関西学院大学 2001年度 過去問・解答

今日の一問 ── 解答と考え方

型の宣言：対数方程式。解く前に真数条件——これを後回しにすると、出てきた解が使えるかどうか判断できません。まとめてから外すのは最後です。

1. なぜその一手を選ぶのか

まず定義域。真数は正でなければならないので x > 0 かつ x − 2 > 0 、あわせて x > 2 。この1行を最初に書くのが、この型で最も点になる部分です。

次に左辺。底が同じ 4 なので、log の和は積にまとめられます：log₄ x + log₄(x − 2) = log₄ {x(x − 2)} 。底をそろえて1つの log にするのが対数方程式の第一手です。

2. 解答

1. 真数条件：x > 0 かつ x − 2 > 0 より x > 2 。
2. log₄ {x(x − 2)} = 6 より x(x − 2) = 4⁶ = 4,096 。
3. 整理して x² − 2x − 4,096 = 0 。解の公式より x = 2 ± 2√40972 。
4. 負の解は真数条件 x > 2 を満たさないので捨てる。

答え： x = 2 + 2√40972（≒ 65.008）

3. 検算

真数条件で確かめる：65.008 > 2 なので採用してよい解です。
もう一方の解を見る：((2 − 2√4097) / 2 ≒ -63.008 は負で、真数条件から確実に外れます。2次方程式の解が2つ出たら、必ず両方を定義域に照らす——片方だけ見て終わるのがこの型の典型ミスです。

この型の一般化：log の和 → 積、差 → 商にまとめてから真数を比較するのが基本形。ただし「まとめる」操作は定義域を広げてしまうので（x と x−2 が両方負でも積は正になる）、最初に書いた真数条件で必ず絞り直します。底が違うときは底の変換公式で先にそろえます。第6章 関数で定義域の扱いを整理しています。