関西学院大学 2012年度 過去問・解答

関西学院大学2012年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

〔1〕(1) 2次方程式の解の配置

x² − 2ax + 3 − 2a = 0 …① について考えます。f(x) = x² − 2ax + 3 − 2a とおきます。

アイ　①が実数解をもつ a の範囲

x の係数が偶数なので D/4 を使います。

D/4 = a² − (3 − 2a) = a² + 2a − 3 = (a + 3)(a − 1) ≧ 0

ウ　①が正の解と負の解を1つずつもつ a の範囲

下に凸の放物線が y 軸をまたいで x 軸を切る条件は、f(0) < 0 だけで必要十分です（判別式も軸の条件も不要）。

f(0) = 3 − 2a < 0

f(0) < 0 なら、下に凸のグラフは必ず x 軸を2回横切り、しかも 0 をまたぎます。判別式 D > 0 は自動的に従うので書く必要がありません。

エオ　①が実数解をもち、すべての解が 1/2 以上となる a の範囲

今度は「2解がともに 1/2 以上」なので、次の3条件すべてが必要です。

(i) 実数解をもつ：D/4 ≧ 0　⇒　a ≦ −3 または a ≧ 1
(ii) 境界での値が 0 以上：f(1/2) ≧ 0
(iii) 軸が境界より右：軸 x = a ≧ 1/2

f(1/2) = 1/4 − a + 3 − 2a = 13/4 − 3a ≧ 0 ⇔ a ≦ 13/12

(iii) より a ≧ 1/2 なので、(i) の a ≦ −3 は除外され a ≧ 1 が残ります。

解が「両方とも k 以上」のときは 判別式・軸・f(k) の3点セットが必要ですが、「k をまたぐ」ときは f(k) の符号1つで済みます。問われている配置によって必要な条件の数が変わることを整理しておいてください。

〔1〕(2) さいころの試行の得点と期待値

さいころを振り、4以下の目（確率 4/6 = 2/3）なら +1点、5以上の目（確率 2/6 = 1/3）なら −1点とします。最大4回振りますが、5以上の目が3回出た時点で終了します。合計得点を X とします。

カ　P(X = 4)

4回すべて4以下の目。

キ　P(X = 2)

4回のうち4以下が3回、5以上が1回。どの回に5以上が出るかで ₄C₁ 通り。

ク　P(X = 0)

4以下が2回、5以上が2回。

ケ　P(X = −2)

5以上が3回出た時点で終了するので、これは4回目で終わる場合です。「最初の3回で5以上がちょうど2回・4以下が1回」→「4回目に5以上」という順序が必要です。

ここが最大の落とし穴です。単純に ₄C₃(2/6)³(4/6) としてしまうと、5以上が3回出た時点で終わるという規則を無視した数え方になります。「最後の1回で条件を満たす」型は、直前までの状態と最後の1回を分けて掛けるのが鉄則です。

コ　X の期待値

P(X = −3) は5以上が3回続けて出る場合で (2/6)³ = 1/27。

確率の合計を確認します：16/81 + 32/81 + 24/81 + 6/81 + 3/81 = 81/81 = 1。

E(X) = 4(16/81) + 2(32/81) + 0(24/81) + (−2)(6/81) + (−3)(3/81)

= (64 + 64 + 0 − 12 − 9)/81 = 107/81

この年の学習ポイント

(1) は解の配置問題の典型で、「またぐ」なら f(k) の符号だけ、「両方とも k 以上」なら3条件という使い分けが主題でした。図を描いて、どの条件が必要かを毎回自分で判断してください。

(2) は「途中で終了する試行」の確率です。反復試行の公式をそのまま当てはめると誤答になります。終了条件が発動する瞬間を最後に固定するという数え方を身につけてください。確率の合計が1になるかどうかが、正しく数えられたかの最良の検算になります。

関西学院大学2012年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。