関西学院大学 2000年度 過去問・解答

今日の一問 ── 解答と考え方

型の宣言：「少なくとも1回」＝余事象。1回も出ない確率を1から引くだけで終わります。正面から「ちょうど1回・2回・…・7回」と足すのは7項の和になり、まず間に合いません。

1. なぜその一手を選ぶのか

さいころを7回投げて「5の目が少なくとも1回出る」の反対は、「7回とも5以外が出る」——これだけです。場合分けが7通りから1通りになります。

1回の試行で5以外が出る確率は 56 。各回は独立なので、7回とも5以外になる確率はこれを7回かけるだけです。「少なくとも」を見たら余事象、独立試行なら積——この2つの判断で終わります。

2. 解答

1. 余事象「7回とも 5 が出ない」の確率は （56）⁷ = 78,125279,936 。
2. 求める確率は 1 − 78,125279,936 = 201,811279,936 。
3. 約分して 201,811279,936 。

答え： 201,811279,936（≒ 0.7209）

3. 検算

確率なので 0 と 1 の間に入っていること：0.7209 で条件を満たします。回数が増えるほど1に近づくはずで、7回なら約72.1%。1回だけなら 16 ≒ 0.167 、無限回なら1に収束——この両端の間に収まっているかを見るのが一番速い検算です。

この型の一般化：独立試行で「少なくとも1回」は、つねに 1 − (外れる確率)^回数 。「少なくとも2回」以上になると余事象が「0回」と「1回」の2つに増えるので、その分だけ引き算が長くなります。余事象が何通りになるかが、この手を使うかどうかの判断基準です。第14章 確率で全事象の取り方を整理しています。