藤原進之介です。このページでは京都府立医科大学2013年度の数学過去問の問題資料と学習情報を無料公開しています。掲載している問題・解答・解説の範囲は、ページ内の各見出しでご確認ください。
問題
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：割る数が底の倍数になっている特殊ケース。まず 1 乗を計算してみるのが鉄則で、ここで 0 になれば以降ずっと 0 です。
1. なぜその一手を選ぶのか
13 は 13 で割り切れるので、13n も当然 13 で割り切れます。余りはつねに 0 です。
特殊ケースを最初に潰すのは、この型に限らず整数問題全体の作法です。周期を探し始める前に、1 乗の値を見る癖をつけてください。
2. 解答
- 13 ÷ 13 = 1 余り 0 。つまり 13 ≡ 0 (mod 13) 。
- よって 13n ≡ 0n ≡ 0 (mod 13)（n は自然数なので n ≧ 1）。
答え： つねに 0
3. 検算
n = 1 で 13 ÷ 13 の余りが 0 、n = 2 でも 0 。実際に 2 つ試して 0 が続くことを確かめました。
この型の一般化：累乗の余りは a と法が互いに素なら、周期はフェルマーの小定理（法が素数 p なら ap−1 ≡ 1）やオイラーの定理で上から押さえられます。ただし実際の周期はそれより短いことが多いので、試験では素直に計算して 1 に戻る回数を探すのが速い。互いに素でないとき（今回のような）は循環に入る前の助走がつくことがあるので、必ず n = 1 から書き出します。第2章 整数で合同式の使い分けを整理しています。
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京都府立医科大学の数学の過去問は6年度ぶんを公開しています。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
問題PDFをテキストでも確認
京都府立医科大学 2013年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 微分・積分
- 空間図形
- 図形・三角関数
- 整数
この年度の出題範囲と傾向
2013年度の問題PDFでは、微分・積分、空間図形、図形・三角関数、整数に関する語句や設問を確認できました。京都府立医科大学の公開PDFを年度横断で調べると、微分・積分は6年度、図形・三角関数は5年度、整数は5年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 微分・積分、空間図形、図形・三角関数、整数
2 点で交わるか, または, C' が上に凸でCととの' が共有点をもたないことのい
ずれかが成り立つことであることを証明せよ。
2) 条件(が成り立つとき, 2 本の共通接線を とおく。/とC.C の接点
をそれぞれA, Pとおき, とC で の接点をそれぞれB. Q とおく。ただ
L, A のxr座標はBのxr座標より小さいとする。このとき, 直線ABとPQは
平行であることを症明せよ。
8) 条作(が成り立つとき、(2 で定めた4 点AB Qを頂成とする四角形
が平生四辺形となるための放物線 に関する条件を求めよ。
[2] ca a =a.=1 mowitest
Gnt+2 = On4i +a, (n=1, 2,3,-+)
をみたすものとする。 自然数かに対して, 実数9。 を
0くく訪 かっ mnの=ー
an
となるように定める。
(0) ga (ms土g4和mi) 大ュー(ー1)7 = 1, 2,3. A RO IT
とを証明せよ。
府立話和大-話(医・前期 2013年度 数学 17
(2) 9がkaの (1.2.3....)が成り立つことを証明せよ。
9) Zon eRdE.
[8] の長きが1の正四面体がある。7に内梓する球の半竹をg。 7に外接す
る球の半径をりとする。 7に内接する球の中心を O とし. 0から正四面体7の
DOPAE COMME ETS, を中心とする半径(ただしgくヶミのの
RB, を考える。,からアの内部に含まれる部分を除いてできる立体の体積を
のとする。
() a, 6, <の値を求めよ。
(20 ac<rscomme, YD mares eke.
[4] 2x2 a
A? = B= E かつ AB+ BA=O
をみたしているとする。ここでちは単位行列, 0 は私行列である。
() (4+の2 (1.2.3....うを求めよ。
(2) 実数g. 5に対して. GE + AB= Ole Sika =b=0 であることを証明せ
ke
次に行列4, BOSS —HERMBIMAMTE n ROBT. KEL wld1
CLLOBMETS, bE (1 Sh Sn) OMT CARTE CERL, Hl
otの
を考える。X。 = ELCOMBE py とする。
8) ヵが奇数のとき、p。ー 0 であることを証明せよ。
(20 ヵが個数のときり。 を求めよ。