関西学院大学 2008年度 過去問・解答

関西学院大学2008年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

〔1〕(1) 文字係数の2次関数の最大値と、整数の評価

y = 6 − ax（a > 0）のもとで、xy + 2x + b の最大値を考えます。

アイ　最大値を与える x と最大値

y を代入して x の2次式にします。

xy + 2x + b = x(6 − ax) + 2x + b = −ax² + 8x + b

a > 0 なので上に凸。平方完成すると

= −a(x − 4/a)² + b + 16/a

したがって x = 4/a のとき最大値 b + 16/a をとります。

ウエ　条件を満たす最小の整数

4/a < 3 という条件は a > 4/3 と同値です。

このとき 16/a = 4 × (4/a) < 4 × 3 = 12 なので、最大値は

b + 16/a < b + 12 < 3 + 12 = 15（b < 3 のもとで）

よって xy + 2x + b はつねに 15 未満であり、条件を満たす最小の整数は 15 です。

「つねに p 未満となる最小の整数 p」を求めるときは、最大値の上限を評価するのが手順です。等号が成立しない不等式を重ねていくので、最後に「15 より小さい整数では不十分」も確認できると完璧です。

〔1〕(2) 符号が交互に変わる数列の和

a_n = (−1)ⁿ⁻¹n²（1, −4, 9, −16, …）の初項から第 n 項までの和 S_n を求めます。

オ　2項ずつ組にする

奇数番目と偶数番目をペアにすると

a_2k−1 + a_2k = (2k − 1)² − (2k)² = {(2k−1) + 2k}{(2k−1) − 2k} = (4k − 1)(−1) = 1 − 4k

因数分解 A² − B² = (A+B)(A−B) を使うと展開せずに済みます。

カ　n が偶数（n = 2m）のとき

S_2m = Σ_k=1^m(1 − 4k) = m − 4·m(m+1)/2 = m − 2m² − 2m = −2m² − m = −m(2m + 1)

m = n/2 を代入すると S_n = −(n/2)(n + 1) = −n(n+1)/2。

キ　n が奇数（n = 2m − 1）のとき

S_2m−1 = S_2m − a_2m = −2m² − m − (−4m²) = 2m² − m = m(2m − 1)

m = (n+1)/2 を代入すると S_n = {(n+1)/2}·n = n(n+1)/2。

ク　まとめる

偶数のとき −n(n+1)/2、奇数のとき +n(n+1)/2 なので、符号を (−1)ⁿ⁻¹ でまとめられます。

検算：S₁ = 1 = 1·2/2 ✓　S₂ = 1 − 4 = −3 = −2·3/2 ✓　S₃ = 1 − 4 + 9 = 6 = 3·4/2 ✓
符号が交互に変わる数列は、2項ずつ組にするのが第一手です。組にした結果が等差数列になれば、あとは公式で終わります。

〔3〕放物線が線分と2点で交わる条件と、係数の存在範囲

放物線 y = 4(x − a)² + b が、O(0, 0) と A(1, 0) を結ぶ線分 OA と異なる2点で交わる条件を考えます。

(1) 基本となる4条件

線分（x 軸上の 0 ≦ x ≦ 1 の部分）と2点で交わるので、次の4つがすべて必要です。

これらを ab 平面で描くと、2本の放物線 b = −4a²、b = −4(1−a)² と直線 b = 0 で囲まれた領域になります。

交点が線分の両端 O, A と一致するのは、上の2式がともに等号のとき。

−4a² = b かつ −4(1−a)² = b ⇔ a² = (1−a)² ⇔ a = 1/2、このとき b = −1。

(2)(3) 端点で接する／接しない場合

片方の端点だけを通る場合は、2式のうち一方だけが等号。両方とも通らない場合は、両方とも真の不等号になります。

後者に対応する (a, b) の存在範囲は、2本の放物線と直線 b = 0 で囲まれた領域の内部（境界を含まない）です。

(4) その領域の面積

領域は 0 ≦ a ≦ 1/2 では b = −4a² が下側の境界、1/2 ≦ a ≦ 1 では b = −4(1−a)² が下側の境界です（2本は a = 1/2 で交わります）。上側の境界はどちらも b = 0。

S = ∫₀^(1/2) 4a² da + ∫_(1/2)^1 4(1 − a)² da

前半 = [4a³/3]₀^(1/2) = 4/3 × 1/8 = 1/6。後半も対称性から 1/6。

2本の放物線は a = 1/2 に関して対称なので、前半を計算して2倍するだけで済みます。対称性を見つけたら必ず使ってください。

この年の学習ポイント

〔3〕は「係数 (a, b) の存在範囲を ab 平面に描く」という、逆像法・存在範囲の典型問題です。x についての条件を、a と b の不等式に翻訳するという一手が本質で、翻訳さえできれば残りは領域の図示と面積計算になります。

〔1〕(2) の「交項数列は2項ずつ組にする」も含め、この年は「そのままでは扱いにくい対象を、扱いやすい形に組み替える」という主題で一貫していました。

〔2〕については、当塾で公開している解答PDFから問題文と途中の考え方を十分に確認できないため、推測で解説を作ることはしていません。資料が確認でき次第、追加いたします。