関西学院大学 2017年度 過去問・解答

関西学院大学2017年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

〔1〕(1) 絶対値つき不等式と、2次不等式の解の配置

|4x − 3| < 2x + 1 …① と、(1/2)x² + 2ax + 1 − 2a² < 0 …② を考えます。

アイ　①を解く

絶対値の中身の符号で場合分けします。

x ≧ 3/4 のとき：4x − 3 < 2x + 1 ⇔ x < 2。合わせて 3/4 ≦ x < 2。

x < 3/4 のとき：−4x + 3 < 2x + 1 ⇔ x > 1/3。合わせて 1/3 < x < 3/4。

2つを合わせて

|A| < B は「−B < A < B」と一気に書いても解けます（B > 0 が自動的に従うため）。−(2x+1) < 4x−3 < 2x+1 から同じ結果が出るので、検算に使ってください。

ウエ　②を満たす x が存在する条件

下に凸の2次関数が負の値をとる x が存在する ⇔ 2次方程式 (1/2)x² + 2ax + 1 − 2a² = 0 が異なる2実数解をもつ。

判別式の 1/4 を使うと D/4 = (2a)²/4 − (1/2)(1 − 2a²)… ここでは D/4 = a² − (1/2)(1 − 2a²) = 2a² − 1/2。

2a² − 1/2 > 0 ⇔ 4a² > 1 ⇔ |a| > 1/2

オ　①を満たす整数 x が②も満たす条件

1/3 < x < 2 を満たす整数は x = 1 のみ。これを②に代入します。

1/2 + 2a + 1 − 2a² < 0　⇔（両辺2倍して整理）　4a² − 4a − 3 > 0

(2a + 1)(2a − 3) > 0

整数がただ1つに定まるので、「すべての整数解が②を満たす」という条件が「x = 1 を代入するだけ」に単純化されます。まず整数を書き出すのが最短です。

〔1〕(2) さいころの目で決まる2直線の交点が格子点になる確率

2個のさいころの目を a, b とし、直線 y = ax と y = −bx + 30 の交点を考えます。

交点の座標

ax = −bx + 30 ⇔ (a + b)x = 30 ⇔ x = 30/(a + b)、y = ax = 30a/(a + b)

x が整数なら y = ax も整数（a は整数）。したがって「x, y がともに整数」⇔「a + b が 30 の約数」です。

1 ≦ a, b ≦ 6 より 2 ≦ a + b ≦ 12 なので、候補は a + b = 2, 3, 5, 6, 10。

カ　x, y がともに整数となる確率

キ　整数だったとき a = 4 である条件つき確率

上の15通りのうち a = 4 なのは (4,1), (4,2), (4,6) の3通り。

ク　整数だったとき a = 2b である条件つき確率

15通りのうち a = 2b なのは (2,1), (4,2) の2通り。

ケ　x が整数でなく y が整数となる確率

a + b が 30 の約数なら x が整数になってしまうので、a + b は 30 の約数ではないことが前提。そのうえで y = 30a/(a+b) が整数になる場合を探します。

a + b = 7, 11 は素数で、30 とも a とも約分できないため候補が消えます。分母を既約分数に直してから、分子の a が何の倍数であるべきかを読むのが手順です。

コ　x, y ともに整数でない確率

x が整数なら y も必ず整数なので、起こりうるのは次の3つだけです。

(あ) x, y ともに整数（5/12）　(い) x は整数でなく y は整数（5/36）　(う) 両方とも整数でない

したがって余事象で

この年の学習ポイント

(2) は「整数になる条件」を約数の言葉に翻訳できるかがすべてです。x = 30/(a+b) が整数 ⇔ a+b が30の約数、というひと言に持ち込めれば、あとは 2 ≦ a+b ≦ 12 の範囲で約数を拾うだけになります。

コの設問では、「x が整数 ⇒ y も整数」だから3つの場合しかないという論理を先に整理することが決め手です。場合の全体像を把握してから余事象を使ってください。

関西学院大学2017年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。