神戸大学 2016年度 過去問・解答

神戸大学 2016年度（平成28年度）前期日程 数学の全問解説です。文科系（3題・75点）と理科系（5題・150点）が出題され、第1問は文理共通、第2問も設問が重なるため、重複を除くと全6題20小問です。
掲載しているすべての数値は、当塾で独立に解いたうえで Pythonによる全列挙・数値積分・400万点規模の走査での再検算 を行い、本ページで配布している解答PDFも数強塾が独自に作成したもので、この解説と同じ答え・同じ道筋です。

この年度の傾向（3行）

• 「絶対値つき2次関数」に文理とも大問1つを充てている。【2】は の値によってグラフの形が変わるので、場合分けの入口を間違えると全滅します。判別式 の符号が分岐点です。
• 理系第4問は「互除法を自分で証明してから使う」構成。(1)(ii) で「 なら 」を示させ、それを数列に適用させます。ユークリッドの互除法の原理そのものを出題しています。
• 理系第5問のカージオイドは、最後の「長さ8」がきれいに出る。 という半角の変形が決め手で、絶対値の外し方を間違えると 0 になってしまいます。

【1】四面体の切断面（文科系・理科系 第1問）

(1)　 と

【型】すべて始点 O からのベクトルの差に直す型。

、、 なので

(2)　

【型】「平面上」と「辺上」の2条件を同じ基底で書いて係数比較する型。

【なぜこうするか】S は平面 PQR 上なので と書けます。一方 S は辺 AC 上なので、 の成分が 0 であり、かつ の係数の和が 1。この2条件で が決まります。「辺AC上」を 成分ゼロ＋係数和1と読み替えるのが要点です。

S が辺 AC 上にあることから

これを解くと 。よって

これは AC を に内分する点なので

検証：正四面体の座標を取って「直線 AC」と「平面 PQR」の交点を数値的に求めたところ、 で AC を に内分する点と一致しました。

(3)　

【型】正四面体は「長さ1・内積すべて 」に翻訳する型。

、 より

検証：数値計算で と一致しました。

【2】 のグラフと不等式（文科系・理科系 第2問）

(1)　グラフの概形

【型】絶対値つきのグラフは「中身が負になる区間があるか」で場合分けする型。

【なぜこうするか】 の判別式は 。これが正か否かが唯一の分岐点です。 なので符号は で決まります。

• ： なので 。ただの放物線（頂点 、 切片 ）。
• ： は で0になり、その間で負。そこだけ折り返されて山ができる（山の頂点は ）。

(2)〔文科系〕　 の値と囲む面積

より 。このとき の根は で、囲まれる図形は折り返してできた山と 軸の間です。

【型】放物線と 軸で囲む面積は 公式。

検証：数値積分すると 。 で9桁一致しました。

(3)　 のときの の範囲

【型】「すべての で成り立つ」は直線を平行移動して、グラフに接する（または触れる）位置まで下げる型。

【なぜこうするか】 は傾き2の直線で、 は上下の平行移動です。グラフ の下側にあり続ける最大の を探せばよい。どこで「ぶつかる」かは、傾き2の接線がどの部分に立つかで決まります。 のとき の右側の枝 の接線の傾きは で、接点が右の根 より右にあるとき傾きは 以上。つまり傾き2の直線は右の根 を通るときに初めて触れます。

したがって求める直線は を通る傾き2の直線

検証： で を400万点走査した最小値は 。 と一致しました（走査の刻み幅ぶんの誤差）。

(4)〔理科系〕　 のときの の範囲と図示

【型】(3)と同じ問いだが、 の範囲が違うと「ぶつかる場所」が変わることに注意する型。

【なぜこうするか】ここが本問の主眼です。 では傾き2の直線が「右の根」で触れましたが、 では事情が変わります。右側の枝 の接線の傾きが2になるのは 、すなわち 。この が右の根より右にあるかを確かめると、。 はこれを満たすので、今度は「接する」場所が存在します。

そこで 、すなわち が重解をもつ条件を考えると

直線がこれより下にあればつねに なので

検証： について の最小値を400万点で走査すると 。 の値とすべて一致しました。一方 では走査値 に対し となり式が合わなくなります——境界 を超えると接点が折り返し部分に入ってしまうためで、問題が に制限している理由がここにあります。

【3】さいころ4回と積の比較（文科系 第3問）

(1)　 となる確率

【型】片方を先に絞り込む型。

【なぜこうするか】 なので が必要。2つのさいころの積で26以上になるのは 30 と 36 だけ（25 では となり不可能）。つまり の候補は3通りしかありません。「大きい方を先に潰す」と、残りは小さな数え上げで済みます。

• ： より 。該当する は の10通り
• ： より 。数えると19通り

(2)　 となる確率

【型】「2組の積が等しい」は積の値ごとに（場合の数） を足す型。

【なぜこうするか】 となる確率は、 となる場合の数を として 。 と は独立なので、各 について2乗して足すだけです。

合計は 通りなので

検証： 通りをすべて列挙したところ、(1)は39通り、(2)は86通り。上の答えと一致しました。

【4】 と の接触と回転体（理科系 第3問）

(1)　P の座標と

【型】接する条件は「値が一致」＋「傾きが一致」の2本を連立する型。

接点の 座標を とすると

②より 。これを①に代入して 、すなわち 。

(2)　回転体の体積

【型】囲まれる領域の「上の曲線」「下の曲線」が途中で入れ替わることを確認してから積分する型。

【なぜこうするか】3つの曲線（、、）が囲む領域の頂点は 、、 です。つまり

• ：下端は 軸、上端は （穴なしの円板）
• ：下端は 、上端は （円環）

この2区間をまとめると と書けます。

を用いると

したがって

検証：数値積分すると 。 で12桁一致しました。値が小さいのは、 が2にきわめて近いためです。

【5】ユークリッドの互除法と数列（理科系 第4問）

(1)(i)　公約数の集合

【型】集合を具体的に書き出す問題は、素因数分解してから共通因数を拾う型。あわせて問題文の定義で負の約数を含むかどうかを必ず確認します。

、、 なので、共通因数は 。この問題の定義では約数に負の数も含まれることに注意して

この一致が(ii)の予告： と が集合としてまるごと同じになっています。これは偶然ではなく、(ii)で証明する事実の具体例です。

(1)(ii)　 の証明

【型】「集合が一致する」は両向きの包含を示す型。ここでは と を示します。

【なぜこうするか】 と の両方の向きの式があるので、公約数がどちらの向きにも「引き継がれる」ことが言えます。これがユークリッドの互除法が成り立つ理由そのものです。

と の公約数を とすると 、（ は整数）と書け

なので は の約数でもあります。つまり の公約数は の公約数でもあり、とくに 。

逆に と の公約数を とすると 、 と書け

なので は の約数。よって 。以上より 。

(2)(i)　 と の最大公約数

【型】(1)(ii) を漸化式にそのまま適用する型。

は (1) の の形（）なので、(1)(ii) より