関西学院大学 2010年度 過去問・解答

関西学院大学2010年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

〔1〕(1) 半角の公式と三角関数の合成

y = √3 sin2x + 4cos²x − 2sin²x を考えます。

アイウ　1つの sin にまとめる

半角の公式 cos²x = (1 + cos2x)/2、sin²x = (1 − cos2x)/2 を使って、すべて 2x の式にそろえます。

y = √3 sin2x + 2(1 + cos2x) − (1 − cos2x) = √3 sin2x + 3cos2x + 1

合成します。√{(√3)² + 3²} = √12 = 2√3 なので

√3 sin2x + 3cos2x = 2√3{ (1/2)sin2x + (√3/2)cos2x } = 2√3 sin(2x + π/3)

4cos²x − 2sin²x のように2乗が混ざった式は、まず半角で次数を下げて 2x にそろえるのが定石です。そろえてから合成すれば、必ず1つの三角関数にまとまります。

エオ　0 ≦ x ≦ π/2 における最大・最小

0 ≦ x ≦ π/2 のとき π/3 ≦ 2x + π/3 ≦ 4π/3。

この区間で sin が最大 1 になるのは 2x + π/3 = π/2、すなわち x = π/12。最大値は 2√3 + 1。

最小は区間の右端 4π/3 で sin = −√3/2（3π/2 は区間外なので −1 には届きません）。x = π/2 のとき

y = 2√3 × (−√3/2) + 1 = −3 + 1 = −2

合成後の角の範囲 [π/3, 4π/3] に 3π/2 が含まれないため、最小値は端点で決まります。範囲を書き出さずに「最小は −1 のとき」と決めつけると誤答になります。

カ〜コ　最短経路の数え上げ

格子状の道を最短で進む経路の総数を数えます。

最短経路の総数は「右へ進む回数と上へ進む回数の並べ方」なので組合せで数えます。特定の点を通る経路は、区間ごとの経路数の積で求め、通らない経路は全体から引くのが基本です。

〔2〕群数列

自然数を、第 n 群に 2n 個ずつ入るように区切ります（第1群に2個、第2群に4個、第3群に6個…）。

(1) 第10群・第 n 群の最後の数

第 n 群までに並ぶ個数の合計が、第 n 群の最後の数です。

Σ_k=1ⁿ 2k = 2 × n(n+1)/2 = n(n + 1)

n = 10 のとき 10 × 11 = 110。

(2) 2010 が第 p 群の q 番目

2010 が第 n 群に入る条件は「第 (n−1) 群の最後 < 2010 ≦ 第 n 群の最後」、すなわち n(n+1) ≧ 2010 を満たす最小の n。

44 × 45 = 1980 < 2010、45 × 46 = 2070 ≧ 2010 なので p = 45。

第44群の最後が 1980 なので、2010 はそこから数えて

q = 2010 − 1980 = 30（番目）

(3) 第 n 群に含まれる数の和 S_n

第 n 群の最初の数は、第 (n−1) 群の最後の次なので (n−1)n + 1 = n² − n + 1。最後の数は n(n+1) = n² + n。項数は 2n。

連続する自然数なので等差数列の和の公式が使えます。

S_n = 2n{(n² − n + 1) + (n² + n)}/2 = n(2n² + 1)

検算：n = 1 なら第1群は {1, 2} で和は3。公式は 1 × (2 + 1) = 3 ✓　n = 2 なら第2群は {3, 4, 5, 6} で和は18。公式は 2 × (8 + 1) = 18 ✓

(4) 第 n 群の奇数の和 T_n と、S_n/T_n の極限

まず第 n 群の最初の数が奇数であることを示します。第 (n−1) 群の最後の数 (n−1)n は連続2整数の積なので必ず偶数。その次の数だから奇数です。

（同様に第 n 群の最後の数 n(n+1) も偶数です。）

したがって第 n 群では、奇数と偶数が交互に 2n 個並び、奇数はちょうど n 個。初項 n² − n + 1、公差 2、項数 n なので末項は

(n² − n + 1) + 2(n − 1) = n² + n − 1

T_n = n{(n² − n + 1) + (n² + n − 1)}/2 = n × 2n²/2 = n³

最後に極限を計算します。

S_n/T_n = n(2n² + 1)/n³ = 2 + 1/n² → 2（n → ∞）

T_n = n³ という美しい結果になります。群内の数の約半分が奇数なので、和も約半分。S_n ≒ 2n³ に対して T_n = n³ で比が 2 に収束するのは自然な結果です。

この年の学習ポイント

〔2〕の群数列は、「第 n 群の最後の数」を先に求めることがすべての出発点です。そこから最初の数（前の群の最後 + 1）、項数、和が芋づる式に出ます。

(4) では「最初の数が奇数」という偶奇の議論が必要でした。n(n−1) が連続2整数の積だから偶数、という一言を書けるかどうかで論証の完成度が変わります。

関西学院大学2010年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。