関西学院大学 2020年度 過去問・解答

関西学院大学2020年度の数学について、解答と解説を掲載します。数値はすべて当塾で独立に検算し、公開している解答PDFと照合済みです。

〔1〕(1) 2解の間にある整数の個数から k を絞る

f(x) = x² − (2k−1)x + k − 1 とし、f(x) = 0 の2解を α < β とします。α < n < β を満たす整数 n がちょうど2個となる整数 k を求めます。

ア　(β − α)² を k で表す

解と係数の関係より α + β = 2k − 1、αβ = k − 1。

(β − α)² = (α + β)² − 4αβ = (2k − 1)² − 4(k − 1) = 4k² − 4k + 1 − 4k + 4

イウ　k の値

まず候補を絞ります。α < n < β を満たす整数がちょうど2個なら、区間の幅は 3 を超えられません（幅が3より大きいと整数が3個以上入る場合が出ます）。したがって

β − α ≦ 3　⇔　(β − α)² ≦ 9　⇔　4k² − 8k + 5 ≦ 9

4k² − 8k − 4 ≦ 0 ⇔ k² − 2k − 1 ≦ 0 ⇔ 1 − √2 ≦ k ≦ 1 + √2

1 − √2 ≒ −0.41、1 + √2 ≒ 2.41 なので、整数 k の候補は k = 0, 1, 2 の3つ。ここからは1つずつ確かめます。

「幅 ≦ 3」は必要条件にすぎません。候補を絞ったあと、実際に解を求めて数え直す工程が必須です。k = 1 のように、幅は条件を満たすのに整数が1つも入らない例が実際に出てきます。
なお当塾公開の解答PDFでは、k = 0 のときの解が (−1 ± √2)/2 と印字されていますが、x² + x − 1 = 0 の判別式は 1 + 4 = 5 なので (−1 ± √5)/2 が正しい値です（間の整数が −1, 0 の2個であるという結論は変わりません）。

〔1〕(2) さいころの累積和と条件つき確率

さいころを繰り返し投げ、出た目の合計が初めて5以上になったときの回数を X とします。

エ　P(X = 1)

1回目で合計が5以上になるのは a = 5, 6 のときなので

2/6 = 1/3

オ　P(X = 2)

a ≦ 4 かつ a + b ≧ 5 となる (a, b) を数えます。

計 18 通りなので 18/6² = 1/2

カ　P(X = 4)

a + b + c ≦ 4 かつ a + b + c + d ≧ 5 が条件です。各目は1以上なので a + b + c ≧ 3、つまり a+b+c は 3 か 4 に限られます。

a + b + c = 3：(a,b,c) = (1,1,1) の1通り。d ≧ 2 が必要なので d は 5 通り。計 1 × 5 = 5

a + b + c = 4：(1,1,2), (1,2,1), (2,1,1) の3通り。d ≧ 1 はつねに成立するので d は 6 通り。計 3 × 6 = 18

合計 23 通りなので

「1以上6以下の目が3つで和が4以下」は非常に限られます。下限（各目が1以上）から攻めると、数える対象が一気に減ります。

キ　X ≧ 3 のもとで X = 4 となる条件つき確率

A：X ≧ 3、B：X = 4 とすると、B ⊂ A なので A ∩ B = B。

P(A) は余事象で求めます。P(A) = 1 − P(X = 1) − P(X = 2) = 1 − (1/3 + 1/2) = 1/6

P_A(B) = P(B)/P(A) = (23/1296) ÷ (1/6) = 23/1296 × 6

X は 1, 2, 3, 4 のいずれか（最小の目が1なので、4回で必ず合計4以上、5回目までに必ず5以上になる）。P(A) を直接 P(X=3) + P(X=4) と計算するより、余事象を使うほうが速い典型例です。

この年の学習ポイント

(1) は「必要条件で候補を絞り、1つずつ検証する」という、整数がからむ問題の王道です。絞り込みだけで終わらせないことが最重要で、k = 1 という反例がそのことを教えてくれます。

(2) は場合の数の丁寧な数え上げが問われました。表を書いて数えることを面倒がらないでください。a の値ごとに b の個数を並べると、3+4+5+6 = 18 と規則も見えて検算になります。

関西学院大学2020年度は複数日程が実施されています。当塾で解答PDFを公開できている範囲から順に解説を掲載しており、裏づけのない問題について推測で解説を作ることはしていません。