神戸大学 2013年度 過去問・解答

神戸大学 2013年度（平成25年度）前期日程 数学の全問解説です。文科系が3題（75点）、理科系が5題（150点）で、文科系第1問＝理科系第1問が同一問題。重複を除くと全7題19小問になります。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる数値検算（分数型での確率の厳密計算・全数え上げ・400万点規模の走査・シンプソン法による数値積分・積分方程式の直接検証） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 【1】は「(1) の答えの形をそのまま (2)(3) で使い回す」構成。P, Q を で置いた式が、R, S でも T, U でもそっくり同じ形で使えます。最初に一般形を作っておけば、あとは条件を差し替えるだけという、誘導としては非常に親切な作りです。
• 【2】と【4】はどちらも「放物線 上の点＋相加相乗」。【2】は 、【4】は 。同じ道具が文理で1問ずつ置かれています。
• 【3】(3) は「数え上げずに済ませる」のが正解。 は、少し考えると 「R, G, B がすべて4以上、ただし全部4の場合を除く」と同値だと分かります。、、 の3つを確かめるだけです。

【1】空間の直線と 軸（文科系・理科系 第1問）

3問に共通する準備　 なので、 上の点は実数 を用いて

と書けます。また 軸上の点は です。したがって、 上の点から 軸上の点へ向かうベクトルはいつでも

の形になります。(1)(2)(3) はこの1つの形に条件を当てはめるだけです。

(1)　 となる P, Q

【型】「平行」＝実数倍。成分ごとに等式を立てて連立する型。

、 とおくと 。これが と平行なので、実数 を用いて

第1式と第2式から 、すなわち 。よって 。

(2)　共通垂線の足 R, S

【型】「垂直」＝内積が0。垂直条件が2本あるので、 が2本の1次方程式で決まる型。

【なぜこうするか】2直線 と 軸はねじれの位置にあります。両方に垂直な線分（共通垂線）はただ1本で、その足がここでの R, S です。条件が2つ、未知数が2つなので必ず決まります。

、 とおくと 。

S は原点そのものになりました。したがって で、向きは です。この値は (3) で使います。

(3)　 となる T, U

【型】(1) とまったく同じ計算を、 を に置き換えて行う型。

【なぜこうするか】問題文の「 は に垂直ではない」という条件が何を意味するかを、先に翻訳しておきます。

つまりこの条件は「」、すなわち後で出てくる分母が 0 にならないことの保証だったわけです。

、 とおくと 。これが と平行なので、実数 を用いて

第1式と第2式から 、すなわち 。 なので

検証： の3通りで T, U を計算し、 と の外積が零ベクトルになること（＝平行）、および T が確かに 上にあることを確認しました。(1) の を代入すると で 、 となり、(1) の答えと一致します。

【2】放物線上の3点が作る直角三角形（文科系 第2問）

(1)　 を で表す

【型】放物線 上の2点を結ぶ直線の傾きは、必ず「2点の 座標の和」。これを知っていると計算が一瞬で終わる型。

【なぜこうするか】2点 を結ぶ直線の傾きは 。差の形が必ず約分できるのが放物線の強みで、この問題はそこを使わせるために作られています。

直角は C にあるので、直線 CA と直線 CB が垂直です。傾きはそれぞれ 、 なので

ここで （もし なら左辺が 0 になって成り立たない）なので

(2)　 の証明

【型】 の形が出たら相加平均・相乗平均。ただし の確認が必須。

(1) の結果を代入すると

とおくと です。

であることを先に示します。もし なら となり、（仮定 ）に反します。 は (1) で確認済みなので です。

したがって相加平均・相乗平均の関係より

等号は 、すなわち のときに成り立ちます。（証明終）

(3)　AB の最小値

【型】2つの独立な要素の積が最小になるのは、それぞれが同時に最小にできるとき。同時に達成できるかを必ず確かめる型。

(2) より 、また明らかに なので

この2つの等号が同時に成り立つかを確認します。等号条件は かつ 。

のとき (1) より 。これと から 、すなわち 。よって 。

この は を満たし、3点も相異なるので条件を満たします。

AB の最小値 、

検証： と を細かく走査して を計算したところ、最小は で でした。また の各場合について (1) の を計算し、 が の精度で成り立つこと、いずれも であることを確認しました。

【3】さいころ6個と目の差（文科系 第3問）

(1)　 の分布

【型】2つのさいころの目の差は、 の表を書いて数えるのが最短で最も確実。

【なぜこうするか】36通りしかないので、規則を探すより表で数えたほうが速くて誤らない。差が になるのは の形で 通り、差が0は6通り、という規則もこの表から読めます。

合計は で確かに全事象と一致します。

(2)　 がすべて4以上

【型】色ごとに独立なので、確率は掛け算。

【なぜこうするか】6個のさいころは互いに影響し合わないので、赤の結果と緑の結果は独立です。「同時に成り立つ」＝「掛ける」が使えるのはこの独立性のおかげで、条件が絡み合っている場合には使えません。ここでは色ごとに2個ずつ完全に分かれているので、安心して掛けられます。

についても同じで、3色のさいころは互いに独立なので

(3)　 となる確率

【型】積の条件は、「どの値の組ならありうるか」を上限から詰めて、少数の場合に絞る型。

【なぜこうするか】 はどれも5以下なので、積の最大は 。 はそれに近い値なので、候補はごくわずかのはずです。そこで「どれか1つでも3以下だったらどうなるか」を先に確かめます。

• どれか1つでも3以下なら：積は最大でも なので不適。
  よって はすべて4以上でなければなりません。
• すべて4以上のとき：値は4か5。 は不適ですが、 は適します。
  よって「すべて4以上」から「すべて4」を除いたものが求める事象です。

したがって

（すべて4以上）（すべて4）

検証： それぞれ 0〜5 の全 通りの組について分数のまま確率を足し上げたところ、ちょうど になりました。(2) も同様に を確認しています。

【4】放物線に内接する長方形（理科系 第2問）

長方形の面積の最大値

【型】条件式（）を使って目的の式から文字を1つ消し、 の形に持ち込んで相加相乗で片づける型。

【なぜこうするか】面積も条件式も と の2つのかたまりで書けます。この2つを新しい変数と見ると、条件式が「片方をもう片方で表す」式になり、面積が1変数の関数になります。

より かつ 、また です。条件から

一方、長方形の面積を とおくと

上の条件式から なので、これを代入すると

とおくと、分母分子を で割って

相加平均・相乗平均の関係より なので

等号は 、すなわち のとき。このとき条件式から

と連立して

、面積の最大値は

検証： を細かく動かして の最大を数値的に求めたところ、（）。このとき で、、 と一致。 も確認しました。

【5】3次曲線と2次曲線で囲む面積（理科系 第3問）

(1)　 を求める

【型】「 次以下の多項式が 点を通る」は係数を文字で置いて代入し連立する型。

を通るので定数項は0。 とおきます。

第1式から 。これを第2式に入れて

（）で割ると

よって 。

(2)　囲まれた部分の面積

【型】2曲線の差を作ると、交点の 座標が根としてそのまま見える形に因数分解できる。上下の入れ替わりに合わせて積分を分ける型。

【なぜこうするか】3点で交わるように作られているので、差は3次式で根が3つ。因数分解できた瞬間に「どこで上下が入れ替わるか」が分かります。