関西学院大学 2018年度 過去問・解答

関西学院大学2018年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

〔1〕(1) 円に内接する四角形

円に内接する四角形ABCDで、AB = 3、BC = 6、CD = 9、DA = 3 とします。

ア　∠ABC

円に内接する四角形の向かい合う内角の和は180°なので、∠ABC = θ とおくと ∠ADC = 180° − θ。

対角線ACを、2つの三角形それぞれで余弦定理を使って表します。

三角形ABC：AC² = 3² + 6² − 2·3·6·cosθ = 45 − 36cosθ　…①

三角形ACD：AC² = 3² + 9² − 2·3·9·cos(180° − θ) = 90 + 54cosθ　…②

cos(180° − θ) = −cosθ を使うと符号が反転する点が要点です。①＝②より

45 − 36cosθ = 90 + 54cosθ ⇔ −90cosθ = 45 ⇔ cosθ = −1/2

イ　AC の長さ

①に代入して AC² = 45 − 36(−1/2) = 45 + 18 = 63。AC > 0 より

ウ　四角形ABCDの面積

対角線ACで2つの三角形に分けます。∠ADC = 180° − 120° = 60° です。

S = (1/2)·3·6·sin120° + (1/2)·3·9·sin60° = (9 + 27/2)·(√3/2) = (45/2)(√3/2)

エ　sin∠BAD

今度は対角線BDで分けます。∠BAD = α とすると ∠BCD = 180° − α なので、sin∠BCD = sinα。

S = (1/2)·3·3·sinα + (1/2)·6·9·sinα = (9/2 + 27)sinα = (63/2)sinα

面積は分け方によらないので (63/2)sinα = 45√3/4。

同じ面積を2通りに表して等式を作るのが、この設問の核心です。対角線ACで分けるかBDで分けるかで、登場する角が変わります。

オ　点Dから直線ABに下ろした垂線の長さ DH

三角形ADHは ∠AHD = 90°、∠HAD = 180° − α（HはABの延長上にあるため、∠BADの外角）を満たす直角三角形です。

DH = AD·sin∠HAD = AD·sin(180° − α) = AD·sinα = 3 × 5√3/14

〔1〕(2) 復元しない抽出と、大小順に並べた場合の確率

1から9までの数字が書かれた9枚のカードから4枚を戻さずに取り出します。取り出した順に X₁, X₂, X₃, X₄ とし、それらを小さい順に並べたものを Y₁ < Y₂ < Y₃ < Y₄ とします。

カ　P(X₂ = 4)

X₃, X₄ は結果に影響しないので、(X₁, X₂) だけを考えます。全体は ₉P₂ = 9·8 通り。

X₂ = 4 となるのは X₁ が 4 以外の 8 通り。

直感どおり「2番目が4である確率」は「どの位置でも4が来る確率」と同じ 1/9 です。対称性から即答できることも覚えておくと検算になります。

キ　P(X₁ + X₂ ≦ 7)

異なる2数で和が7以下の順序対を数え上げます。

和7：(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) の6通り
和6：(1,5)(2,4)(4,2)(5,1) の4通り
和5：(1,4)(2,3)(3,2)(4,1) の4通り
和4：(1,3)(3,1) の2通り
和3：(1,2)(2,1) の2通り

合計 18 通り。

同じ数は2度取り出せないので、(3,3) のような組は数えません。ここを見落とすと個数がずれます。

ク　P(X₄ = 2X₁)

(X₁, X₄) = (1,2), (2,4), (3,6), (4,8) の4通り。X₂, X₃ は残りから自由に選べます。

全体は ₉P₄ = 9·8·7·6 通り、条件を満たすのは 4 × (1·7·6·1) 通りなので

ケ　P(Y₂ = 4)

Y₁ < Y₂ < Y₃ < Y₄ は大小関係が決まっているので、4個を選べば並べ方は一意。全体は ₉C₄ = 126 通り。

Y₂ = 4 となるのは、Y₁ が 1, 2, 3 のいずれか（3通り）で、Y₃ < Y₄ が 5〜9 から2個（₅C₂ = 10通り）。

コ　P(Y₄ = 2Y₁)

Y₁ と Y₄ の間に Y₂, Y₃ の2つが入るので Y₄ − Y₁ ≧ 3 が必要です。

Y₄ = 2Y₁ かつ 2Y₁ ≦ 9 かつ Y₁ ≧ 3 より (Y₁, Y₄) = (3, 6), (4, 8) の2通り。

(3, 6) のとき (Y₂, Y₃) は 4, 5 から2個 → (4,5) の1通り
(4, 8) のとき (Y₂, Y₃) は 5, 6, 7 から2個 → (5,6), (5,7), (6,7) の3通り

「間に2つ入る＝差が3以上」という制約を先に立てることで、候補が (1,2) や (2,4) を含む4組から2組へ絞れます。並べたあとの順序が保証されているという条件を、数える前に不等式に翻訳するのがコツです。

この年の学習ポイント

(1) は「同じ量を2通りに表して等式を作る」典型でした。面積を対角線ACで分けるかBDで分けるかで別の式ができ、それを等号で結ぶと未知の角が求まります。

(2) は 順序を区別する場合（X）と区別しない場合（Y）の違いが主題です。X では順列 ₉P_k、Y では組合せ ₉C₄ が分母になります。どちらの数え方をしているかを毎回確認してください。

関西学院大学2018年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。