藤原進之介です。このページでは京都府立医科大学2019年度の数学過去問を解答・解説つきで無料公開しています。
問題
解答
今日の一問 ── 解答と考え方
型の宣言：2項間漸化式 an+1 = 6an + 1 。係数が 1 でないので等差でも等比でもありません。定数をずらして等比に落とすのがこの型の一手です。
1. なぜその一手を選ぶのか
an+1 = pan + q を見たら、最初に確かめるのは p が 1 かどうかだけです。p = 1 なら公差 q の等差数列で即終了。ここでは p = 6 なので、その道は使えません。
次に考えるのは「何を足せば、余分な定数項が消えるか」です。両辺に同じ数 β を足して an+1 + β = 6( an + β ) の形にしたい。右辺を展開すると 6an + 6β なので、6β − β = 1 、つまり β = 15 と決まります。この一手を選ぶ理由は「定数項を消すため」であって、公式だからではありません。
2. 解答
- 両辺に 15 を足すと an+1 + 15 = 6( an + 15 ) 。
- よって数列 { an + 15 } は公比 6 の等比数列。
- 初項は a1 + 15 = 7 + 15 = 365 。
- したがって an + 15 = 365 · 6n−1 。
答え： an = 365 · 6n−1 − 15
3. 検算（ここまでを1セットにする）
n = 1： 365 × 1 − 15 = 7 。初項に一致します。
n = 2： 漸化式からは 6 × 7 + 1 = 43 。一般項からは 365 × 6 − 15 = 43 。一致します。
漸化式の問題は、一般項を出したら必ず n = 1 と n = 2 を入れる。符号ミスと初項ずれはここでほぼ全部捕まります。
この型の一般化： an+1 = pan + q（p ≠ 1）は、つねに β = q / (p − 1) を両辺に足せば等比に落ちます。ただし q が定数でなく n の式になっている場合（an+1 = pan + f(n)）はこの手が効かず、両辺を pn+1 で割る、階差を取る、といった別の一手に切り替えます。どの分岐を選ぶかは第11章 数列で整理しています。
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京都府立医科大学の数学の過去問は6年度ぶんを公開しています。志望校の傾向は1年だけでは見えないので、最低でも3年ぶんを続けて解くことをおすすめします。
問題PDFをテキストでも確認
京都府立医科大学 2019年度 数学入試問題の文字起こし・出題分析
公開中の問題PDFを検索・復習しやすいよう文字データ化し、読み取れた語句から出題分野を整理しました。
- 図形・三角関数
- 整数
- 複素数
- 微分・積分
- 確率・場合の数
- 空間図形
- ベクトル
この年度の出題範囲と傾向
2019年度の問題PDFでは、図形・三角関数、整数、複素数、微分・積分、確率・場合の数に関する語句や設問を確認できました。京都府立医科大学の公開PDFを年度横断で調べると、微分・積分は6年度、図形・三角関数は5年度、整数は5年度で検出されており、複数年を比較して対策したい分野です。
分野判定はPDFから読み取れた語句に基づく集計です。数式・記号・図表は文字変換で崩れる場合があるため、正確な条件は必ず原本PDFで確認してください。
問題文の文字起こし
問1画像OCR
検出分野: 図形・三角関数、整数、複素数、微分・積分、確率・場合の数
(2) 線分Pa-iPa(&和ミ1)と曲線どで囲まれる部分の面積を z,。とする。g,をょ
を用いて表せ。
B の7ののに対して, 8。 = Ba LBS, S, En を用いて表せ。
9 RPoDSAP, ETOH CORSE 1, EFS, BOS, HLT, FEO
値を求めよ。
wrens: A sm M2 (889—20)
4 は正の実数とする。 平面上にAOAB があり, 辺 0A の長さは. 辺 OBの長
さは1, OAと0B の内積は CHSLTS. SSK, KA を通り, 直線OB
と 0 で接し, 辺 AB と交わる円 とがあるとする。辺 AB と円の交点をD ET
る。ただし, D はA. Bと異なる点とする。人へOAD の内接円 , の半径を と
し, AOBD の内接円 Cz の半径を ヶ。 とする。
(1) <のとり得る値の範囲を求めよ。
Q) 線分 OD の長さを求めよ。
(20 およびヶヶをるを用いて表せ。
@ isが最大となるとぎ, gの値を求め AC と円 。 は接することを証明せ
よ。
ee. テー やM2(889一21)
複素数平面における円 C: |z| = 1 を考える。 複素数々に対して, 2はzに共役
な複素数を表す。
(1) 円上の点々における接線を 7 とする。このとき!7 上の点々 は等式
ztaz=2a
を満たすことを証明せよ。
次にぁを3 以上の整数とし, 円と上にぁヵ個の点g。 cz ...... の をとる。た
だし, af San ミをミッー1)かつg記 Fa とする。点 ex における円Cの
接線を(1 ミを到ぁヵ)とする。みとなュの交点をza(1 をミター1)とし, な
とちの交点をz,。 ETS.
2) このとき
ze eh
であることを証明せよ。
8) <=cos デー fsin ーー とする。ここでは虚数単位を表す。
ae = cos HE + isin = (15h Sn)
ELEERO z』 について
(g 一 Dz aus
ih ze
の値を求めよ。
3一 やM2(889一22)
ヶは2 以上の整数とし, TE Ln K, を考える。ル。の 2ヵ個の頂点から異な
る 3 個の頂点を無作為に選び, それらを頂点とする三角形7をつくる。7が直
角三角形になる確率を ヵ, とし, が鋭角三角形になる確率を g。 とする。
(1) ヵ。 と gs を求めよ。
(2) ヵ,をぁヶを用いて表せ。
(3) 7。をヵを用いて表せ。
@) Hm gn を求めよ。
A やM2 (889一23)
(計算 用 紙)
M2 (889-24)