神戸大学 2015年度 過去問・解答

神戸大学 2015年度（平成27年度）前期日程 数学の全問解説です。文科系が3題、理科系が5題で、文科系第3問＝理科系第5問が同一問題。重複を除くと全7題20小問になります。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる検算（共線条件の36万点走査・数列の分数計算・三角形の存在条件を 通り全列挙・数値積分・40万点の走査・接線と曲線の交点の直接計算・無限級数の40万項の部分和） を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 「2つの量の対称式に持ち込む」問題が目立ちます。【1】は と 、【6】は変曲点の 座標の和と積。個々の値を求めずに和と積だけで進めると、途中の計算が驚くほど軽くなります。
• 【6】(3) は「変曲点での接線」という一点に気づけば即答。変曲点では なので、接線との差は で割り切れます。4次式なら残りは1次——もう1つの交点が瞬時に出ます。
• 【3】は場合分けの整理力そのもの。(1)(2) で「2つ等しい」「すべて異なる」を数えさせ、(3) で並べ方を掛けて合計する構成。誘導のとおりに積み上げれば必ず届きます。

【1】放物線上の2点と定点が共線（文科系 第1問）

(1)　 と の関係式

【型】放物線 上の2点を通る直線は。覚えておくと速い。

【なぜこうするか】BCの傾きは と約分できます。放物線上の2点を結ぶ直線がこの形になるのは頻出で、 と だけで書けるのがありがたい点です。

これが を通るので

(2)　 と の関係式

【型】中点の座標を基本対称式 で書き直す。

より 、また なので 、すなわち 。これらを (1) に代入すると

(3)　 の最小値

【型】2次関数の最小は平方完成。ただしその が実現できるか（ の実数が存在するか）を確認する。

よって のとき最小値 。このとき

したがって は の2解で

これは実数で相異なるので をみたし、確かに実現できます。

検証： を各600分割した36万組で「3点が共線」と「」が完全に一致することを確認。また関係式から を決めて を4000点計算し、すべて 上にあることを確認しました。

【2】積分で定まる3つの数列（文科系 第2問）

(1)　 の一般項

【型】「すべての実数 で成り立つ」は恒等式。両辺を の多項式に整理して係数比較。

【なぜこうするか】右辺の積分を実行すると の2次式になります。左辺も2次式なので、係数を比べれば の漸化式が2本同時に得られます。

左辺は なので、恒等式として係数を比べて

は公比 の等比数列で だから

(2)　 のとき

【型】 が既知の形なら階差数列。等比なら和の公式一発。

【なぜこうするか】(1) で得た は、移項すれば 。右辺が完全に分かっているので、あとは足し上げるだけです。今回は と1つの等比数列にまとまるのが気持ちのよいところ。

のとき

（ を入れると で と一致するので、すべての で使えます。）

(3)　 のとき

【型】 は「 倍してずらして引く」。

のとき 、ただし 。この を求めます。

辺々引くと、右辺は等比数列の和になります。

よって で

（ を入れると で一致します。）

検証：漸化式 を分数のまま8項まで回し、(1)(2)(3) の一般項と厳密に一致することを確認しました。

【3】三角形の存在条件と個数（文科系 第3問・理科系 第5問）

(1)　 の場合

【型】三角形の成立条件は「いちばん長い辺 < 他の2辺の和」。大小関係が決まっていれば1本の不等式で済む。

【なぜこうするか】3つの不等式 、、 のうち、最大の辺についての1本だけが本質です。逆数のほうは大小が逆転する（ なら ）ことに注意します。

もとの三角形　辺は で最大は 。条件は で、 よりつねに成立。

逆数の三角形　辺は で、 より最大は 。条件は

よって求める条件は （）。数え上げると

個

(2)　 の場合

【型】2つの条件を書き、真ん中の で場合分けして数える。

【なぜこうするか】もとの三角形の最大辺は 、逆数の三角形の最大辺は 。条件は2本です。 を固定すると と の範囲が絞れるので、 で場合分けするのがいちばん速い。

　かつ　

2つめの式は、両辺に を掛けて と書けます。

個

(3)　条件をみたす組の総数

【型】大小関係のパターンでもれなく分類し、(1)(2) の結果に並べ方の個数を掛ける。

【なぜこうするか】条件 は の並び順によらない（三角形の存在は辺の集まりだけで決まる）ので、(1)(2) で数えた「代表的な並び」に、位置の入れ替え方を掛ければ全体が出ます。

(i) 3つとも等しい　 は正三角形なので条件をみたし、 から まで 7個。

(ii) ちょうど2つが等しい　「大きいほうが2つ」と「小さいほうが2つ」の2種類があります。

• 大きいほうが2つ（ 型）：(1) より9通り。3文字のどこに小さい値を置くかで3通りずつなので 個
• 小さいほうが2つ（ 型）：辺 で最大は 、条件は 。逆数側は最大が で となりつねに成立。よって を数えて、こちらも9通り。同じく 個

(iii) 3つとも異なる　(2) より、大きい順に並べた形が9通り。3つの数の並べ方は 通りなので 個。

個

検証： の 通りをすべて列挙し、三角形の成立条件（もとと逆数の両方）を分数のまま判定しました。(1) が9個、(2) が9個、(3) が115個で、上の内訳（）とも一致しています。

【4】分数関数と放物線の交点・面積（理科系 第1問）

(1)　交点

【型】分母を払う。共通因数 を見つけて先にくくると3次方程式が楽に解ける。

【なぜこうするか】両辺に が現れているので、展開してから解こうとすると3次方程式を因数定理で崩す手間がかかります。くくり出してしまえば、残りは2次式。分母を払ったので の確認だけ忘れずに。

中カッコは なので

それぞれ を求めると

(2)　囲まれた図形の面積

【型】分数関数は と分けて漸近線と積分の両方に備える。

【なぜこうするか】 には という漸近線があります。交点は の3つですが、 と の間には漸近線がはさまっていて、そこでは2曲線の間の領域が上下に無限に伸びてしまうので閉じた図形になりません。閉じた図形は の部分だけです。

では が上、 が下（たとえば で 、）なので

（ が の係数、 が の1次の係数として に、 が になっています。）

検証：3つの交点で両曲線の の値が一致することを確認したうえで、 を数値積分すると 。 と一致しました。

【5】楕円と直線の交点で決まる点（理科系 第2問）

(1)　点Rの座標

【型】2直線の交点は片方を代入。まずQを求め、次にOPとの交点。

直線APは を通り傾き なので

とおいて 。（ より で、分母は0になりません。）

Rの 座標はQと同じ 。Rは直線OP上、つまり をみたすので、 より

のときは直線OPが 軸そのものになりますが、上の式に を入れると となり、この場合も正しく表しています。

(2)　 の最大値

【型】商の微分。分子が でまとまるのを見逃さない。

より なので、 となる が にただ1つ存在します。 は減少なので では 、 では 。したがって で最大です。

　最大値

(3)　 の最小値

【型】 と置き換えて の関数にする。変域は 。

【なぜこうするか】 を のまま微分すると煩雑ですが、 を使うと だけの分数関数になります。 では が から までの値をすべて（両端を除いて）とるので、置き換えは対等です。

分子の中は とまとまるので

とおき とすると

より 。よって の符号は で決まり、 の前後で負から正に変わります。 より で、これは の中です。したがってここで最小。

　最小値

検証：Rの定義（Qと同じ高さ、かつ直線OP上）を満たすことを の各場合に500点で確認。 と を4万点で計算した最大・最小は、 のとき （）、（）と一致しました。

【6】4次曲線の2つの変曲点（理科系 第3問）

(1)　 の値

【型】変曲点は 。2解の差は「和と積」から出す。

【なぜこうするか】 を解の公式で解くと根号が入って差の計算が煩雑です。 を使えば、解と係数の関係だけで済みます。差が与えられている問題では、まずこの形を疑ってください。

変曲点の 座標を とすると、解と係数の関係より

これが に等しいので 。 より

このとき なので は異なる2実数解をもち、その前後で の符号が変わるので、確かに変曲点が2つあります。

(2)　三角形PQRの面積

【型】PとQの 座標は を で割った余りから出す。個別に4次を計算しない。

【なぜこうするか】 は の解なので、 を で割った商の部分は で0になります。残るのは1次式だけなので、 が簡単に書けます。

より 、。実際に割り算すると

したがって より

のとき なので 。よって

PQの中点は 。中点と 座標が一致する 上の点は 。

PQの中点Mと点Rはどちらも の上にあるので、線分MRは縦向き。三角形PQRを線分MRで2つに分けると、それぞれの「底辺」がMR、「高さ」が と です。

(3)　 の中点の 座標

【型】変曲点での接線は3重に接する。差が で割り切れる。

【なぜこうするか】（Pでの接線）は で 。さらにPは変曲点なので 、つまり 。よって を因数にもちます。 は4次で最高次の係数1なので、残る因数は1次——もう1つの交点が一発で決まります。

（Pでの接線）

と書けます。両辺の の係数を比べると、左辺は の の係数 、右辺は なので

つまり の 座標は 。同様に の 座標は 。したがって中点の 座標は

気持ちのいい一致： の中点の 座標は、PQの中点の 座標と同じ になりました。 を個別に求めなくても、和 だけで答えが出るのがこの問題の設計です。

検証： のとき （誤差 台）、 を確認。三角形PQRの面積を座標から直接計算すると で と一致。またPでの接線と の交点を4次方程式として数値的に解くと で、 と一致しました（Qについても同様）。

【7】部分分数分解と無限級数（理科系 第4問）

(1)　

【型】部分分数分解は分母を払って恒等式にし、都合のよい値を代入。

【なぜこうするか】分母を払うと の恒等式になります。 を代入すれば1文字ずつ消えて、係数比較よりずっと速く求まります（自然数の範囲を超えますが、恒等式なのですべての で成り立ちます）。

検算のコツ：。もとの分数は分子が1次、分母が3次なので、 を大きくすると 程度で0に近づきます。これは と同じことで、係数の和が0にならなければどこかで計算違いです。

(2)　部分和

【型】差の形にして途中を消す（望遠鏡和）。ずれが2つなら2項ずつ残る。

のとき　 なので

2つずれの差なので、和をとると前から2項、後ろから2項が残ります。

通分すると

のとき　 なので、2種類の差に分けます。

（実際 で一致します。）よって

(3)　無限級数の和

【型】 は の部分と の部分に分けられるので、(2) の2つを足して 。

【なぜこうするか】 は について1次なので、 だけの場合と だけの場合を足せば一般の場合になります。(2) で「」「」を別々に計算させたのは、この足し算をさせるため。誘導の意図がはっきり見える設計です。

それぞれ分母と分子の最高次を比べると、第1項は 、第2項は に収束します。

検証： を から まで各整数として から まで、部分分数分解が分数として厳密に等しいことを確認（反例0件）。部分和の閉じた式も で分数のまま一致。無限和は から までの部分和が でそれぞれ となり、 の値 に近づいています。

解法の「型」の一覧

検証について

本ページの数値は、次の3段階を通したものだけを掲載しています。

1. 当塾で独立に解く。解答を見る前に、まず自分で最後まで解きます。
2. Python で別方法から検算する。今回は、【1】を36万点の共線判定、【2】を分数のままの漸化式計算、【3】を 通りの全列挙、【4】を数値積分、【5】を4万点の走査、【6】を接線と曲線の交点を4次方程式として解く方法、【7】を分数の恒等式チェックと40万項の部分和で確かめました。
3. 解答PDFと本文をそろえる。本ページで配布している解答PDFは数強塾が独自に作成したもので、この解説と答え・道筋が一致しています。

【2】(3) の答えは、一般的な解答例では の形で書かれています。本ページの と同じ値です。【6】(1) について、一般的な解答例は の解を根号で書き下してから差をとる方法と、解と係数の関係を使う別解の両方を挙げています。本ページは後者にそろえました。

もし誤りを見つけられた場合は、お手数ですがご連絡ください。確認のうえ訂正し、訂正の記録もこのページに残します。