京都大学 1995年度 過去問・解答

(1) |中<く 2 ならば, 直線*=ニ7/は異なる2点A」, A。でCと交わることを示
せ。

(2) |t]<2, P#BEDFS, (VOA, A。 とそれぞれ同じゃ座標をふつ点 B,
BACB, +A, Bet A.) がC上にあることを示し MAORS OW SE
を求めよ。

[5] (30 #0
1 番から 7 番まで番号のついた席が番号順に一列に並んでいる。客が順に到着

して次のよう人着席していくとする。

4) 両端の席および先客が着席している隣の席に次の客が着席する確率は, すべ
て等しい。

(5) 両隣が空席の席に着席する確率は, 隣の席にすでに先客が着席している席ま
たは痛の席に着席する確率に比べて 2 倍である。
このとき。

1) 3人目の客が到着したときに, すでに 1 番と3番の席に先客が着席している
確率を求めよ。

(2) 4人目の客が到着したときに, すでに 2番, 4番, 6番の席に先客が着席し
ている確率を求めよ。

問題は このページで終わりである。

@
平成7年度入学試験問題
数 学
総合人間く<理系>・理・医・薬・工・農学部用
200 点満点
(医・工学部は 250 点満点に換算)
(注 ®
1. 問題冊子および解答冊子は係員の指示があるまで開かないこと。
2. 解答冊子は表紙のはかに 16 ページある。
3. 問題は全部で 6 題ある (1ページから 3ページ)。
4, 筆答開始後, 解答冊子の表紙所定欄に学部名・受験番号・氏名をはっきり記入
すること。表紙にはこれら以外のことを書いてはならない。
5. 解答は解答冊子の指定されたページに書くこと。ただし, そこに書き切れない
場合には, 続き方をはっきり示し, 下書き用ページに続きを書いてもよい。
6. 解答のための下書き, 計算などは, 下書き用ページに書き, 消さないでそのま
ま残しておくこと。
7. 解答に関係のないことを書いた答案は無効にすることがある。
8. 解答冊子は, どのページも切り離してはならない。
9. 問題冊子は持ち帰ってもよいが, 解答冊子は持ち帰ってはならない。

[1] (30 点)
ab
行列 (? ) で表される 1 次変換を とする。 平面上の 1 点をP, 原点を
a
0 とする。 OP OF による像を OQ , >軸に垂直で点 Q を通る直線と HL O
交点を R とする。点PがOに一致しない範囲を動くとき,
JOR) op xma2, 102! の最大価と最小値の比が 3
| OP | | OP |
LOSES a, 2の値を定めよ。
(30 8)
a, bika>beATHRARMEL, p, のは素数でのヵ> 2とする。このとき,
のーーのであるならば, のを2ヵで割った余りが 1であることを示せ。
(35 点)
xy 平面上の 2 曲線
Ci: y=xX*
C2: y=ax?+ bx +e
が相異なる 3 点で交わちり, かつそれらの点でC,に接する 3 BMH
P=(p, の で交わるとする。このとき,
a) <= すか 5=0. =ーづ4であることを示せ。
(2) ヵ 9のみたす条件を求めよ。

(35 点)
4 *とゅの2文字からなる文字列 z。 を次の規則 () で順次定めていく。
4) z」 ニャとおく。
2) 2, の中に現れるすべての*をッyyで, すべてのッをァxrで置き換えてできる
NFA 2m, tb FS (n=1, 2, 3, ...)。
例えば z。 = yx, 23 = xxyxX, 24 ニッタタメタタタ である。 2 次の正方行列 4,
ぢ に対して, z。の中のxを4で, VE BCI, 行列の積をつくって
できる行列を と。とする。例えば C、 = A, C。 = BA, C。 = AABA (行列
の積) である。
L 2 ー1 0 ー1 1
4=(」 ').B=( )) oka nzanoixc, =( ')
であることを示せ。
回 (35)
1 番から 7 番まで番号のついた席が番号順に一列に並んでいる。客が順に到着
して傘のように着席していくとする。
(4) 両端の席および先客が着席している隣の席に次の客が着席する確率は, すべ
て等しい。
(5) 両隣が空席の席に着席する確率は, 隣の席にすでに先客が着席している席ま
たは適の席に着席する確率に比べて 2 倍である。
このとき,
(1) 3人目の客が到着したときに, すでに 1 番と 3番の席に先客が着席している
確率を求めよ。
(2) 4 人目の客が到着したときに, すでに 2番, 4番, 6番の席に先客が着席し
ている確率を求めよ。

[6] 35 点)
深さヵの容器がある。底は半径z(>0) の円板, 側面は々ニア(?7),
0 ミッミんのグラフをッ了軸のまわりに回転したものである。ただしアげ17) WE
の連続関数で7(0) = <とする。この容器に単位時間当り V (一定) の割合で水
を入れたとき, 7 時間後に一杯になり, しかも7 (くア) 時間後の水面の面積
は Vt + xa? であった。
関数 げ7) を決定し, 7 を求めよ。