関西学院大学 2014年度 過去問・解答

関西学院大学2014年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している全問を独立に検算しています。

〔1〕(1) 文字係数の連立1次方程式と、解の符号条件

k ≠ 0 として、連立方程式 2x − 3ky = 3、x − ky = k² + 1/2 を考えます。

アイ　解を k で表す

第2式より x = ky + k² + 1/2。これを第1式に代入します。

2(ky + k² + 1/2) − 3ky = 3 ⇔ −ky + 2k² + 1 = 3 ⇔ −ky = 2 − 2k²

k ≠ 0 なので y = 2(k² − 1)/k。これを戻して

x = ky + k² + 1/2 = 2(k² − 1) + k² + 1/2 = 3k² − 3/2

ウエオ　x > 0 かつ y > 0 となる k の範囲

x > 0 ⇔ 2k² − 1 > 0 ⇔ k < −√2/2 または k > √2/2　…①

y > 0 ⇔ (k² − 1)/k > 0。分数式の符号は分子と分母の符号の一致で決まります。

k > 0 のとき k² − 1 > 0 ⇒ k > 1／k < 0 のとき k² − 1 < 0 ⇒ −1 < k < 0

よって y > 0 ⇔ k > 1 または −1 < k < 0　…②

①と②の共通部分をとります。√2/2 ≒ 0.707 なので

カ　x < 0 かつ y > 0 となる k の範囲

x < 0 ⇔ 2k² − 1 < 0 ⇔ −√2/2 < k < √2/2　…③

②と③の共通部分。k > 1 は③に含まれず、−1 < k < 0 と③の重なりは −√2/2 < k < 0。

分数不等式 (k²−1)/k > 0 は、両辺に k を掛けてはいけません（k の符号が不明のため）。分子と分母の符号の組合せで場合分けするか、両辺に k² (> 0) を掛けて k(k²−1) > 0 とするのが安全です。

〔1〕(2) カードの取り出しと期待値

「1」が1枚、「2」が2枚、「3」が3枚の計6枚から3枚を取り出し、書かれた数の和を X とします。

全体の場合の数

₆C₃ = 20 通り

キ　P(X = 5) と P(X = 9)

X = 5 になるのは (1, 2, 2) の組合せだけ。₁C₁ × ₂C₂ = 1 通り。

X = 9 になるのは (3, 3, 3) だけ。₃C₃ = 1 通り。

ク　P(X = 6)

(1, 2, 3) の組合せ。₁C₁ × ₂C₁ × ₃C₁ = 1 × 2 × 3 = 6 通り。

ケ　P(X = 7)

(2, 2, 3) と (1, 3, 3) の2通りの型があります。

(2,2,3)：₂C₂ × ₃C₁ = 1 × 3 = 3 通り
(1,3,3)：₁C₁ × ₃C₂ = 1 × 3 = 3 通り

コ　P(X = 8)

(2, 3, 3) の組合せ。₂C₁ × ₃C₂ = 2 × 3 = 6 通り。

サ　X の期待値

確率の合計が 1/20 + 3/10 + 3/10 + 3/10 + 1/20 = 1 になることを確認してから計算します。

E[X] = 5·(1/20) + 6·(3/10) + 7·(3/10) + 8·(3/10) + 9·(1/20) = (5 + 36 + 42 + 48 + 9)/20 = 140/20

別解：期待値の線形性を使えば、6枚の平均は (1 + 2·2 + 3·3)/6 = 14/6 = 7/3 なので、3枚の和の期待値は 3 × 7/3 = 7 と一瞬で出ます。分布を全部求めなくても検算できるので、必ず確認してください。

この年の学習ポイント

(1) の分数不等式は、分母の符号が不明なまま両辺に掛けないという鉄則の練習です。k > 0 と k < 0 で場合分けするか、k² を掛けて多項式の不等式に直してください。

(2) は同じ数字が複数枚あるカードの取り出しです。「(2,2,3) を取る場合の数」は ₂C₂ × ₃C₁ のように種類ごとに何枚選ぶかの組合せの積で数えます。並べ方は考えない（和だけが問題なので）点に注意してください。

関西学院大学2014年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。