関西学院大学 2003年度 過去問・解答

関西学院大学2003年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

〔3〕文字係数の3次関数の、区間における最大値

0 < k < 1 として f(x) = x³ − 6kx² + 9k²x を考え、0 ≦ x ≦ 1 における最大値を M とします。

増減を調べる

f'(x) = 3x² − 12kx + 9k² = 3(x² − 4kx + 3k²) = 3(x − k)(x − 3k)

k > 0 より k < 3k なので、増減表は次のようになります。

極大値は f(k) = k³ − 6k³ + 9k³ = 4k³（極小値は f(3k) = 27k³ − 54k³ + 27k³ = 0）。

極大値と同じ高さに戻る点

y = f(x) と水平線 y = 4k³ は x = k で接するので、方程式 f(x) = 4k³ は x = k を重解にもちます。

x³ − 6kx² + 9k²x − 4k³ = 0

(x − k)² で割り切れるはずなので

(x − k)²(x − 4k) = 0

したがって x = k 以外の解は x = 4k。つまり「山を越えて谷を通り、再び 4k³ の高さに戻るのが x = 4k」という構造です。

展開して確認：(x−k)²(x−4k) = (x² − 2kx + k²)(x − 4k) = x³ − 6kx² + 9k²x − 4k³ ✓　接する ⇒ 重解という対応を使うと、3次方程式を因数分解する手間が省けます。

(1) 0 < k ≦ 1/4 のとき

この範囲では 4k ≦ 1 なので、区間 [0, 1] の右端 x = 1 は「再び 4k³ に戻った後の増加領域」にあります。したがって最大は右端。

M = f(1) = 1 − 6k + 9k² = (1 − 3k)²

M = 1/2 となる k を求めます。0 < k ≦ 1/4 のとき 1/4 ≦ 1 − 3k < 1 で正なので

(1 − 3k)² = 1/2 ⇔ 1 − 3k = 1/√2 = √2/2

3k = 1 − √2/2 = (2 − √2)/2

(2) 1/4 < k < 1 のとき

この範囲では 4k > 1 なので、x = 1 は山と「戻る点」の間（k < 1 < 4k）にあり、f(1) < 4k³。したがって最大は極大値そのもの。

M = f(k) = 4k³

M = 1/2 より 4k³ = 1/2 ⇔ k³ = 1/8

この年の学習ポイント

この問題の骨格は「区間の右端 x = 1 が、グラフのどの部分に位置するか」です。位置を決めるのは 4k と 1 の大小、つまり k と 1/4 の大小でした。

「最大値を与えるのは極大点か端点か」を判定するために、極大値と同じ高さに戻る点 x = 4k を先に求めておく — この一手が場合分けの境目を明確にしてくれます。3次関数の区間最大・最小では、この「戻る点」を押さえるのが定石です。

また (1) では (1−3k)² = 1/2 から 1 − 3k = ±√2/2 のどちらを採るかを、k の範囲から判断する必要がありました。2乗をはずすときは必ず符号を吟味してください。

関西学院大学2003年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。