関西学院大学 1995年度 過去問・解答

今日の一問 ── 解答と考え方

型の宣言：円と直線の共有点の個数 → 中心と直線の距離と半径の大小に翻訳する型。連立して判別式でも解けますが、距離のほうが速くて間違えにくい。

1. なぜその一手を選ぶのか

円 x² + y² = 100 は中心が原点、半径 √100 = 10 。直線 y = 3x + c は傾き固定で、c だけが上下に動きます。

異なる2点で交わる ⟺ 中心と直線の距離 < 半径。連立して2次方程式を作り判別式を見る方法もありますが、係数が増えて計算が重くなります。中心が原点にあるときは距離の公式が圧倒的に速い——この見極めがこの型の判断です。

2. 解答

1. 直線を 3x − y + c = 0 と整理する。
2. 原点との距離 d = |c|√(9 + 1) = |c|√10 。
3. 2点で交わる条件は d < 半径、すなわち |c|√10 < 10 。
4. 両辺を払って |c| < 10√10 。

答え： −10√10 < c < 10√10（≒ ±31.623）

3. 検算

c = 0 を入れてみる：直線が原点を通るので必ず2点で交わります。答えの範囲に 0 が入っていることを確認（−10√10 < 0 < 10√10 ✓）。
極端な c：|c| が大きいと直線は円から離れて交わらないはずで、答えが有界なのは正しい挙動です。境界の等号は「接する」場合なので、「異なる2点」では等号を含めません——ここを含めてしまうのがこの型の最頻出ミスです。

この型の一般化：共有点の個数は 距離 < 半径 → 2点、= → 1点（接する）、> → 0点。中心が原点でない円 (x−p)² + (y−q)² = r² でも同じで、点と直線の距離の公式に中心を入れるだけです。判別式を使うのは、交点の座標そのものが必要なときに限ります。第7章 座標で整理しています。