関西学院大学 2007年度 過去問・解答

関西学院大学2007年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

〔3〕絶対値つき放物線と直線が囲む面積の最小化

曲線 y = |x(x − 2)| と直線 y = kx（0 < k < 2）が囲む部分の面積を S とします。

(1) S を k で表す

まず絶対値をはずします。x(x−2) の符号は 0 と 2 の間で負なので

y = x² − 2x（x ≦ 0 または 2 ≦ x）　／　y = −x² + 2x（0 < x < 2）

交点の x 座標を求めます。

下向き部分：−x² + 2x = kx ⇔ x(2 − k − x) = 0 ⇔ x = 0, 2 − k

上向き部分：x² − 2x = kx ⇔ x(x − 2 − k) = 0 ⇔ x = 0, 2 + k

0 < k < 2 なので 0 < 2−k < 2 < 2+k。囲まれる部分は3区間に分かれます。

第1区間は 6分の1公式が使えます。

∫₀^(2−k){(−x²+2x) − kx}dx = −∫₀^(2−k) x{x − (2−k)}dx = (1/6)(2−k)³

残りの2区間を計算して足し合わせると、最終的に

検算：k → 0 とすると S → (1/6)·8 = 4/3。これは曲線 y = |x(x−2)| と x 軸が 0 ≦ x ≦ 2 で囲む面積 ∫₀²(−x²+2x)dx = 4/3 に一致します。極限で既知の値に戻るかを確かめるのは、面積の公式を検算する最良の方法です。

(2) S を最小にする k

S(k) = (1/6)(2−k)³ + 2k² を微分します。

S'(k) = (1/6)·3(2−k)²·(−1) + 4k = −(1/2)(2−k)² + 4k

= −(1/2)(4 − 4k + k²) + 4k = −(1/2)k² + 6k − 2 = −(1/2)(k² − 12k + 4)

S'(k) = 0 ⇔ k² − 12k + 4 = 0 ⇔ k = 6 ± 4√2

4√2 ≒ 5.657 なので 6 − 4√2 ≒ 0.343 は 0 < k < 2 に含まれ、6 + 4√2 ≒ 11.7 は範囲外です。

増減表より、k = 6 − 4√2 の前後で S’ の符号が負から正に変わるので、そこが最小です。

〔2〕（解答値）

この大問は、3次関数の増減（ア〜オ）と空間ベクトル（カ〜コ）の融合でした。当塾で公開している解答PDFに掲載されている解答値は次のとおりです。

イ・ウ・エ・オについては、f(x) = x³ + 3x² − 9x を微分した f'(x) = 3x² + 6x − 9 = 3(x+3)(x−1) から、x = −3 で極大値 f(−3) = −27 + 27 + 27 = 27、x = 1 で極小値 f(1) = 1 + 3 − 9 = −5 となることが確認できます。
カ〜コのベクトルについては、問題文（各点の定義や成分）を確認できる資料が手元にないため、途中の考え方を推測で書くことはしていません。資料が確認でき次第、解説を追加いたします。

この年の学習ポイント

〔3〕は、絶対値つきのグラフと直線が囲む面積を求め、それを k の関数として最小化する総合問題です。ポイントは3つ。

(あ) 絶対値をはずして区間を分ける／(い) どちらが上かを区間ごとに判定する／(う) 6分の1公式が使える形を見つける。特に (い) を図なしで進めると符号を間違えます。必ずグラフを描いてください。

面積の式が出たら、k = 0 や k = 2 といった端の値で既知の面積に戻るかを確認する。この検算が、その後の微分計算を無駄にしないための保険になります。

関西学院大学2007年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。