和全体は変わらず となります。

(3) 和が0になることの証明

【型】(2) から 。 なら 。複素数が0 実部も虚部も0。

【なぜこうするか】　(2) の式を移項すると 。 なら は の整数倍ではないので 、すなわち 。したがって 。
あとは「複素数が0ならその実部も虚部も0」という当たり前の事実を使うだけです。 を除いてあるのは、 では となってこの議論が使えないからです。

検証： について sympy で和を計算したところ、いずれも となりました（複素数の和 も0）。

理科系【2】 の最小値（線形計画）

(1) の図形