藤原進之介です。このページでは京都府立医科大学2016年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：2項間漸化式 an+1 = 5an + 8 。係数が 1 でないので等差でも等比でもありません。定数をずらして等比に落とすのがこの型の一手です。
1. なぜその一手を選ぶのか
an+1 = pan + q を見たら、最初に確かめるのは p が 1 かどうかだけです。p = 1 なら公差 q の等差数列で即終了。ここでは p = 5 なので、その道は使えません。
次に考えるのは「何を足せば、余分な定数項が消えるか」です。両辺に同じ数 β を足して an+1 + β = 5( an + β ) の形にしたい。右辺を展開すると 5an + 5β なので、5β − β = 8 、つまり β = 2 と決まります。この一手を選ぶ理由は「定数項を消すため」であって、公式だからではありません。
2. 解答
- 両辺に 2 を足すと an+1 + 2 = 5( an + 2 ) 。
- よって数列 { an + 2 } は公比 5 の等比数列。
- 初項は a1 + 2 = 8 + 2 = 10 。
- したがって an + 2 = 10 · 5n−1 。
答え： an = 10 · 5n−1 − 2
3. 検算（ここまでを1セットにする）
n = 1： 10 × 1 − 2 = 8 。初項に一致します。
n = 2： 漸化式からは 5 × 8 + 8 = 48 。一般項からは 10 × 5 − 2 = 48 。一致します。
漸化式の問題は、一般項を出したら必ず n = 1 と n = 2 を入れる。符号ミスと初項ずれはここでほぼ全部捕まります。
この型の一般化： an+1 = pan + q（p ≠ 1）は、つねに β = q / (p − 1) を両辺に足せば等比に落ちます。ただし q が定数でなく n の式になっている場合（an+1 = pan + f(n)）はこの手が効かず、両辺を pn+1 で割る、階差を取る、といった別の一手に切り替えます。どの分岐を選ぶかは第11章 数列で整理しています。
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京都府立医科大学の数学の過去問は6年度ぶんを公開しています。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
問題PDFをテキストでも確認
京都府立医科大学 2016年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 整数
- 微分・積分
- 空間図形
- データ・統計
- 複素数
- 方程式・不等式
この年度の出題範囲と傾向
2016年度の問題PDFでは、図形・三角関数、整数、微分・積分、空間図形、データ・統計に関する語句や設問を確認できました。京都府立医科大学の公開PDFを年度横断で調べると、微分・積分は6年度、図形・三角関数は5年度、整数は5年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、整数、微分・積分、空間図形、データ・統計
SH Sy GRE ORO FAD) DIT 5
Sy FET HY :
PROMI CSMATK. COCs, :*はそれぞれ変量 y, <について
のデータの価の平均値を表す。
0 以上の整数ヶと1 以上の整数1に対し, gをぁで割った余りを(2)と表
ToL m2 ba ROMRETS, Bx dy On HOMOME
Cm y= (RE - Lt 1, (6一1)士1) (Lek Sx)
としたときのぇとッヶの相関係数をァヶ とする。
(2 7はヶの約数とし, 双 ニッであるとぎ, ヶ を求めよ。
(9) み=7(7寺1) とし。 malF1 であるとき, ァを求めよ。
5 ぐM2(585一20)
は0でない複素数とし。 a= be +d, a= $(L+teac. ただ
しはヶに共役な擬示数である。
(1) BOERS 2REOK I RAMONE.
Q <と2がともに自然化となるzをすべて求めよ。
8) 覆面上において, 2で求めたヶに対応する京のすべてを周または内部
KAUMEBA, そのような円のうち最小の面積をもつものをCとする。 で
DP ERT MIME COMERRD K,
am 沙 oe OM2(585—21)
a, bRTEOREE L, HSBC
“x= acos 2t, y =b sin 37 (oss
で表される FHLOMME CLES,
(D) 実数に対して, sin39三3sin9一4sin9の9であることを証明せよ。
(12 》を*を用いて表せ。
(8 の困数 OMENS, 曲線どの概形をかけ。
(9 曲線どとテ埋とで団まれた図形をヶ軸のまわりに1回転させてできる立体
の体積を求めよ。
So 8 OM2(585—22)
|
|
|
平面上でヶ座標とヶ庶標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。すべての |
NCL, m (CAEL, Wie = ERR =m を引き, oy PME EERE |
る一辺の長さが | の正方形の集まりに分割する。その一つーつの正方形(格子点 |
を頂点とする 1 辺の長さが 1 の正方形) の内部を区画と呼ぶ。正の実数#に対し
て原点を通る直線 。:y=太をとり、74が通る区男について考える。とこでな |
が区画を通るとは. 直線 7。 と区画が共有点をもつととをいう。自然表ヶに対し |
て, 不等式カー1く*くヵで表されるyy 平面上の領域をの。 ETS. Dy に含ま |
h, CB L が通る区画の個数を @。 とおく。
以下# は無理数とする。
(1) 門林は原点以外に格子点を通らないことを話明せよ。
QD <a Skt 2 であるととを証明せよ。
@ NEBRMLTSES, MU Jim Fa を求めよ。
A O<k<1 ETS. BRENICHL, NUFORRRn Ca,2k+1 とな
Bn ODE An EBS. (GIR Jim, るとを求めよ。
ー4 一 のM2(585一29)