京都大学 1998年度 過去問・解答

(1) この三角形の斜辺の長さを ヶ で表せ.
(2) ヶ の値が問題の条件を満たしながら変化するとき, この三角形の面積の最大
値を求めよ.
(30 s%)
一辺の長さが 1 の正四面体OABC の辺 BC上に点Pをとり, 線分BP の長さ
を*とする.
(1) 三角形OAP の面積を * で表せ.
(2) Pas BC 上を動くとき三角形0AP の面積の最小値を求めよ.
[3] (30 点)
a, のは実数で々キム <のキ0とする. このとき不等式
テーの メーの@ 、テメサ@ xtbh
EC) 人 *ームか a
を満たす実数 x の範囲を求めよ.

[4] (30 8)
xy Pi b-C aR y = x? EIT 2A Ala, a), B(5. がだ) (a< b) をとり, 線
分 AB と放物線で囲まれた図形の面積をsとする. APU) を放物線上にと
り. 三角形 ABPの面積をS(P) ETS, /がZぐ7/ぐらちの範囲を動くときの
SP) の最大値をSとするとき, sとぐの比を求めよ.
[5] (30 点)
袋の中に青色, 赤色、 白色の形の同じ玉がそれぞれ 3 個ずつ入っている. 各色
の 3 個の玉にはそれぞれ1, 2. 3の番号がついている. これら 9 個の玉をよく
かきまぜて袋から同時に 3 個の玉を取り出す取り出した 3 個のうちに同色のも
のが他になく, 同番号のものも他にない玉の個数を得点とする. たとえば, 青1
番,赤1番, 白3番を取り出したときの得点は 1で, H2H AH HS He
取り出したときの得点は 0 である. このとき以下の問に人答えよ.
1) 得点がなヵになるような取り出し方の数を4(ヵ) とするとき。
AM), ACD, 4(2), 4(3) を求めよ。
(2) 得点の期待値を求めよ.

(1) ヵは3以上の自然数で,. ある自然数々にたいして7(z) は 2" の倍数になっ
ているとする. このときが2) と(Z十2"D のうち少なくとも一方は27の
の司数であることを示せ.
(2) 任意の自然数ヶにたいしてが(4 が 27 の倍数となるような自然数 g。が存
在することを示せ。
(35 点)
四面体OABCの辺OA 上に点P. 辺AB上に点Q, WBC LIAR, 辺CO
トに点Sをとる. これらの4点をこの順序で結んで得られる図形が平行四辺形
となるとき, この平行四辺形 PQRS の 2 つの対角線の交点は 2 つの線分 ACと
OB のそれぞれの中点を結ぶ線分上にあることを示せ.

(35 点)
a, 刀 は自然数で々は定数とする. xy平面上の点 (am) を頂点とし, 原点
と点 (24,0) を通る放物線を考える. この放物線と 軸で囲まれる領域の面積
Sm この領域の内部および境界線上にある格子点の数を 上。とする. このと
き極限値
を求めよ。ただし xy 平面上の格子点とはその点の*具標と >座標がともに整数
となる点のことである.
回 (30 8
SopicHe, 赤色, 白色の形の同じ玉がそれぞれ 3 個ずつ入っている。 各色
の3 個の玉にはそれぞれ1. 2, 3の番号がついている。 これら 9 個の玉をよく
かきまぜて袋から同時に 3 個の玉を取り出す. 取り出した3 個のうちに同色のも
のが他になく, 同番号のものも他にない玉の個数を得点とする,. たとえば, W1
番. 赤1番, 白3番を取り出したときの得点は1で, HI, HI, KIB
取り出したときの得点は 0 である. このとき以下の問に人容えよ.
QQ) 得点がヵになるような取り出し方の数を 4(ヵ) とするとき。,
4(0)。 AQ), AQ), 43) を求めよ.
(2) 得点の期待値を求めよ.
[6] (35 4)
geを0ぐ<gZぐ1を満たす定数として, 曲線y=log(x一Z) とx軸と2直線
x=1 x+ニニ3. で囲まれる図形を*軸のまわりに回転して得られる体の体積
を Via) ESS,
(1) Via) を求めよ.
(2) 4の値が0くる々ぐ1の男囲で変化するとき, Via) の最小値を求めよ.
問題はこのページで終わりてある.