関西学院大学 2011年度 過去問・解答

関西学院大学2011年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

〔1〕(1) 対数関数のグラフの平行移動

y = log₂(x/2 + 3) のグラフが y = log₂x をどう平行移動したものかを調べます。

アイ　平行移動の量

真数を「x + 6 の定数倍」の形に直すのがポイントです。

x/2 + 3 = (1/2)(x + 6) なので

y = log₂{(1/2)(x + 6)} = log₂(x + 6) + log₂(1/2) = log₂(x + 6) − 1

log₂(x + 6) は x 方向に −6、そこからさらに y 方向に −1 の移動です。

対数の中の係数は縦方向の平行移動に化けます（log(kx) = log x + log k）。指数関数の場合と混同しやすいところなので、必ず log の性質に戻して確認してください。

ウ　2つのグラフの共有点の x 座標

真数条件は x/2 + 3 > 0 かつ x > 0、すなわち x > 0。

log₂(x + 6) − 1 = log₂x ⇔ log₂{(x + 6)/x} = 1 ⇔ (x + 6)/x = 2 ⇔ x + 6 = 2x

〔1〕(2) 対称式で c + 1/c から高次の値を出す

a = √7 + √3、b = √7 − √3、c = a/b とします。

まず基本量を押さえます。ab = (√7)² − (√3)² = 4、a + b = 2√7、a − b = 2√3、a² + b² = (10 + 2√21) + (10 − 2√21) = 20。

エ　c + 1/c

c + 1/c = a/b + b/a = (a² + b²)/(ab) = 20/4

オ　c − 1/c

c − 1/c = (a² − b²)/(ab) = (a + b)(a − b)/(ab) = (2√7)(2√3)/4 = 4√21/4

カ　c² + 1/c²

(c + 1/c)² = c² + 2 + 1/c² なので

c² + 1/c² = 5² − 2

キ　c³ + 1/c³

(c + 1/c)³ = c³ + 3c + 3/c + 1/c³ = c³ + 1/c³ + 3(c + 1/c) なので

c³ + 1/c³ = 5³ − 3 × 5

c を有理化して実際の値（(5 + √21)/2）を求める必要はありません。c + 1/c の値さえ分かれば、2乗・3乗はすべて公式で降ろせます。検算：c² + 1/c² = 23 と c − 1/c = √21 は (c−1/c)² = c² + 1/c² − 2 = 21 で整合します。

〔1〕(3) 同じものを含む順列

A が2個、B が3個、C が4個、計9個の文字をすべて使って並べます。

ク　順列の総数

9!/(2!·3!·4!) = 362880/(2 × 6 × 24) = 362880/288

ケ　B 3個が連続する順列

BBB を1つのかたまりとみなすと、並べる対象は A, A, [BBB], C, C, C, C の7個。

7!/(2!·1!·4!) = 5040/(2 × 1 × 24) = 5040/48

コ　A 2個が隣り合わない順列

先に A 以外の B 3個・C 4個（計7個）を並べ、そのあとすき間に A を入れるという手順で数えます。

B, C の並べ方：7!/(3!·4!) = 5040/144 = 35 通り

7個の文字の両端と間のすき間は 7 + 1 = 8 か所。ここから異なる2か所を選んで A を入れれば、A どうしは必ず離れます。

₈C₂ = 28 通り

「隣り合わない」はすき間法（他を並べてから間に入れる）が定石です。余事象（全体 − 隣り合う場合）でも解けますが、A が3個以上になると余事象は複雑になるので、すき間法に慣れておくほうが応用が利きます。

この年の学習ポイント

(2) は「値そのものを求めない」練習です。c = (√7+√3)/(√7−√3) を有理化して代入する道もありますが、計算量が跳ね上がります。c + 1/c という1つの量に情報を集約するという発想が、対称式の問題全般に効きます。

(3) は「連続する（かたまりにする）」と「隣り合わない（すき間に入れる）」という2つの正反対の手法を並べて問う設計です。どちらの手法をいつ使うかを、この問題で対比して覚えてください。

関西学院大学2011年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。